Theorem diagpropd 49453

Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have same diagonal functors. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stfpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
1stfpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
1stfpropd.3	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
1stfpropd.4	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
1stfpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cat)
1stfpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cat)
1stfpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
1stfpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
diagpropd	⊢ (𝜑 → (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐵Δfunc𝐷))

Proof of Theorem diagpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stfpropd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐴) = (Homf ‘𝐵))
2		1stfpropd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐴) = (compf‘𝐵))
3		1stfpropd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
4		1stfpropd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
5		1stfpropd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cat)
6		1stfpropd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cat)
7		1stfpropd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		1stfpropd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐴 ×c 𝐶) = (𝐴 ×c 𝐶)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐴 1stF 𝐶) = (𝐴 1stF 𝐶)
11	9, 5, 7, 10	1stfcl 18111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 1stF 𝐶) ∈ ((𝐴 ×c 𝐶) Func 𝐴))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	curfpropd 18147	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐶⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)))
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐴Δfunc𝐶)
14	13, 5, 7	diagval 18154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴Δfunc𝐶) = (⟨𝐴, 𝐶⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)))
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐵Δfunc𝐷) = (𝐵Δfunc𝐷)
16	15, 6, 8	diagval 18154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵Δfunc𝐷) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐵 1stF 𝐷)))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	1stfpropd 49451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 1stF 𝐶) = (𝐵 1stF 𝐷))
18	17	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐵 1stF 𝐷)))
19	16, 18	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵Δfunc𝐷) = (⟨𝐵, 𝐷⟩ curryF (𝐴 1stF 𝐶)))
20	12, 14, 19	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴Δfunc𝐶) = (𝐵Δfunc𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Catccat 17578  Hom_f chomf 17580  comp_fccomf 17581   ×_c cxpc 18082   1^st_F c1stf 18083   curry_F ccurf 18124  Δ_funccdiag 18126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-homf 17584  df-comf 17585  df-func 17773  df-xpc 18086  df-1stf 18087  df-curf 18128  df-diag 18130

This theorem is referenced by:  lmdpropd  49818  cmdpropd  49819  cmddu  49829