Theorem ipasslem5 30912

Description: Lemma for ipassi 30918. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12865	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2		zcn 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3		nnrecre 12189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6	5	phnvi 30893	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
8		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	8, 9	dipcl 30789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12		mulass 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
13	2, 4, 11, 12	syl3an 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
14	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15		nncn 12155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17		nnne0 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divrecd 11922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20	19	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
21	20	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
22	20	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
25	8, 24	nvsass 30705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
26	6, 25	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
27	2, 4, 23, 26	syl3an 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
28	22, 27	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
29	28	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
30	8, 24	nvscl 30703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
31	6, 30	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
32	4, 31	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
34	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem3 30910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
35	32, 34	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36	35	3impb 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
37	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem4 30911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38	37	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
39	38	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
40	29, 36, 39	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
41	13, 21, 40	3eqtr4rd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
43	42	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
45	43, 44	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	41, 45	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47	46	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
48	47	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
49	48	rexlimivv 3178	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
50	1, 49	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
51	50	imp 406	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   / cdiv 11796  ℕcn 12147  ℤcz 12490  ℚcq 12863  NrmCVeccnv 30661   +_𝑣 cpv 30662  BaseSetcba 30663   ·_𝑠OLD cns 30664  ·_𝑖OLDcdip 30777  CPreHil_OLDccphlo 30889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-grpo 30570  df-gid 30571  df-ginv 30572  df-ablo 30622  df-vc 30636  df-nv 30669  df-va 30672  df-ba 30673  df-sm 30674  df-0v 30675  df-nmcv 30677  df-dip 30778  df-ph 30890

This theorem is referenced by:  ipasslem8  30914