Theorem archiabllem2 33638

Description: Archimedean ordered groups with no minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
2		ogrpgrp 20253	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
4		archiabllem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		archiabllem.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		archiabllem.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
7		archiabllem.t	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
8		archiabllem.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑊)
9	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ oGrp)
10		archiabllem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Archi)
12		archiabllem2.1	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		archiabllem2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
15		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝜑)
16		archiabllem2.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
17	15, 16	syl3an1 1181	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
18		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19	archiabllem2b 33637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21	20	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
22	21	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
23	4, 12	isabl2 19918	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
24	3, 22, 23	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  lecple 17350  0_gc0g 17525  ltcplt 18397  Grpcgrp 19058  ._gcmg 19191  opp_gcoppg 19473  Abelcabl 19909  oGrpcogrp 20248  Archicarchi 33618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-seq 14067  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-ple 17363  df-0g 17527  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-toset 18504  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-oppg 19474  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-omnd 20249  df-ogrp 20250  df-inftm 33619  df-archi 33620

This theorem is used by:  archiabl  33639