Theorem blennnelnn 45377

Description: The binary length of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blennnelnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem blennnelnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blennn 45376	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
2		2rp 12435	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
4		nnrp 12441	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5		1ne2 11882	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	necomi 3005	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
8		relogbcl 25458	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9	3, 4, 7, 8	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
10		2z 12053	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		uzid 12297	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
13		nnre 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnge1 11702	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
15		1re 10679	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		elicopnf 12877	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑁))
18	13, 14, 17	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1[,)+∞))
19		rege1logbzge0 45360	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ (2 logb 𝑁))
20	12, 18, 19	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 logb 𝑁))
21		flge0nn0 13239	. . . 4 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 logb 𝑁)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
22	9, 20, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℕ0)
23		nn0p1nn 11973	. . 3 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
25	1, 24	eqeltrd 2852	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578  +∞cpnf 10710   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ₀cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282  ℝ⁺crp 12430  [,)cico 12781  ⌊cfl 13209   log_b clogb 25449  #_bcblen 45370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-shft 14474  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ef 15469  df-sin 15471  df-cos 15472  df-pi 15474  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-log 25247  df-logb 25450  df-blen 45371

This theorem is referenced by:  blennn0elnn  45378  nnpw2blenfzo  45382  nnpw2pmod  45384  nnpw2p  45387  nnolog2flm1  45391  blennn0em1  45392  blengt1fldiv2p1  45394  dig2nn1st  45406