MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem5 29777
Description: Lemma for ipassi 29783. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem5 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12875 . . 3 (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2 zcn 12504 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3 nnrecre 12195 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
43recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
65phnvi 29758 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
7 ipasslem1.b . . . . . . . . . 10 𝐵𝑋
8 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 ip1i.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
108, 9dipcl 29654 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
116, 7, 10mp3an13 1452 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12 mulass 11139 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
132, 4, 11, 12syl3an 1160 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
142adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15 nncn 12161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
1914, 16, 18divrecd 11934 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20193adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
2120oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
2220oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋𝐴𝑋)
24 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
258, 24nvsass 29570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
266, 25mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
272, 4, 23, 26syl3an 1160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2822, 27eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
2928oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
308, 24nvscl 29568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
316, 30mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
324, 31sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33 ip1i.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
348, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem3 29775 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3532, 34sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36353impb 1115 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
378, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem4 29776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38373adant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
3938oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4029, 36, 393eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4113, 21, 403eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
4342oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
4543, 44eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
4641, 45syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47463expia 1121 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4847com23 86 . . . 4 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
4948rexlimivv 3196 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
501, 49sylbi 216 . 2 (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5150imp 407 1 ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  cq 12873  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  ·𝑖OLDcdip 29642  CPreHilOLDccphlo 29754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-nmcv 29542  df-dip 29643  df-ph 29755
This theorem is referenced by:  ipasslem8  29779
  Copyright terms: Public domain W3C validator