Theorem cycsubggenodd 20057

Description: Relationship between the order of a subgroup and the order of a generator of the subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggenodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggenodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggenodd.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
cycsubggenodd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubggenodd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
cycsubggenodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cycsubggenodd	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggenodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggenodd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubggenodd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubggenodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubggenodd.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		cycsubggenodd.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	dfod2 19510	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
9		cycsubggenodd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
10	9	eqcomd 2733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐶)
11	10	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
12	10	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))) = (♯‘𝐶))
13	11, 12	ifbieq1d 4548	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
14	8, 13	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  ℤcz 12580  ♯chash 14313  Basecbs 17171  Grpcgrp 18881  ._gcmg 19014  odcod 19470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-od 19474

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20058  fincygsubgodd  20060