Theorem 4sqlemafi 12718

Description: Lemma for 4sq 12733. 𝐴 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlemafi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sqlemafi.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4sqlemafi.a	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
4sqlemafi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁,𝑢   𝑃,𝑚,𝑢   𝜑,𝑚,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑚)

Proof of Theorem 4sqlemafi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlemafi.a	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
2		0zd 9384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		4sqlemafi.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		fzofig 10577	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0..^𝑃) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑃) ∈ Fin)
7		df-rex 2490	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
8	7	abbii 2321	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))}
9		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
10		elfzelz 10147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑚 ∈ ℤ)
12		zsqcl 10755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
15		zmodfzo 10492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	9, 16	eqeltrd 2282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃))
18	17	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃)))
19	18	exlimdv 1842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃)))
20	19	abssdv 3267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))} ⊆ (0..^𝑃))
21	8, 20	eqsstrid 3239	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ (0..^𝑃))
22		0zd 9384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → 0 ∈ ℤ)
23		4sqlemafi.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	nnzd 9494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		elfzoelz 10269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑃) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	10	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
29	28, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
30	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
31	29, 30	zmodcld 10490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 9493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
33		zdceq 9448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
34	27, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
35	22, 25, 34	exfzdc 10369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → DECID ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
36		vex 2775	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
37		eqeq1 2212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
38	37	rexbidv 2507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
39	36, 38	elab 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↔ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
40	39	dcbii 842	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↔ DECID ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
41	35, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)})
42	41	ralrimiva 2579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑃)DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)})
43		ssfidc 7034	. . 3 ⊢ (((0..^𝑃) ∈ Fin ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ (0..^𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑃)DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}) → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ∈ Fin)
44	6, 21, 42, 43	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2292	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  {cab 2191  ∀wral 2484  ∃wrex 2485   ⊆ wss 3166  (class class class)co 5944  Fincfn 6827  0cc0 7925  ℕcn 9036  2c2 9087  ℤcz 9372  ...cfz 10130  ..^cfzo 10264   mod cmo 10467  ↑cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by:  4sqlemffi  12719  4sqleminfi  12720  4sqlem11  12724