MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnims Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnims 30418
Description: The metric induced on the complex numbers. cnmet 24612 proves that it is a metric. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Dec-2006.) (Revised by NM, 15-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnims.6 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
cnims.7 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnims 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)

Proof of Theorem cnims
StepHypRef Expression
1 cnims.7 . 2 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
2 cnims.6 . . . 4 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
32cnnv 30402 . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
42cnnvm 30407 . . . 4 βˆ’ = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
52cnnvnm 30406 . . . 4 abs = (normCVβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2724 . . . 4 (IndMetβ€˜π‘ˆ) = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
74, 5, 6imsval 30410 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (IndMetβ€˜π‘ˆ) = (abs ∘ βˆ’ ))
83, 7ax-mp 5 . 2 (IndMetβ€˜π‘ˆ) = (abs ∘ βˆ’ )
91, 8eqtr4i 2755 1 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4627   ∘ ccom 5671  β€˜cfv 6534   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11442  abscabs 15179  NrmCVeccnv 30309  IndMetcims 30316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-ims 30326
This theorem is referenced by:  cnbn  30594
  Copyright terms: Public domain W3C validator