Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlec3 34369
Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
climlec3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlec3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4 (𝜑𝐹𝐴)
climlec3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
climlec3 (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climlec3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climlec3.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climlec3.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43renegcld 11590 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5 climlec3.4 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐴)
6 0cnd 11156 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
71fvexi 6860 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
87mptex 7177 . . . . . 6 (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ∈ V)
10 climlec3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1110recnd 11191 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) = (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))
13 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
1413negeqd 11403 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹𝑚) = -(𝐹𝑘))
15 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1610renegcld 11590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1712, 14, 15, 16fvmptd3 6975 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
18 df-neg 11396 . . . . . 6 -(𝐹𝑘) = (0 − (𝐹𝑘))
1917, 18eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹𝑘)))
201, 2, 5, 6, 9, 11, 19climsubc2 15530 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
21 df-neg 11396 . . . 4 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2220, 21breqtrrdi 5151 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ⇝ -𝐴)
2317, 16eqeltrd 2834 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
24 climlec3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
253adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2610, 25lenegd 11742 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹𝑘)))
2724, 26mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹𝑘))
2827, 17breqtrrd 5137 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘))
291, 2, 4, 22, 23, 28climlec2 15552 . 2 (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
301, 2, 5, 10climrecl 15474 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3130, 3lenegd 11742 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
3229, 31mpbird 257 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  cmpt 5192  cfv 6500  (class class class)co 7361  cr 11058  0cc0 11059  cle 11198  cmin 11393  -cneg 11394  cz 12507  cuz 12771  cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator