Theorem usgr2wlkspthlem1 29739

Description: Lemma 1 for usgr2wlkspth 29741. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkspthlem1	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝐹)

Proof of Theorem usgr2wlkspthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
3	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
4		3simpc 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
6		usgr2wlkneq 29738	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
8		fvexd 6891	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (𝐹‘0) ∈ V)
9		fvexd 6891	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (𝐹‘1) ∈ V)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))
11	8, 9, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → ((𝐹‘0) ∈ V ∧ (𝐹‘1) ∈ V ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
12		funcnvs2 14932	. . 3 ⊢ (((𝐹‘0) ∈ V ∧ (𝐹‘1) ∈ V ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → Fun ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
13	7, 11, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15	14	wlkf 29594	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) = 2)
17		wrdlen2s2 14964	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) = 2) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
19	18	cnveqd 5855	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ◡𝐹 = ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
20	19	funeqd 6558	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (Fun ◡𝐹 ↔ Fun ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩))
21	13, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  0cc0 11129  1c1 11130  2c2 12295  ♯chash 14348  Word cword 14531  ⟨“cs2 14860  iEdgciedg 28976  USGraphcusgr 29128  Walkscwlks 29576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-edg 29027  df-uhgr 29037  df-upgr 29061  df-umgr 29062  df-uspgr 29129  df-usgr 29130  df-wlks 29579

This theorem is referenced by:  usgr2wlkspth  29741