MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2wlkspthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgr2wlkspthlem1 29282
Description: Lemma 1 for usgr2wlkspth 29284. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr2wlkspthlem1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ Fun ◑𝐹)
Proof of Theorem usgr2wlkspthlem1
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
21anim2i 616 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
32ancomd 461 . . . 4 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃))
4 3simpc 1149 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
54adantl 481 . . . 4 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
6 usgr2wlkneq 29281 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
73, 5, 6syl2anc 583 . . 3 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
8 fvexd 6906 . . . 4 ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ V)
9 fvexd 6906 . . . 4 ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ V)
10 simpr 484 . . . 4 ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1))
118, 9, 103jca 1127 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜0) ∈ V ∧ (πΉβ€˜1) ∈ V ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)))
12 funcnvs2 14869 . . 3 (((πΉβ€˜0) ∈ V ∧ (πΉβ€˜1) ∈ V ∧ (πΉβ€˜0) β‰  (πΉβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(πΉβ€˜0)(πΉβ€˜1)β€βŸ©)
137, 11, 123syl 18 . 2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(πΉβ€˜0)(πΉβ€˜1)β€βŸ©)
14 eqid 2731 . . . . . 6 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
1514wlkf 29139 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
16 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 2)
17 wrdlen2s2 14901 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2) β†’ 𝐹 = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜0)(πΉβ€˜1)β€βŸ©)
1815, 16, 17syl2an 595 . . . 4 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝐹 = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜0)(πΉβ€˜1)β€βŸ©)
1918cnveqd 5875 . . 3 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ◑𝐹 = β—‘βŸ¨β€œ(πΉβ€˜0)(πΉβ€˜1)β€βŸ©)
2019funeqd 6570 . 2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (Fun ◑𝐹 ↔ Fun β—‘βŸ¨β€œ(πΉβ€˜0)(πΉβ€˜1)β€βŸ©))
2113, 20mpbird 257 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜πΉ) = 2 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))) β†’ Fun ◑𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  0cc0 11114  1c1 11115  2c2 12272  β™―chash 14295  Word cword 14469  βŸ¨β€œcs2 14797  iEdgciedg 28525  USGraphcusgr 28677  Walkscwlks 29121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-edg 28576  df-uhgr 28586  df-upgr 28610  df-umgr 28611  df-uspgr 28678  df-usgr 28679  df-wlks 29124
This theorem is referenced by:  usgr2wlkspth  29284
  Copyright terms: Public domain W3C validator