Theorem fznnfl 13872

Description: Finite set of sequential integers starting at 1 and ending at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fznnfl	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznnfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 13805	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
2		fznn 13597	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝑁) ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
4		nnz 12589	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5		flge 13815	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁)))
6	4, 5	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁)))
7	6	pm5.32da 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ (⌊‘𝑁))))
8	3, 7	bitr4d 284	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝐾 ∈ (1...(⌊‘𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  1c1 11074   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  ℤcz 12568  ...cfz 13512  ⌊cfl 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fl 13802

This theorem is referenced by:  o1fsum  15841  fsumharmonic  27076  dvdsflf1o  27251  dvdsflsumcom  27252  fsumfldivdiaglem  27253  dchrisum0lem1a  27550  dchrmusum2  27558  dchrvmasumlem1  27559  dchrvmasum2lem  27560  dchrvmasumlem2  27562  dchrisum0fno1  27575  dchrisum0lem1b  27579  dchrisum0lem1  27580  mulog2sumlem2  27599  vmalogdivsum2  27602  2vmadivsumlem  27604  selberglem2  27610  selberg3lem1  27621  selberg4lem1  27624