Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blennn 45484
Description: The binary length of a positive integer. (Contributed by AV, 21-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
blennn (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))

Proof of Theorem blennn
StepHypRef Expression
1 nnne0 11752 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2 blenn0 45482 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) + 1))
31, 2mpdan 687 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) + 1))
4 nnre 11725 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nnnn0 11985 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
65nn0ge0d 12041 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
74, 6absidd 14874 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
87oveq2d 7188 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (abs‘𝑁)) = (2 logb 𝑁))
98fveq2d 6680 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
109oveq1d 7187 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
113, 10eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620  cn 11718  2c2 11773  cfl 13253  abscabs 14685   logb clogb 25504  #bcblen 45478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-sup 8981  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-seq 13463  df-exp 13524  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-blen 45479
This theorem is referenced by:  blennnelnn  45485  blenpw2  45487  blenpw2m1  45488  nnpw2blen  45489  blen1  45493  blen2  45494  blen1b  45497  blennnt2  45498  nnolog2flm1  45499  blennngt2o2  45501  blennn0e2  45503  dig2nn0ld  45513  dig2nn1st  45514
  Copyright terms: Public domain W3C validator