Theorem efchtdvds 27067

Description: The exponentiated Chebyshev function forms a divisibility chain between any two points. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efchtdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

Proof of Theorem efchtdvds

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chtcl 27017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℂ)
4		chtcl 27017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efsub 16009	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
8	3, 6, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
9		chtfl 27057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
11		chtfl 27057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
13	10, 12	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)))
14		flword2 13717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)))
15		chtdif 27066	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
17	13, 16	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
18		ssrab2 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ)
22		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
23	22	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
24	23	elrab 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
25		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑧))
26	25	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
27	26	elrab 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
28		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝑦 + 𝑧)))
29	28	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ))
30		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	30, 31	readdcld 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℝ)
33	30	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	31	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		efadd 16001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
37		nnmulcl 12152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘𝑦) ∈ ℕ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
38	37	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
39	36, 38	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ)
40	29, 32, 39	elrabd 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
41	24, 27, 40	syl2anb 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
43		fzfid 13880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin)
44		inss1 4188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))
45		ssfi 9087	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → (exp‘𝑥) = (exp‘(log‘𝑝)))
48	47	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ))
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ))
50	49	elin2d 4156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
51		prmnn 16585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
53	52	nnrpd 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
55	53	reeflogd 26531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
56	55, 52	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
57	48, 54, 56	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
58		0re 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1nn 12139	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
60		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
61		ef0 15998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = 1)
63	62	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
64	63	elrab 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ))
65	58, 59, 64	mpbir2an 711	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
67	21, 42, 46, 57, 66	fsumcllem 15639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
68	17, 67	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
69		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → (exp‘𝑥) = (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))))
70	69	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
71	70	elrab 3648	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
72	71	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
73	68, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
74	8, 73	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
75	74	nnzd 12498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ)
76		efchtcl 27019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
77	76	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
78	77	nnzd 12498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ)
79	77	nnne0d 12178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0)
80		efchtcl 27019	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
81	80	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ)
83		dvdsval2 16166	. . 3 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
84	78, 79, 82, 83	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
85	75, 84	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ⌊cfl 13694  Σcsu 15593  expce 15968   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582  logclog 26461  θccht 26999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463  df-cht 27005

This theorem is referenced by:  bposlem6  27198