Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4 45876
Description: Lemma 3 for lighneal 45877. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)

Proof of Theorem lighneallem4
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12238 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 nnnn0 12427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2expcld 14058 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
433ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 11157 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 eldifi 4091 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
7 prmnn 16557 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
8 nncn 12168 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1093ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
11 nnnn0 12427 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
12113ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1310, 12expcld 14058 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
144, 5, 133jca 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚))
1514adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚))
16 subadd2 11412 . . . . . 6 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘)))
1810adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
19 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
20 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
2118, 19, 20oddpwp1fsum 16281 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
2221eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘) โ†” ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)))
23 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„•)
2423nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
256, 7, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
26253ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
27 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
28 neg1z 12546 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„ค
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
30 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
31 zexpcl 13989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3229, 30, 31syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
346, 7, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
35343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
36 zexpcl 13989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3735, 30, 36syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3832, 37zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
3927, 38fsumzcl 15627 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
4026, 39jca 513 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
42 dvdsmul2 16168 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
44 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘)))
4544adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘)))
46 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1)))
47 2prm 16575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„™
48 prmuz2 16579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
50493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
52 df-ne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โ‰  1 โ†” ยฌ ๐‘€ = 1)
53 eluz2b3 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
5453simplbi2 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โ‰  1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5552, 54biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
56553ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5958impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
60 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
61 lighneallem4b 45875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6251, 59, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6323ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
65 dvdsprmpweqnn 16764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)))
6647, 62, 64, 65mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)))
67 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„ค
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
69 iddvdsexp 16169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›))
7068, 69sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›))
71 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›)))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›)))
73 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
7428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
7574, 31sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
76 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
78 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7977, 78nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
8079nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8175, 80zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
8281ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
836, 7, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
84833ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
8685, 30impel 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
87 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
88 m1expcl2 13998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1})
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1})
90 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
9190elpr 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1))
92 n2dvdsm1 16258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ยฌ 2 โˆฅ -1
93 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โ†’ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ -1))
9492, 93mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
95 n2dvds1 16257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ยฌ 2 โˆฅ 1
96 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-1โ†‘๐‘˜) = 1 โ†’ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
9795, 96mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-1โ†‘๐‘˜) = 1 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
9894, 97jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
9998a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜)))
10091, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜)))
10189, 100mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
102101adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
103 elnn0 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0))
104 oddn2prm 16691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
106 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
107 prmdvdsexp 16598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
10847, 34, 106, 107mp3an2ani 1469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
109105, 108mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
110109expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
111 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
112111adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
1139adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
114113exp0d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘0) = 1)
115112, 114eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = 1)
116115breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
11795, 116mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
118117ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
119110, 118jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
120103, 119sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
121120impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
122 ioran 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ยฌ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
123102, 121, 122sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
12428, 31mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
125124adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1266, 7, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
127126adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
128 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
129127, 128nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
130129nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
131 euclemma 16596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
13247, 125, 130, 131mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
133123, 132mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
134133ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1351343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
136135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
137136, 30impel 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
138 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
139 hashfz0 14339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
141 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
142 npcan1 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
144140, 143eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
1451443ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
146145adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
147146breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
148147notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
149148biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
150149impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
151150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
15273, 86, 137, 151oddsumodd 16279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
154153adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
15572, 154sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
156155ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1)))
15770, 156mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
158157rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
15966, 158syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
160159exp32 422 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))))
161160com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))))
162161impd 412 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1)))
16346, 162pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
164163adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16545, 164sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘€ = 1))
16643, 165mpd 15 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ๐‘€ = 1)
167166ex 414 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16822, 167sylbid 239 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16917, 168sylbid 239 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
170169ex 414 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
171170adantld 492 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1721713imp 1112 1 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  lighneal  45877
  Copyright terms: Public domain W3C validator