Theorem cycsubggenodd 20052

Description: Relationship between the order of a subgroup and the order of a generator of the subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggenodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggenodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggenodd.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
cycsubggenodd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubggenodd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
cycsubggenodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cycsubggenodd	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggenodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggenodd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubggenodd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubggenodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubggenodd.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		cycsubggenodd.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	dfod2 19505	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
8	1, 2, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
9		cycsubggenodd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
10	9	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐶)
11	10	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
12	10	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))) = (♯‘𝐶))
13	11, 12	ifbieq1d 4506	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
14	8, 13	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038  ℤcz 12500  ♯chash 14265  Basecbs 17148  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  odcod 19465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-od 19469

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20053  fincygsubgodd  20055