Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2 30753
Description: Archimedean ordered groups with no minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
Assertion
Ref Expression
archiabllem2 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 30631 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 archiabllem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 archiabllem.0 . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 archiabllem.e . . . . 5 = (le‘𝑊)
7 archiabllem.t . . . . 5 < = (lt‘𝑊)
8 archiabllem.m . . . . 5 · = (.g𝑊)
913ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ oGrp)
10 archiabllem.a . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
11103ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Archi)
12 archiabllem2.1 . . . . 5 + = (+g𝑊)
13 archiabllem2.2 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
14133ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
15 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝜑)
16 archiabllem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
1715, 16syl3an1 1155 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
18 simp2 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
19 simp3 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
204, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19archiabllem2b 30752 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21203expb 1112 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2221ralrimivva 3188 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
234, 12isabl2 18844 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
243, 22, 23sylanbrc 583 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  lecple 16560  0gc0g 16701  ltcplt 17539  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  oppgcoppg 18411  Abelcabl 18836  oGrpcogrp 30626  Archicarchi 30733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-ple 16573  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-toset 17632  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-oppg 18412  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-omnd 30627  df-ogrp 30628  df-inftm 30734  df-archi 30735
This theorem is referenced by:  archiabl  30754
  Copyright terms: Public domain W3C validator