Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspner01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspner01 42635
Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the equivalence). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspner01.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t · = ( ·𝑠𝑊)
prjspner01.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0 0 = (0g𝐾)
prjspner01.i 𝐼 = (invr𝐾)
prjspner01.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
prjspner01 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner01
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . . . . 7 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2 prjspner01.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
3 prjspner01.b . . . . . . 7 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
4 prjspner01.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐾)
5 prjspner01.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
6 prjspner01.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
71, 2, 3, 4, 5, 6prjspner 42629 . . . . . 6 (𝜑 Er 𝐵)
8 prjspner01.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
97, 8erref 8765 . . . . 5 (𝜑𝑋 𝑋)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 𝑋)
117adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → Er 𝐵)
12 prjspner01.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐾)
136adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
148adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋𝐵)
15 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
168, 3eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}))
1716eldifad 3963 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
192, 4, 18frlmbasf 21780 . . . . . . . . 9 (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆)
2015, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆)
21 prjspner01.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
22 0elfz 13664 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
2420, 23ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ 𝑆)
25 neqne 2948 . . . . . . 7 (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
26 prjspner01.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝐾)
274, 12, 26drnginvrcl 20753 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ 𝑆)
286, 24, 25, 27syl2an3an 1424 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ 𝑆)
294, 12, 26drnginvrn0 20754 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ≠ 0 )
306, 24, 25, 29syl2an3an 1424 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ≠ 0 )
311, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14, 28, 30prjspnvs 42630 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) 𝑋)
3211, 31ersym 8757 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
3310, 32ifpimpda 1081 . . 3 (𝜑 → if-((𝑋‘0) = 0 , 𝑋 𝑋, 𝑋 ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
34 brif2 42263 . . 3 (𝑋 if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ↔ if-((𝑋‘0) = 0 , 𝑋 𝑋, 𝑋 ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
3533, 34sylibr 234 . 2 (𝜑𝑋 if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
36 prjspner01.f . . 3 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
37 fveq1 6905 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3837eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
39 id 22 . . . 4 (𝑏 = 𝑋𝑏 = 𝑋)
4037fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
4140, 39oveq12d 7449 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
4238, 39, 41ifbieq12d 4554 . . 3 (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
43 ovexd 7466 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
448, 43ifexd 4574 . . 3 (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
4536, 42, 8, 44fvmptd3 7039 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
4635, 45breqtrrd 5171 1 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  if-wif 1063   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  0cc0 11155  0cn0 12526  ...cfz 13547  Basecbs 17247   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  invrcinvr 20387  DivRingcdr 20729   freeLMod cfrlm 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767
This theorem is referenced by:  prjspner1  42636
  Copyright terms: Public domain W3C validator