Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2 31916
Description: Archimedean ordered groups with no minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
Assertion
Ref Expression
archiabllem2 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 31794 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 archiabllem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 archiabllem.0 . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 archiabllem.e . . . . 5 = (le‘𝑊)
7 archiabllem.t . . . . 5 < = (lt‘𝑊)
8 archiabllem.m . . . . 5 · = (.g𝑊)
913ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ oGrp)
10 archiabllem.a . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
11103ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Archi)
12 archiabllem2.1 . . . . 5 + = (+g𝑊)
13 archiabllem2.2 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
14133ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
15 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝜑)
16 archiabllem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
1715, 16syl3an1 1163 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
18 simp2 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
19 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
204, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19archiabllem2b 31915 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21203expb 1120 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2221ralrimivva 3195 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
234, 12isabl2 19563 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
243, 22, 23sylanbrc 583 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  lecple 17132  0gc0g 17313  ltcplt 18189  Grpcgrp 18740  .gcmg 18863  oppgcoppg 19114  Abelcabl 19554  oGrpcogrp 31789  Archicarchi 31896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-seq 13899  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-ple 17145  df-0g 17315  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-toset 18298  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-mulg 18864  df-oppg 19115  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-omnd 31790  df-ogrp 31791  df-inftm 31897  df-archi 31898
This theorem is referenced by:  archiabl  31917
  Copyright terms: Public domain W3C validator