Theorem gcdzeq 16262

Description: A positive integer 𝐴 is equal to its gcd with an integer 𝐵 if and only if 𝐴 divides 𝐵. Generalization of gcdeq 16263. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		gcddvds 16210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	3	simprd 496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
5		breq1 5077	. . 3 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
6	4, 5	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → 𝐴 ∥ 𝐵))
7	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		iddvds 15979	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ 𝐴)
10		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		nnne0 12007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
12		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	necon3ai 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16		dvdslegcd 16211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
18	9, 17	mpand 692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
19	3	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
20		gcdcl 16213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
21	1, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
23		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
24		dvdsle 16019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
26	19, 25	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴)
27	18, 26	jctild 526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
28	21	nn0red 12294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
29		nnre 11980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	28, 30	letri3d 11117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
32	27, 31	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴))
33	6, 32	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202

This theorem is referenced by:  gcdeq  16263  isevengcd2  16434  iseven5  45116