Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blennn 44626
Description: The binary length of a positive integer. (Contributed by AV, 21-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
blennn (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))

Proof of Theorem blennn
StepHypRef Expression
1 nnne0 11663 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2 blenn0 44624 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) + 1))
31, 2mpdan 685 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) + 1))
4 nnre 11637 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
65nn0ge0d 11950 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
74, 6absidd 14774 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
87oveq2d 7164 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb (abs‘𝑁)) = (2 logb 𝑁))
98fveq2d 6667 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
109oveq1d 7163 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb (abs‘𝑁))) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
113, 10eqtrd 2854 1 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cn 11630  2c2 11684  cfl 13152  abscabs 14585   logb clogb 25334  #bcblen 44620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-blen 44621
This theorem is referenced by:  blennnelnn  44627  blenpw2  44629  blenpw2m1  44630  nnpw2blen  44631  blen1  44635  blen2  44636  blen1b  44639  blennnt2  44640  nnolog2flm1  44641  blennngt2o2  44643  blennn0e2  44645  dig2nn0ld  44655  dig2nn1st  44656
  Copyright terms: Public domain W3C validator