Theorem dvmptc 15801

Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptid.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptc	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dvconstre 15780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {0}))
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
6	5	xpeq1d 4795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × {𝐴}) = (ℝ × {𝐴}))
7	5, 6	oveq12d 6097	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (ℝ D (ℝ × {𝐴})))
8	5	xpeq1d 4795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × {0}) = (ℝ × {0}))
9	4, 7, 8	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
10		dvconst 15778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
14	13	xpeq1d 4795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × {𝐴}) = (ℂ × {𝐴}))
15	13, 14	oveq12d 6097	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
16	13	xpeq1d 4795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × {0}) = (ℂ × {0}))
17	12, 15, 16	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
18		dvmptid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
19		elpri 3731	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
21	9, 17, 20	mpjaodan 810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
22		fconstmpt 4820	. . 3 ⊢ (𝑆 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
23	22	oveq2i 6090	. 2 ⊢ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴))
24		fconstmpt 4820	. 2 ⊢ (𝑆 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0)
25	21, 23, 24	3eqtr3g 2294	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3708  {cpr 3709   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173   D cdv 15739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-map 6918  df-pm 6919  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741

This theorem is referenced by: (None)