Theorem dvmptc 15434

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dvconstre 15413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
6	5	xpeq1d 4746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × {𝐴}) = (ℝ × {𝐴}))
7	5, 6	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (ℝ D (ℝ × {𝐴})))
8	5	xpeq1d 4746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × {0}) = (ℝ × {0}))
9	4, 7, 8	3eqtr4d 2272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
10		dvconst 15411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
14	13	xpeq1d 4746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × {𝐴}) = (ℂ × {𝐴}))
15	13, 14	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
16	13	xpeq1d 4746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × {0}) = (ℂ × {0}))
17	12, 15, 16	3eqtr4d 2272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
18		dvmptid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
19		elpri 3690	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
21	9, 17, 20	mpjaodan 803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
22		fconstmpt 4771	. . 3 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
23	22	oveq2i 6024	. 2 ⊢ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
24		fconstmpt 4771	. 2 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
25	21, 23, 24	3eqtr3g 2285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667  {cpr 3668   ↦ cmpt 4148   × cxp 4721  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  ℝcr 8024  0cc0 8025   D cdv 15372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-ioo 10120  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-ntr 14813  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-cncf 15288  df-limced 15373  df-dvap 15374

This theorem is referenced by: (None)