Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlec3 33073
 Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
climlec3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlec3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4 (𝜑𝐹𝐴)
climlec3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
climlec3 (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climlec3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climlec3.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climlec3.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43renegcld 11060 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5 climlec3.4 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐴)
6 0cnd 10627 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
71fvexi 6663 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
87mptex 6967 . . . . . 6 (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ∈ V)
10 climlec3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1110recnd 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) = (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))
13 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
1413negeqd 10873 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹𝑚) = -(𝐹𝑘))
15 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1610renegcld 11060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1712, 14, 15, 16fvmptd3 6772 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
18 df-neg 10866 . . . . . 6 -(𝐹𝑘) = (0 − (𝐹𝑘))
1917, 18eqtrdi 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹𝑘)))
201, 2, 5, 6, 9, 11, 19climsubc2 14990 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
21 df-neg 10866 . . . 4 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2220, 21breqtrrdi 5075 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ⇝ -𝐴)
2317, 16eqeltrd 2893 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
24 climlec3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
253adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2610, 25lenegd 11212 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹𝑘)))
2724, 26mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹𝑘))
2827, 17breqtrrd 5061 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘))
291, 2, 4, 22, 23, 28climlec2 15010 . 2 (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
301, 2, 5, 10climrecl 14935 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3130, 3lenegd 11212 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
3229, 31mpbird 260 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530   ≤ cle 10669   − cmin 10863  -cneg 10864  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator