MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eirr 15549
Description: e is irrational. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
eirr e ∉ ℚ

Proof of Theorem eirr
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
2 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
3 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
4 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞)) → e = (𝑝 / 𝑞))
51, 2, 3, 4eirrlem 15548 . . . . . 6 ¬ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ e = (𝑝 / 𝑞))
65imnani 404 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ¬ e = (𝑝 / 𝑞))
76nrexdv 3256 . . . 4 (𝑝 ∈ ℤ → ¬ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞))
87nrex 3255 . . 3 ¬ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞)
9 elq 12338 . . 3 (e ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ e = (𝑝 / 𝑞))
108, 9mtbir 326 . 2 ¬ e ∈ ℚ
1110nelir 3118 1 e ∉ ℚ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wnel 3115  wrex 3131  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  1c1 10527   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  cq 12336  !cfa 13629  eceu 15407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-e 15413
This theorem is referenced by:  egt2lt3  15550
  Copyright terms: Public domain W3C validator