Theorem diagpropd 49989

Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have same diagonal functors. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stfpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
1stfpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
1stfpropd.3	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
1stfpropd.4	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
1stfpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cat)
1stfpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cat)
1stfpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
1stfpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
diagpropd	⊢ (𝜑 → (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐵Δfunc𝐷))

Proof of Theorem diagpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stfpropd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
2		1stfpropd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
3		1stfpropd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
4		1stfpropd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
5		1stfpropd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cat)
6		1stfpropd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cat)
7		1stfpropd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		1stfpropd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ×c 𝐶) = (𝐴 ×c 𝐶)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐴 1stF 𝐶) = (𝐴 1stF 𝐶)
11	9, 5, 7, 10	1stfcl 18253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 1stF 𝐶) ∈ ((𝐴 ×c 𝐶) Func 𝐴))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	curfpropd 18289	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐶⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)))
13		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐴Δfunc𝐶)
14	13, 5, 7	diagval 18296	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴Δfunc𝐶) = (⟨𝐴, 𝐶⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)))
15		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝐵Δfunc𝐷) = (𝐵Δfunc𝐷)
16	15, 6, 8	diagval 18296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵Δfunc𝐷) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐵 1stF 𝐷)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1stfpropd 49987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 1stF 𝐶) = (𝐵 1stF 𝐷))
18	17	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐵 1stF 𝐷)))
19	16, 18	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵Δfunc𝐷) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)))
20	12, 14, 19	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐵Δfunc𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Catccat 17720  Hom_f chomf 17722  comp_fccomf 17723   ×_c cxpc 18224   1^st_F c1stf 18225   curry_F ccurf 18266  Δ_funccdiag 18268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-hom 17334  df-cco 17335  df-cat 17724  df-cid 17725  df-homf 17726  df-comf 17727  df-func 17915  df-xpc 18228  df-1stf 18229  df-curf 18270  df-diag 18272

This theorem is referenced by:  lmdpropd  50354  cmdpropd  50355  cmddu  50365