Theorem usgr2wlkspthlem1 29834

Description: Lemma 1 for usgr2wlkspth 29836. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wlkspthlem1	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝐹)

Proof of Theorem usgr2wlkspthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	anim2i 618	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
3	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
4		3simpc 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
6		usgr2wlkneq 29833	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
7	3, 5, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
8		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (𝐹‘0) ∈ V)
9		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (𝐹‘1) ∈ V)
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))
11	8, 9, 10	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → ((𝐹‘0) ∈ V ∧ (𝐹‘1) ∈ V ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
12		funcnvs2 14840	. . 3 ⊢ (((𝐹‘0) ∈ V ∧ (𝐹‘1) ∈ V ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) → Fun ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
13	7, 11, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15	14	wlkf 29692	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) = 2)
17		wrdlen2s2 14872	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (♯‘𝐹) = 2) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
18	15, 16, 17	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
19	18	cnveqd 5825	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → ◡𝐹 = ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩)
20	19	funeqd 6515	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → (Fun ◡𝐹 ↔ Fun ◡⟨“(𝐹‘0)(𝐹‘1)”⟩))
21	13, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝐹) = 2 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))) → Fun ◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  0cc0 11030  1c1 11031  2c2 12204  ♯chash 14257  Word cword 14440  ⟨“cs2 14768  iEdgciedg 29074  USGraphcusgr 29226  Walkscwlks 29674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-edg 29125  df-uhgr 29135  df-upgr 29159  df-umgr 29160  df-uspgr 29227  df-usgr 29228  df-wlks 29677

This theorem is referenced by:  usgr2wlkspth  29836