Theorem efchtdvds 27360

Description: The exponentiated Chebyshev function forms a divisibility chain between any two points. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efchtdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

Proof of Theorem efchtdvds

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chtcl 27310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℂ)
4		chtcl 27310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efsub 16181	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
9		chtfl 27350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
10	9	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
11		chtfl 27350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
13	10, 12	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)))
14		flword2 13866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)))
15		chtdif 27359	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
17	13, 16	eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
18		ssrab2 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℝ
19		ax-resscn 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3949	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ)
22		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
23	22	eleq1d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
24	23	elrab 3653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
25		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑧))
26	25	eleq1d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
27	26	elrab 3653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
28		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝑦 + 𝑧)))
29	28	eleq1d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ))
30		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	30, 31	readdcld 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℝ)
33	30	recnd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	31	recnd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		efadd 16173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
37		nnmulcl 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘𝑦) ∈ ℕ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
38	37	ad2ant2l 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
39	36, 38	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ)
40	29, 32, 39	elrabd 3655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
41	24, 27, 40	syl2anb 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
43		fzfid 14029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin)
44		inss1 4192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))
45		ssfi 9167	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → (exp‘𝑥) = (exp‘(log‘𝑝)))
48	47	eleq1d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ))
50	49	elin2d 4161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
51		prmnn 16757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
53	52	nnrpd 13076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
55	53	reeflogd 26826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
56	55, 52	eqeltrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
57	48, 54, 56	elrabd 3655	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
58		0re 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1nn 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
60		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
61		ef0 16170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = 1)
63	62	eleq1d 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
64	63	elrab 3653	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ))
65	58, 59, 64	mpbir2an 724	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
67	21, 42, 46, 57, 66	fsumcllem 15809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
68	17, 67	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
69		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → (exp‘𝑥) = (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))))
70	69	eleq1d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
71	70	elrab 3653	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
72	71	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
73	68, 72	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
74	8, 73	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
75	74	nnzd 12635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ)
76		efchtcl 27312	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
77	76	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
78	77	nnzd 12635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ)
79	77	nnne0d 12304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0)
80		efchtcl 27312	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
81	80	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ)
83		dvdsval2 16338	. . 3 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
84	78, 79, 82, 83	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
85	75, 84	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   ≤ cle 11262   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ⌊cfl 13843  Σcsu 15763  expce 16140   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754  logclog 26756  θccht 27292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-prm 16755  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cht 27298

This theorem is used by:  bposlem6  27490