Theorem eirr 16286

Description: e is irrational. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eirr	⊢ e ∉ ℚ

Proof of Theorem eirr

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
2		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
3		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → e = (𝑝 / 𝑞))
5	1, 2, 3, 4	eirrlem 16285	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞))
6	5	imnani 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ¬ e = (𝑝 / 𝑞))
7	6	nrexdv 3163	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ¬ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞))
8	7	nrex 3096	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞)
9		elq 12992	. . 3 ⊢ (e ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞))
10	8, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ e ∈ ℚ
11	10	nelir 3070	1 ⊢ e ∉ ℚ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3067  ∃wrex 3092   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1c1 11119   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℚcq 12990  !cfa 14329  eceu 16141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-e 16147

This theorem is used by:  egt2lt3  16287