Theorem climlec3 36207

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlec3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlec3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climlec3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
climlec3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climlec3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climlec3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climlec3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11642	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5		climlec3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		0cnd 11200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1	fvexi 6897	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7223	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V)
10		climlec3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))
13		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14	13	negeqd 11452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹‘𝑚) = -(𝐹‘𝑘))
15		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	10	renegcld 11642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd3 7015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
18		df-neg 11445	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 6, 9, 11, 19	climsubc2 15692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
21		df-neg 11445	. . . 4 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
22	20, 21	breqtrrdi 5154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ -𝐴)
23	17, 16	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
24		climlec3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
25	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	10, 25	lenegd 11794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘)))
27	24, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘))
28	27, 17	breqtrrd 5140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘))
29	1, 2, 4, 22, 23, 28	climlec2 15712	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
30	1, 2, 5, 10	climrecl 15636	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 3	lenegd 11794	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
32	29, 31	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863   ⇝ cli 15537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542

This theorem is referenced by: (None)