MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem5 30597
Description: Lemma for ipassi 30603. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem5 ((𝐢 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))

Proof of Theorem ipasslem5
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12938 . . 3 (𝐢 ∈ β„š ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝐢 = (𝑗 / π‘˜))
2 zcn 12567 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
3 nnrecre 12258 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
43recnd 11246 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ β„‚)
5 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
65phnvi 30578 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
7 ipasslem1.b . . . . . . . . . 10 𝐡 ∈ 𝑋
8 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
9 ip1i.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
108, 9dipcl 30474 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
116, 7, 10mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
12 mulass 11200 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ (1 / π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((𝑗 Β· (1 / π‘˜)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑗 Β· ((1 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
132, 4, 11, 12syl3an 1157 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗 Β· (1 / π‘˜)) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝑗 Β· ((1 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
142adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
15 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
17 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ β‰  0)
1914, 16, 18divrecd 11997 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑗 / π‘˜) = (𝑗 Β· (1 / π‘˜)))
20193adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑗 / π‘˜) = (𝑗 Β· (1 / π‘˜)))
2120oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((𝑗 Β· (1 / π‘˜)) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2220oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴) = ((𝑗 Β· (1 / π‘˜))𝑆𝐴))
23 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
24 ip1i.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
258, 24nvsass 30390 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ β„‚ ∧ (1 / π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑗 Β· (1 / π‘˜))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴)))
266, 25mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ (1 / π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗 Β· (1 / π‘˜))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴)))
272, 4, 23, 26syl3an 1157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗 Β· (1 / π‘˜))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴)))
2822, 27eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴)))
2928oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴))𝑃𝐡))
308, 24nvscl 30388 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / π‘˜)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
316, 30mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / π‘˜)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
324, 31sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / π‘˜)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33 ip1i.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
348, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem3 30595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ ((1 / π‘˜)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (((1 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3532, 34sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (((1 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
36353impb 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑗𝑆((1 / π‘˜)𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑗 Β· (((1 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
378, 33, 24, 9, 5, 7ipasslem4 30596 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((1 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
38373adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((1 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((1 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
3938oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑗 Β· (((1 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = (𝑗 Β· ((1 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4029, 36, 393eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑗 Β· ((1 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4113, 21, 403eqtr4rd 2777 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑗 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
42 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ (𝐢𝑆𝐴) = ((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴))
4342oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡))
44 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((𝑗 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡)))
4543, 44eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ↔ (((𝑗 / π‘˜)𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑗 / π‘˜) Β· (𝐴𝑃𝐡))))
4641, 45syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
47463expia 1118 . . . . 5 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
4847com23 86 . . . 4 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))))
4948rexlimivv 3193 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝐢 = (𝑗 / π‘˜) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
501, 49sylbi 216 . 2 (𝐢 ∈ β„š β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5150imp 406 1 ((𝐢 ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936  NrmCVeccnv 30346   +𝑣 cpv 30347  BaseSetcba 30348   ·𝑠OLD cns 30349  Β·π‘–OLDcdip 30462  CPreHilOLDccphlo 30574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-nmcv 30362  df-dip 30463  df-ph 30575
This theorem is referenced by:  ipasslem8  30599
  Copyright terms: Public domain W3C validator