Theorem 4sqlemafi 13118

Description: Lemma for 4sq 13133. 𝐴 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlemafi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sqlemafi.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4sqlemafi.a	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
4sqlemafi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁,𝑢   𝑃,𝑚,𝑢   𝜑,𝑚,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑚)

Proof of Theorem 4sqlemafi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlemafi.a	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
2		0zd 9606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		4sqlemafi.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		fzofig 10818	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0..^𝑃) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑃) ∈ Fin)
7		df-rex 2528	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
8	7	abbii 2350	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))}
9		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
10		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑚 ∈ ℤ)
12		zsqcl 10996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
15		zmodfzo 10733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	9, 16	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃))
18	17	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃)))
19	18	exlimdv 1868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃)))
20	19	abssdv 3316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))} ⊆ (0..^𝑃))
21	8, 20	eqsstrid 3288	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ (0..^𝑃))
22		0zd 9606	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → 0 ∈ ℤ)
23		4sqlemafi.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	nnzd 9717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		elfzoelz 10503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑃) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	10	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
29	28, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
30	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
31	29, 30	zmodcld 10731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 9716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
33		zdceq 9670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
34	27, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
35	22, 25, 34	exfzdc 10608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → DECID ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
36		vex 2818	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
37		eqeq1 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
38	37	rexbidv 2545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
39	36, 38	elab 2964	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↔ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
40	39	dcbii 848	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↔ DECID ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
41	35, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)})
42	41	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑃)DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)})
43		ssfidc 7211	. . 3 ⊢ (((0..^𝑃) ∈ Fin ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ (0..^𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑃)DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}) → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ∈ Fin)
44	6, 21, 42, 43	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2321	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  0cc0 8143  ℕcn 9254  2c2 9305  ℤcz 9594  ...cfz 10361  ..^cfzo 10498   mod cmo 10708  ↑cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  4sqlemffi  13119  4sqleminfi  13120  4sqlem11  13124