Theorem 11prm 13258

Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
11prm	⊢ ;11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9590	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 9324	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 9811	. 2 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4		1lt10 9931	. . 3 ⊢ 1 < ;10
5	2, 1, 1, 4	declti 9830	. 2 ⊢ 1 < ;11
6		0nn0 9589	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		2cn 9384	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	mul02i 8724	. . 3 ⊢ (0 · 2) = 0
9		1e0p1 9834	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
10	1, 6, 8, 9	dec2dvds 13219	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;11
11		3nn 9478	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		3nn0 9592	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		2nn 9477	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		3t3e9 9472	. . . . 5 ⊢ (3 · 3) = 9
15	14	oveq1i 6098	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16		9p2e11 9879	. . . 4 ⊢ (9 + 2) = ;11
17	15, 16	eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
18		2lt3 9486	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	11, 12, 13, 17, 18	ndvdsi 12725	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;11
20		2nn0 9591	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		5nn0 9594	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		1lt2 9485	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	1, 20, 1, 21, 4, 22	decltc 9821	. 2 ⊢ ;11 < ;25
24	3, 5, 10, 19, 23	prmlem1 13251	1 ⊢ ;11 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  2c2 9364  3c3 9365  5c5 9367  9c9 9371  ;cdc 9788  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by: (None)