Theorem gcdzeq 16522

Description: A positive integer 𝐴 is equal to its gcd with an integer 𝐵 if and only if 𝐴 divides 𝐵. Generalization of gcdeq 16523. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12550	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		gcddvds 16473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	3	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
5		breq1 5110	. . 3 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
6	4, 5	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → 𝐴 ∥ 𝐵))
7	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		iddvds 16239	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐴)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ 𝐴)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		nnne0 12220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
12		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	necon3ai 2950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16		dvdslegcd 16474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
18	9, 17	mpand 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
19	3	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
20		gcdcl 16476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
21	1, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12555	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
23		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
24		dvdsle 16280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
26	19, 25	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴)
27	18, 26	jctild 525	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
28	21	nn0red 12504	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
29		nnre 12193	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	28, 30	letri3d 11316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
32	27, 31	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴))
33	6, 32	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465

This theorem is referenced by:  gcdeq  16523  isevengcd2  16700  iseven5  47662