Theorem ipasslem5 30355

Description: Lemma for ipassi 30361. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12938	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2		zcn 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3		nnrecre 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6	5	phnvi 30336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
8		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	8, 9	dipcl 30232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	mp3an13 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12		mulass 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
13	2, 4, 11, 12	syl3an 1158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
14	2	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15		nncn 12224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
16	15	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17		nnne0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
18	17	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divrecd 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20	19	3adant3 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
21	20	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
22	20	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
25	8, 24	nvsass 30148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
26	6, 25	mpan 686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
27	2, 4, 23, 26	syl3an 1158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
28	22, 27	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
29	28	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
30	8, 24	nvscl 30146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
31	6, 30	mp3an1 1446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
32	4, 31	sylan 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
34	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem3 30353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
35	32, 34	sylan2 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36	35	3impb 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
37	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem4 30354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38	37	3adant1 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
39	38	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
40	29, 36, 39	3eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
41	13, 21, 40	3eqtr4rd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
43	42	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
45	43, 44	eqeq12d 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	41, 45	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47	46	3expia 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
48	47	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
49	48	rexlimivv 3197	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
50	1, 49	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
51	50	imp 405	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ℚcq 12936  NrmCVeccnv 30104   +_𝑣 cpv 30105  BaseSetcba 30106   ·_𝑠OLD cns 30107  ·_𝑖OLDcdip 30220  CPreHil_OLDccphlo 30332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-dip 30221  df-ph 30333

This theorem is referenced by:  ipasslem8  30357