Theorem fznnfl 13687

Description: Finite set of sequential integers starting at 1 and ending at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fznnfl	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznnfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13620	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
2		fznn 13429	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
4		nnz 12447	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5		flge 13630	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁)))
6	4, 5	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁)))
7	6	pm5.32da 580	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
8	3, 7	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℝcr 10975  1c1 10977   ≤ cle 11115  ℕcn 12078  ℤcz 12424  ...cfz 13344  ⌊cfl 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-sup 9303  df-inf 9304  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-fl 13617

This theorem is referenced by:  o1fsum  15624  fsumharmonic  26266  dvdsflf1o  26441  dvdsflsumcom  26442  fsumfldivdiaglem  26443  dchrisum0lem1a  26739  dchrmusum2  26747  dchrvmasumlem1  26748  dchrvmasum2lem  26749  dchrvmasumlem2  26751  dchrisum0fno1  26764  dchrisum0lem1b  26768  dchrisum0lem1  26769  mulog2sumlem2  26788  vmalogdivsum2  26791  2vmadivsumlem  26793  selberglem2  26799  selberg3lem1  26810  selberg4lem1  26813