Theorem climlec3 33605

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlec3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlec3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climlec3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
climlec3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climlec3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climlec3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climlec3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11332	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5		climlec3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		0cnd 10899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1	fvexi 6770	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V)
10		climlec3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))
13		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14	13	negeqd 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹‘𝑚) = -(𝐹‘𝑘))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	10	renegcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd3 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
18		df-neg 11138	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 6, 9, 11, 19	climsubc2 15276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
21		df-neg 11138	. . . 4 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
22	20, 21	breqtrrdi 5112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ -𝐴)
23	17, 16	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
24		climlec3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
25	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	10, 25	lenegd 11484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘)))
27	24, 26	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘))
28	27, 17	breqtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘))
29	1, 2, 4, 22, 23, 28	climlec2 15298	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
30	1, 2, 5, 10	climrecl 15220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 3	lenegd 11484	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
32	29, 31	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126

This theorem is referenced by: (None)