MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsdsfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsdsfn2 24194
Description: Closure of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsds.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsds.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsds.p 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
xpsdsfn2 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))

Proof of Theorem xpsdsfn2
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
3 xpsds.y . . 3 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
4 xpsds.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
6 xpsds.p . . 3 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
71, 2, 3, 4, 5, 6xpsdsfn 24193 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— (𝑋 Γ— π‘Œ)))
81, 2, 3, 4, 5xpsbas 17514 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘‡))
98sqxpeqd 5698 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))
109fneq2d 6633 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Fn ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— (𝑋 Γ— π‘Œ)) ↔ 𝑃 Fn ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))
117, 10mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   Γ— cxp 5664   Fn wfn 6528  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  distcds 17202   Γ—s cxps 17448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-prds 17389  df-imas 17450  df-xps 17452
This theorem is referenced by:  tmsxps  24355  tmsxpsmopn  24356
  Copyright terms: Public domain W3C validator