Theorem cycsubggenodd 19627

Description: Relationship between the order of a subgroup and the order of a generator of the subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubggenodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubggenodd.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubggenodd.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
cycsubggenodd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
cycsubggenodd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
cycsubggenodd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
cycsubggenodd	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Distinct variable groups:   · ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑂

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐶(𝑛)

Proof of Theorem cycsubggenodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubggenodd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		cycsubggenodd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		cycsubggenodd.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		cycsubggenodd.3	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		cycsubggenodd.2	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))
7	3, 4, 5, 6	dfod2 19086	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0))
9		cycsubggenodd.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)))
10	9	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) = 𝐶)
11	10	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
12	10	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))) = (♯‘𝐶))
13	11, 12	ifbieq1d 4480	. 2 ⊢ (𝜑 → if(ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐴))), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))
14	8, 13	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐶 ∈ Fin, (♯‘𝐶), 0))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  0cc0 10802  ℤcz 12249  ♯chash 13972  Basecbs 16840  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  odcod 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-od 19051

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19628  fincygsubgodd  19630