Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnims Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnims 28479
 Description: The metric induced on the complex numbers. cnmet 23380 proves that it is a metric. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Dec-2006.) (Revised by NM, 15-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnims.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
cnims.7 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnims 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Proof of Theorem cnims
StepHypRef Expression
1 cnims.7 . 2 𝐷 = (abs ∘ − )
2 cnims.6 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
32cnnv 28463 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
42cnnvm 28468 . . . 4 − = ( −𝑣𝑈)
52cnnvnm 28467 . . . 4 abs = (normCV𝑈)
6 eqid 2801 . . . 4 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
74, 5, 6imsval 28471 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) = (abs ∘ − ))
83, 7ax-mp 5 . 2 (IndMet‘𝑈) = (abs ∘ − )
91, 8eqtr4i 2827 1 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4534   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328   + caddc 10533   · cmul 10535   − cmin 10863  abscabs 14588  NrmCVeccnv 28370  IndMetcims 28377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387 This theorem is referenced by:  cnbn  28655
 Copyright terms: Public domain W3C validator