Theorem fznnfl 13902

Description: Finite set of sequential integers starting at 1 and ending at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fznnfl	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznnfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13835	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
2		fznn 13632	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
4		nnz 12634	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5		flge 13845	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁)))
6	4, 5	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁)))
7	6	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
8	3, 7	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ⌊cfl 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fl 13832

This theorem is referenced by:  o1fsum  15849  fsumharmonic  27055  dvdsflf1o  27230  dvdsflsumcom  27231  fsumfldivdiaglem  27232  dchrisum0lem1a  27530  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2lem  27540  dchrvmasumlem2  27542  dchrisum0fno1  27555  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  mulog2sumlem2  27579  vmalogdivsum2  27582  2vmadivsumlem  27584  selberglem2  27590  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604