Theorem climlec3 33368

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlec3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlec3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climlec3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
climlec3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climlec3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climlec3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climlec3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11224	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5		climlec3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		0cnd 10791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1	fvexi 6709	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7017	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V)
10		climlec3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))
13		fveq2 6695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14	13	negeqd 11037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹‘𝑚) = -(𝐹‘𝑘))
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	10	renegcld 11224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd3 6819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
18		df-neg 11030	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 6, 9, 11, 19	climsubc2 15165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
21		df-neg 11030	. . . 4 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
22	20, 21	breqtrrdi 5081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ -𝐴)
23	17, 16	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
24		climlec3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
25	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	10, 25	lenegd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘)))
27	24, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘))
28	27, 17	breqtrrd 5067	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘))
29	1, 2, 4, 22, 23, 28	climlec2 15187	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
30	1, 2, 5, 10	climrecl 15109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 3	lenegd 11376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
32	29, 31	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694   ≤ cle 10833   − cmin 11027  -cneg 11028  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403   ⇝ cli 15010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-rlim 15015

This theorem is referenced by: (None)