Theorem ipasslem5 30925

Description: Lemma for ipassi 30931. Show the inner product associative law for rational numbers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem5	⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem5

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12892	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘))
2		zcn 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
3		nnrecre 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
5		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6	5	phnvi 30906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		ipasslem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
8		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	8, 9	dipcl 30802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	mp3an13 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
12		mulass 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
13	2, 4, 11, 12	syl3an 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
14	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
15		nncn 12174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
17		nnne0 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divrecd 11926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
20	19	3adant3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 / 𝑘) = (𝑗 · (1 / 𝑘)))
21	20	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 · (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑃𝐵)))
22	20	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋)
24		ip1i.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
25	8, 24	nvsass 30718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
26	6, 25	mpan 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
27	2, 4, 23, 26	syl3an 1166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 · (1 / 𝑘))𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
28	22, 27	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴) = (𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴)))
29	28	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵))
30	8, 24	nvscl 30716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
31	6, 30	mp3an1 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
32	4, 31	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
33		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
34	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem3 30923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ((1 / 𝑘)𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
35	32, 34	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
36	35	3impb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑗𝑆((1 / 𝑘)𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
37	8, 33, 24, 9, 5, 7	ipasslem4 30924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
38	37	3adant1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
39	38	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑗 · (((1 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
40	29, 36, 39	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑗 · ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
41	13, 21, 40	3eqtr4rd 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
42		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶𝑆𝐴) = ((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴))
43	42	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵))
44		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵)))
45	43, 44	eqeq12d 2755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ↔ (((𝑗 / 𝑘)𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑗 / 𝑘) · (𝐴𝑃𝐵))))
46	41, 45	syl5ibrcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
47	46	3expia 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
48	47	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))))
49	48	rexlimivv 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐶 = (𝑗 / 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
50	1, 49	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
51	50	imp 407	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℤcz 12516  ℚcq 12890  NrmCVeccnv 30674   +_𝑣 cpv 30675  BaseSetcba 30676   ·_𝑠OLD cns 30677  ·_𝑖OLDcdip 30790  CPreHil_OLDccphlo 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-sum 15641  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-nmcv 30690  df-dip 30791  df-ph 30903

This theorem is referenced by:  ipasslem8  30927