Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubggenodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubggenodd 19231
 Description: Relationship between the order of a subgroup and the order of a generator of the subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubggenodd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggenodd.2 · = (.g𝐺)
cycsubggenodd.3 𝑂 = (od‘𝐺)
cycsubggenodd.4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
cycsubggenodd.5 (𝜑𝐴𝐵)
cycsubggenodd.6 (𝜑𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cycsubggenodd (𝜑 → (𝑂𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑂
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggenodd
StepHypRef Expression
1 cycsubggenodd.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 cycsubggenodd.5 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3 cycsubggenodd.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 cycsubggenodd.3 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
5 cycsubggenodd.2 . . . 4 · = (.g𝐺)
6 eqid 2824 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
73, 4, 5, 6dfod2 18691 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝑂𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
81, 2, 7syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
9 cycsubggenodd.6 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
109eqcomd 2830 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐶)
1110eleq1d 2900 . . 3 (𝜑 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
1210fveq2d 6665 . . 3 (𝜑 → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))) = (♯‘𝐶))
1311, 12ifbieq1d 4473 . 2 (𝜑 → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
148, 13eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4450   ↦ cmpt 5132  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  0cc0 10535  ℤcz 11978  ♯chash 13695  Basecbs 16483  Grpcgrp 18103  .gcmg 18224  odcod 18652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-od 18656 This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19232  fincygsubgodd  19234
 Copyright terms: Public domain W3C validator