Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennnelnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blennnelnn 43944
Description: The binary length of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
blennnelnn (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem blennnelnn
StepHypRef Expression
1 blennn 43943 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
2 2rp 12202 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
4 nnrp 12210 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5 1ne2 11648 . . . . . . 7 1 ≠ 2
65necomi 3015 . . . . . 6 2 ≠ 1
76a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
8 relogbcl 25042 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
93, 4, 7, 8syl3anc 1351 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
10 2z 11820 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
11 uzid 12066 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
13 nnre 11439 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14 nnge1 11461 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
15 1re 10431 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
16 elicopnf 12642 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
1813, 14, 17sylanbrc 575 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
19 rege1logbzge0 43927 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (2 logb 𝑁))
2012, 18, 19syl2anc 576 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 logb 𝑁))
21 flge0nn0 12998 . . . 4 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 logb 𝑁)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
229, 20, 21syl2anc 576 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
23 nn0p1nn 11741 . . 3 ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
2422, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
251, 24eqeltrd 2860 1 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wcel 2048  wne 2961   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330  +∞cpnf 10463  cle 10467  cn 11431  2c2 11488  0cn0 11700  cz 11786  cuz 12051  +crp 12197  [,)cico 12549  cfl 12968   logb clogb 25033  #bcblen 43937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271  df-sin 15273  df-cos 15274  df-pi 15276  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-limc 24157  df-dv 24158  df-log 24831  df-logb 25034  df-blen 43938
This theorem is referenced by:  blennn0elnn  43945  nnpw2blenfzo  43949  nnpw2pmod  43951  nnpw2p  43954  nnolog2flm1  43958  blennn0em1  43959  blengt1fldiv2p1  43961  dig2nn1st  43973
  Copyright terms: Public domain W3C validator