Theorem cycsubggenodd 20127

Description: Relationship between the order of a subgroup and the order of a generator of the subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggenodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggenodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggenodd.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
cycsubggenodd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubggenodd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
cycsubggenodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cycsubggenodd	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggenodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggenodd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubggenodd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubggenodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubggenodd.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		cycsubggenodd.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	dfod2 19580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
8	1, 2, 7	syl2anc 592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
9		cycsubggenodd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
10	9	eqcomd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐶)
11	10	eleq1d 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
12	10	fveq2d 6860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))) = (♯‘𝐶))
13	11, 12	ifbieq1d 4499	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
14	8, 13	eqtrd 2791	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ifcif 4474   ↦ cmpt 5175  ran crn 5641  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  0cc0 11063  ℤcz 12558  ♯chash 14333  Basecbs 17221  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  odcod 19540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-od 19544

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20128  fincygsubgodd  20130