Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4 46576
Description: Lemma 3 for lighneal 46577. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)

Proof of Theorem lighneallem4
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 nnnn0 12483 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2expcld 14115 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
433ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 11213 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 eldifi 4125 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
7 prmnn 16615 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
8 nncn 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1093ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
11 nnnn0 12483 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
12113ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1310, 12expcld 14115 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
144, 5, 133jca 1126 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚))
1514adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚))
16 subadd2 11468 . . . . . 6 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘)))
1810adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
19 simpl2 1190 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
20 simpr 483 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
2118, 19, 20oddpwp1fsum 16339 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
2221eqeq1d 2732 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘) โ†” ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)))
23 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„•)
2423nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
256, 7, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
26253ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
27 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
28 neg1z 12602 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„ค
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
30 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
31 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3229, 30, 31syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
346, 7, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
35343ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
36 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3735, 30, 36syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3832, 37zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
3927, 38fsumzcl 15685 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
4026, 39jca 510 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
42 dvdsmul2 16226 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
44 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘)))
4544adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘)))
46 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1)))
47 2prm 16633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„™
48 prmuz2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
50493ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
52 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โ‰  1 โ†” ยฌ ๐‘€ = 1)
53 eluz2b3 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
5453simplbi2 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โ‰  1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5552, 54biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
56553ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5857adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5958impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
60 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
61 lighneallem4b 46575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6251, 59, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6323ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
65 dvdsprmpweqnn 16822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)))
6647, 62, 64, 65mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)))
67 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„ค
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
69 iddvdsexp 16227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›))
7068, 69sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›))
71 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›)))
7271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›)))
73 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
7428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
7574, 31sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
76 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
7776adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
78 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7977, 78nn0expcld 14213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
8079nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8175, 80zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
8281ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
836, 7, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
84833ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
8584ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
8685, 30impel 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
87 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
88 m1expcl2 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1})
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1})
90 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
9190elpr 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1))
92 n2dvdsm1 16316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ยฌ 2 โˆฅ -1
93 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โ†’ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ -1))
9492, 93mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
95 n2dvds1 16315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ยฌ 2 โˆฅ 1
96 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-1โ†‘๐‘˜) = 1 โ†’ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
9795, 96mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-1โ†‘๐‘˜) = 1 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
9894, 97jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
9998a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜)))
10091, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜)))
10189, 100mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
102101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
103 elnn0 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0))
104 oddn2prm 16749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
106 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
107 prmdvdsexp 16656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
10847, 34, 106, 107mp3an2ani 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
109105, 108mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
110109expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
111 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
112111adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
1139adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
114113exp0d 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘0) = 1)
115112, 114eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = 1)
116115breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
11795, 116mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
118117ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
119110, 118jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
120103, 119sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
121120impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
122 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ยฌ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
123102, 121, 122sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
12428, 31mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
125124adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1266, 7, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
127126adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
128 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
129127, 128nn0expcld 14213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
130129nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
131 euclemma 16654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
13247, 125, 130, 131mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
133123, 132mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
134133ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1351343ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
136135ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
137136, 30impel 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
138 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
139 hashfz0 14396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
141 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
142 npcan1 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
144140, 143eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
1451443ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
146145adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
147146breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
148147notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
149148biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
150149impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
151150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
15273, 86, 137, 151oddsumodd 16337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
154153adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
15572, 154sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
156155ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1)))
15770, 156mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
158157rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
15966, 158syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
160159exp32 419 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))))
161160com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))))
162161impd 409 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1)))
16346, 162pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
164163adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16545, 164sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘€ = 1))
16643, 165mpd 15 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ๐‘€ = 1)
167166ex 411 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16822, 167sylbid 239 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16917, 168sylbid 239 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
170169ex 411 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
171170adantld 489 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1721713imp 1109 1 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294  ฮฃcsu 15636   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774
This theorem is referenced by:  lighneal  46577
  Copyright terms: Public domain W3C validator