Theorem efchtdvds 26213

Description: The exponentiated Chebyshev function forms a divisibility chain between any two points. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efchtdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

Proof of Theorem efchtdvds

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chtcl 26163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℝ)
3	2	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐵) ∈ ℂ)
4		chtcl 26163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efsub 15737	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
8	3, 6, 7	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) = ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))))
9		chtfl 26203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
10	9	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐵)) = (θ‘𝐵))
11		chtfl 26203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
12	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (θ‘(⌊‘𝐴)) = (θ‘𝐴))
13	10, 12	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)))
14		flword2 13461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)))
15		chtdif 26212	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝐴)) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘(⌊‘𝐵)) − (θ‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
17	13, 16	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
18		ssrab2 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℝ
19		ax-resscn 10859	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	18, 19	sstri 3926	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ)
22		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
23	22	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
24	23	elrab 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
25		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑧))
26	25	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
27	26	elrab 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
28		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝑦 + 𝑧)))
29	28	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ))
30		simpll 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	30, 31	readdcld 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℝ)
33	30	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34	31	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		efadd 15731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
36	33, 34, 35	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
37		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘𝑦) ∈ ℕ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
38	37	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
39	36, 38	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ)
40	29, 32, 39	elrabd 3619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
41	24, 27, 40	syl2anb 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
43		fzfid 13621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin)
44		inss1 4159	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))
45		ssfi 8918	. . . . . . . 8 ⊢ (((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∈ Fin ∧ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ⊆ (((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵))) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
46	43, 44, 45	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
47		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → (exp‘𝑥) = (exp‘(log‘𝑝)))
48	47	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (log‘𝑝) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ))
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ))
50	49	elin2d 4129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
51		prmnn 16307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
53	52	nnrpd 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 25683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
55	53	reeflogd 25684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
56	55, 52	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
57	48, 54, 56	elrabd 3619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
58		0re 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1nn 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
60		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
61		ef0 15728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) = 1
62	60, 61	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = 1)
63	62	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
64	63	elrab 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ))
65	58, 59, 64	mpbir2an 707	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
67	21, 42, 46, 57, 66	fsumcllem 15372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → Σ𝑝 ∈ ((((⌊‘𝐴) + 1)...(⌊‘𝐵)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
68	17, 67	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
69		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → (exp‘𝑥) = (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))))
70	69	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
71	70	elrab 3617	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ))
72	71	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴)) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
73	68, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘((θ‘𝐵) − (θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
74	8, 73	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℕ)
75	74	nnzd 12354	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ)
76		efchtcl 26165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
77	76	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℕ)
78	77	nnzd 12354	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ)
79	77	nnne0d 11953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0)
80		efchtcl 26165	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
81	80	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12354	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ)
83		dvdsval2 15894	. . 3 ⊢ (((exp‘(θ‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (exp‘(θ‘𝐴)) ≠ 0 ∧ (exp‘(θ‘𝐵)) ∈ ℤ) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
84	78, 79, 82, 83	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)) ↔ ((exp‘(θ‘𝐵)) / (exp‘(θ‘𝐴))) ∈ ℤ))
85	75, 84	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (exp‘(θ‘𝐴)) ∥ (exp‘(θ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  Σcsu 15325  expce 15699   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304  logclog 25615  θccht 26145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cht 26151

This theorem is referenced by:  bposlem6  26342