Theorem 4sqlemafi 13174

Description: Lemma for 4sq 13189. 𝐴 is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlemafi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sqlemafi.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4sqlemafi.a	⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
4sqlemafi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁,𝑢   𝑃,𝑚,𝑢   𝜑,𝑚,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢, 𝑚)

Proof of Theorem 4sqlemafi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlemafi.a	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
2		0zd 9656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		4sqlemafi.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		fzofig 10869	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0..^𝑃) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑃) ∈ Fin)
7		df-rex 2534	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
8	7	abbii 2354	. . . 4 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))}
9		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
10		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑚 ∈ ℤ)
12		zsqcl 11047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
14	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
15		zmodfzo 10784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
16	13, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	9, 16	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃))
18	17	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃)))
19	18	exlimdv 1872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)) → 𝑢 ∈ (0..^𝑃)))
20	19	abssdv 3322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚(𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))} ⊆ (0..^𝑃))
21	8, 20	eqsstrid 3294	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ (0..^𝑃))
22		0zd 9656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → 0 ∈ ℤ)
23		4sqlemafi.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	nnzd 9767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		elfzoelz 10554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑃) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	10	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
29	28, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
30	3	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
31	29, 30	zmodcld 10782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 9766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ)
33		zdceq 9720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑃) ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
34	27, 32, 33	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
35	22, 25, 34	exfzdc 10659	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → DECID ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
36		vex 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
37		eqeq1 2245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ 𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
38	37	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)))
39	36, 38	elab 2970	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↔ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
40	39	dcbii 852	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↔ DECID ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑥 = ((𝑚↑2) mod 𝑃))
41	35, 40	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑃)) → DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)})
42	41	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑃)DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)})
43		ssfidc 7245	. . 3 ⊢ (((0..^𝑃) ∈ Fin ∧ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ⊆ (0..^𝑃) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑃)DECID 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}) → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ∈ Fin)
44	6, 21, 42, 43	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ∈ Fin)
45	1, 44	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  0cc0 8179  ℕcn 9304  2c2 9355  ℤcz 9644  ...cfz 10411  ..^cfzo 10549   mod cmo 10759  ↑cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  4sqlemffi  13175  4sqleminfi  13176  4sqlem11  13180