Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspner01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspner01 43214
Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the equivalence). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspner01.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner01.f 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspner01.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspner01.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner01.t · = ( ·𝑠𝑊)
prjspner01.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner01.0 0 = (0g𝐾)
prjspner01.i 𝐼 = (invr𝐾)
prjspner01.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspner01.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
prjspner01.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
prjspner01 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑙   𝐼,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝐵,𝑏   𝑋,𝑏   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐼,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑏,𝑙)   𝑊(𝑏)   0 (𝑙)

Proof of Theorem prjspner01
StepHypRef Expression
1 prjspner01.e . . . . . . 7 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2 prjspner01.w . . . . . . 7 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
3 prjspner01.b . . . . . . 7 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
4 prjspner01.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐾)
5 prjspner01.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
6 prjspner01.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
71, 2, 3, 4, 5, 6prjspner 43208 . . . . . 6 (𝜑 Er 𝐵)
8 prjspner01.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
97, 8erref 8703 . . . . 5 (𝜑𝑋 𝑋)
109adantr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 𝑋)
117adantr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → Er 𝐵)
12 prjspner01.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐾)
136adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝐾 ∈ DivRing)
148adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋𝐵)
15 ovexd 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
168, 3eleqtrdi 2875 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}))
1716eldifad 3919 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
192, 4, 18frlmbasf 21867 . . . . . . . . 9 (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆)
2015, 17, 19syl2anc 595 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(0...𝑁)⟶𝑆)
21 prjspner01.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
22 0elfz 13640 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2321, 22syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
2420, 23ffvelcdmd 7070 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ 𝑆)
25 neqne 2968 . . . . . . 7 (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
26 prjspner01.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝐾)
274, 12, 26drnginvrcl 20824 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ 𝑆)
286, 24, 25, 27syl2an3an 1445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ 𝑆)
294, 12, 26drnginvrn0 20825 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ≠ 0 )
306, 24, 25, 29syl2an3an 1445 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ≠ 0 )
311, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14, 28, 30prjspnvs 43209 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) 𝑋)
3211, 31ersym 8695 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
3310, 32ifpimpda 1095 . . 3 (𝜑 → if-((𝑋‘0) = 0 , 𝑋 𝑋, 𝑋 ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
34 brif2 42850 . . 3 (𝑋 if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ↔ if-((𝑋‘0) = 0 , 𝑋 𝑋, 𝑋 ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
3533, 34sylibr 237 . 2 (𝜑𝑋 if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
36 prjspner01.f . . 3 𝐹 = (𝑏𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
37 fveq1 6870 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3837eqeq1d 2767 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
39 id 23 . . . 4 (𝑏 = 𝑋𝑏 = 𝑋)
4037fveq2d 6875 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
4140, 39oveq12d 7418 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
4238, 39, 41ifbieq12d 4512 . . 3 (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
43 ovexd 7435 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
448, 43ifexd 4532 . . 3 (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
4536, 42, 8, 44fvmptd3 7003 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
4635, 45breqtrrd 5132 1 (𝜑𝑋 (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 400  if-wif 1076   = wceq 1563  wcel 2145  wne 2960  wrex 3089  Vcvv 3457  cdif 3904  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5104  {copab 5166  cmpt 5185  wf 6521  cfv 6525  (class class class)co 7400   Er wer 8679  0cc0 11088  0cn0 12492  ...cfz 13523  Basecbs 17257   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17480  invrcinvr 20457  DivRingcdr 20801   freeLMod cfrlm 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-subrg 20643  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lvec 21190  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-dsmm 21839  df-frlm 21854
This theorem is referenced by:  prjspner1  43215
  Copyright terms: Public domain W3C validator