Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2 33187
Description: Archimedean ordered groups with no minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
Assertion
Ref Expression
archiabllem2 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 33063 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 archiabllem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 archiabllem.0 . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 archiabllem.e . . . . 5 = (le‘𝑊)
7 archiabllem.t . . . . 5 < = (lt‘𝑊)
8 archiabllem.m . . . . 5 · = (.g𝑊)
913ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ oGrp)
10 archiabllem.a . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
11103ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Archi)
12 archiabllem2.1 . . . . 5 + = (+g𝑊)
13 archiabllem2.2 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
14133ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
15 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝜑)
16 archiabllem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
1715, 16syl3an1 1162 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
18 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
19 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
204, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19archiabllem2b 33186 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21203expb 1119 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2221ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
234, 12isabl2 19823 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
243, 22, 23sylanbrc 583 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  lecple 17305  0gc0g 17486  ltcplt 18366  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  oppgcoppg 19376  Abelcabl 19814  oGrpcogrp 33058  Archicarchi 33167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-ple 17318  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-toset 18475  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-oppg 19377  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-omnd 33059  df-ogrp 33060  df-inftm 33168  df-archi 33169
This theorem is referenced by:  archiabl  33188
  Copyright terms: Public domain W3C validator