MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem5 28616
Description: Lemma for ipassi 28622. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem5 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12345 . . 3 (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2 zcn 11981 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3 nnrecre 11674 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
43recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
65phnvi 28597 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
7 ipasslem1.b . . . . . . . . . 10 𝐵𝑋
8 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 ip1i.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
108, 9dipcl 28493 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
116, 7, 10mp3an13 1449 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12 mulass 10619 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
132, 4, 11, 12syl3an 1157 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
142adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15 nncn 11640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
1615adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17 nnne0 11666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1817adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
1914, 16, 18divrecd 11413 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20193adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
2120oveq1d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
2220oveq1d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋𝐴𝑋)
24 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
258, 24nvsass 28409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
266, 25mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
272, 4, 23, 26syl3an 1157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2822, 27eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2928oveq1d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
308, 24nvscl 28407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
316, 30mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
324, 31sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33 ip1i.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
348, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem3 28614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3532, 34sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36353impb 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
378, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem4 28615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38373adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
3938oveq2d 7162 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4029, 36, 393eqtrd 2863 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4113, 21, 403eqtr4rd 2870 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42 oveq1 7153 . . . . . . . . 9 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
4342oveq1d 7161 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44 oveq1 7153 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
4543, 44eqeq12d 2840 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4641, 45syl5ibrcom 250 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47463expia 1118 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4847com23 86 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4948rexlimivv 3285 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
501, 49sylbi 220 . 2 (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5150imp 410 1 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  cn 11632  cz 11976  cq 12343  NrmCVeccnv 28365   +𝑣 cpv 28366  BaseSetcba 28367   ·𝑠OLD cns 28368  ·𝑖OLDcdip 28481  CPreHilOLDccphlo 28593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-nmcv 28381  df-dip 28482  df-ph 28594
This theorem is referenced by:  ipasslem8  28618
  Copyright terms: Public domain W3C validator