Theorem dvmptc 15711

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dvconstre 15690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
6	5	xpeq1d 4777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × {𝐴}) = (ℝ × {𝐴}))
7	5, 6	oveq12d 6076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (ℝ D (ℝ × {𝐴})))
8	5	xpeq1d 4777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × {0}) = (ℝ × {0}))
9	4, 7, 8	3eqtr4d 2277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
10		dvconst 15688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
14	13	xpeq1d 4777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × {𝐴}) = (ℂ × {𝐴}))
15	13, 14	oveq12d 6076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
16	13	xpeq1d 4777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × {0}) = (ℂ × {0}))
17	12, 15, 16	3eqtr4d 2277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
18		dvmptid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
19		elpri 3717	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
21	9, 17, 20	mpjaodan 806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
22		fconstmpt 4802	. . 3 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
23	22	oveq2i 6069	. 2 ⊢ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
24		fconstmpt 4802	. 2 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
25	21, 23, 24	3eqtr3g 2290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3694  {cpr 3695   ↦ cmpt 4176   × cxp 4752  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143   D cdv 15649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-xneg 10127  df-xadd 10128  df-ioo 10247  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-rest 13541  df-topgen 13560  df-psmet 14820  df-xmet 14821  df-met 14822  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-top 14992  df-topon 15005  df-bases 15037  df-ntr 15090  df-cn 15182  df-cnp 15183  df-cncf 15565  df-limced 15650  df-dvap 15651

This theorem is referenced by: (None)