Theorem climlec3 35714

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
climlec3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climlec3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climlec3.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
climlec3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climlec3.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climlec3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climlec3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11688	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5		climlec3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		0cnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1	fvexi 6921	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
8	7	mptex 7243	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ∈ V)
10		climlec3.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))
13		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14	13	negeqd 11500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹‘𝑚) = -(𝐹‘𝑘))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
16	10	renegcld 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17	12, 14, 15, 16	fvmptd3 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = -(𝐹‘𝑘))
18		df-neg 11493	. . . . . 6 ⊢ -(𝐹‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘))
19	17, 18	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 6, 9, 11, 19	climsubc2 15672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
21		df-neg 11493	. . . 4 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
22	20, 21	breqtrrdi 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚)) ⇝ -𝐴)
23	17, 16	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
24		climlec3.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
25	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	10, 25	lenegd 11840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘)))
27	24, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹‘𝑘))
28	27, 17	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -(𝐹‘𝑚))‘𝑘))
29	1, 2, 4, 22, 23, 28	climlec2 15692	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
30	1, 2, 5, 10	climrecl 15616	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 3	lenegd 11840	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
32	29, 31	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   ⇝ cli 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522

This theorem is referenced by: (None)