Theorem cnims 30785

Description: The metric induced on the complex numbers. cnmet 24752 proves that it is a metric. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Dec-2006.) (Revised by NM, 15-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnims.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
cnims.7	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnims	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Proof of Theorem cnims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnims.7	. 2 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
2		cnims.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
3	2	cnnv 30769	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	cnnvm 30774	. . . 4 ⊢ − = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	2	cnnvnm 30773	. . . 4 ⊢ abs = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
7	4, 5, 6	imsval 30777	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) = (abs ∘ − ))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (abs ∘ − )
9	1, 8	eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   ∘ ccom 5632  ‘cfv 6496   + caddc 11038   · cmul 11040   − cmin 11374  abscabs 15193  NrmCVeccnv 30676  IndMetcims 30683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113  ax-addf 11114  ax-mulf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-rp 12940  df-seq 13961  df-exp 14021  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-grpo 30585  df-gid 30586  df-ginv 30587  df-gdiv 30588  df-ablo 30637  df-vc 30651  df-nv 30684  df-va 30687  df-ba 30688  df-sm 30689  df-0v 30690  df-vs 30691  df-nmcv 30692  df-ims 30693

This theorem is referenced by:  cnbn  30961