Theorem efchtdvds 27491

Description: The exponentiated Chebyshev function forms a divisibility chain between any two points. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efchtdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

Proof of Theorem efchtdvds

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chtcl 27441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℂ)
4		chtcl 27441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efsub 16273	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
9		chtfl 27481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
10	9	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
11		chtfl 27481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
13	10, 12	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)))
14		flword2 13956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)))
15		chtdif 27490	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
17	13, 16	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
18		ssrab2 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3917	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ)
22		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
23	22	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
24	23	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
25		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑧))
26	25	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
27	26	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝑦 + 𝑧)))
29	28	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ))
30		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	30, 31	readdcld 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℝ)
33	30	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	31	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		efadd 16265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
37		nnmulcl 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘𝑦) ∈ ℕ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
38	37	ad2ant2l 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
39	36, 38	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ)
40	29, 32, 39	elrabd 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
41	24, 27, 40	syl2anb 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
43		fzfid 14119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin)
44		inss1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))
45		ssfi 9191	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → (exp‘𝑥) = (exp‘(log‘𝑝)))
48	47	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ))
50	49	elin2d 4102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
51		prmnn 16854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
53	52	nnrpd 13165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
55	53	reeflogd 26957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
56	55, 52	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
57	48, 54, 56	elrabd 3646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
58		0re 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1nn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
60		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
61		ef0 16262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = 1)
63	62	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
64	63	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ))
65	58, 59, 64	mpbir2an 724	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
67	21, 42, 46, 57, 66	fsumcllem 15903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
68	17, 67	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
69		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → (exp‘𝑥) = (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))))
70	69	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
71	70	elrab 3644	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
72	71	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
73	68, 72	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
74	8, 73	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
75	74	nnzd 12722	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ)
76		efchtcl 27443	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
77	76	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
78	77	nnzd 12722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ)
79	77	nnne0d 12391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0)
80		efchtcl 27443	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
81	80	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ)
83		dvdsval2 16430	. . 3 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
84	78, 79, 82, 83	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
85	75, 84	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   ≤ cle 11347   − cmin 11544   / cdiv 11976  ℕcn 12338  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  ⌊cfl 13933  Σcsu 15858  expce 16232   ∥ cdvds 16427  ℙcprime 16851  logclog 26887  θccht 27423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-dvds 16428  df-prm 16852  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cht 27429

This theorem is used by:  bposlem6  27621