Theorem xpsdsfn2 22706

Description: Closure of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsdsfn2	⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))

Proof of Theorem xpsdsfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsds.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsds.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsds.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsds.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		xpsds.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
6		xpsds.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xpsdsfn 22705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)))
8	1, 2, 3, 4, 5	xpsbas 16715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
9	8	sqxpeqd 5435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)) = ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
10	9	fneq2d 6277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Fn ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)) ↔ 𝑃 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))
11	7, 10	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   × cxp 5401   Fn wfn 6180  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  distcds 16428   ×_s cxps 16633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-hom 16443  df-cco 16444  df-prds 16575  df-imas 16635  df-xps 16637

This theorem is referenced by:  tmsxps  22864  tmsxpsmopn  22865