Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneallem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneallem4 46578
Description: Lemma 3 for lighneal 46579. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)

Proof of Theorem lighneallem4
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12295 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 nnnn0 12484 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2expcld 14116 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
433ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 11214 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
7 prmnn 16616 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
8 nncn 12225 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1093ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
11 nnnn0 12484 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
12113ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1310, 12expcld 14116 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
144, 5, 133jca 1127 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚))
1514adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚))
16 subadd2 11469 . . . . . 6 (((2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘)))
1810adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
19 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
2118, 19, 20oddpwp1fsum 16340 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
2221eqeq1d 2733 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘) โ†” ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)))
23 peano2nn 12229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„•)
2423nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
256, 7, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
26253ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค)
27 fzfid 13943 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
28 neg1z 12603 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„ค
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
30 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
31 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3229, 30, 31syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
346, 7, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
35343ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
36 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3735, 30, 36syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3832, 37zmulcld 12677 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
3927, 38fsumzcl 15686 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
4026, 39jca 511 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
42 dvdsmul2 16227 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
44 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘)))
4544adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘)))
46 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1)))
47 2prm 16634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„™
48 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
496, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
50493ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
52 df-ne 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โ‰  1 โ†” ยฌ ๐‘€ = 1)
53 eluz2b3 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โ‰  1))
5453simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โ‰  1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5552, 54biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
56553ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
5958impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
60 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
61 lighneallem4b 46577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6251, 59, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6323ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
65 dvdsprmpweqnn 16823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)))
6647, 62, 64, 65mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)))
67 2z 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„ค
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
69 iddvdsexp 16228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›))
7068, 69sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›))
71 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›)))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›)))
73 fzfid 13943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
7428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
7574, 31sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
76 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7977, 78nn0expcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
8079nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
8175, 80zmulcld 12677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
8281ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
836, 7, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
84833ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค))
8685, 30impel 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ค)
87 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
88 m1expcl2 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1})
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1})
90 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
9190elpr 4652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1))
92 n2dvdsm1 16317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ยฌ 2 โˆฅ -1
93 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โ†’ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ -1))
9492, 93mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
95 n2dvds1 16316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ยฌ 2 โˆฅ 1
96 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-1โ†‘๐‘˜) = 1 โ†’ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
9795, 96mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-1โ†‘๐‘˜) = 1 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
9894, 97jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
9998a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((-1โ†‘๐‘˜) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘˜) = 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜)))
10091, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜)))
10189, 100mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜))
103 elnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0))
104 oddn2prm 16750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ)
106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
107 prmdvdsexp 16657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
10847, 34, 106, 107mp3an2ani 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
109105, 108mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
110109expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
111 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘0))
1139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
114113exp0d 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘0) = 1)
115112, 114eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = 1)
116115breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” 2 โˆฅ 1))
11795, 116mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘˜ = 0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
118117ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
119110, 118jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
120103, 119sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
121120impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
122 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ยฌ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (ยฌ 2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
123102, 121, 122sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
12428, 31mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
1266, 7, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
127126adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
128 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
129127, 128nn0expcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
130129nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
131 euclemma 16655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
13247, 125, 130, 131mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†” (2 โˆฅ (-1โ†‘๐‘˜) โˆจ 2 โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
133123, 132mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
134133ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1351343ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
136135ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
137136, 30impel 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
138 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
139 hashfz0 14397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))) = ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1))
141 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
142 npcan1 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘€)
144140, 143eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
1451443ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ ๐‘€ = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
147146breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
148147notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
149148biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘€ = 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1)))))
150149impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
151150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘€ โˆ’ 1))))
15273, 86, 137, 151oddsumodd 16338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘€ = 1))
15572, 154sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›)) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
156155ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1)))
15770, 156mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
158157rexlimdva 3154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2โ†‘๐‘›) โ†’ ๐‘€ = 1))
15966, 158syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ ๐‘€ = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
160159exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))))
161160com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))))
162161impd 410 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘€ = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1)))
16346, 162pm2.61i 182 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
164163adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16545, 164sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆฅ ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘€ = 1))
16643, 165mpd 15 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘)) โ†’ ๐‘€ = 1)
167166ex 412 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16822, 167sylbid 239 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) + 1) = (2โ†‘๐‘) โ†’ ๐‘€ = 1))
16917, 168sylbid 239 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1))
170169ex 412 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
171170adantld 490 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ†’ ๐‘€ = 1)))
1721713imp 1110 1 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โˆง ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295  ฮฃcsu 15637   โˆฅ cdvds 16202  โ„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775
This theorem is referenced by:  lighneal  46579
  Copyright terms: Public domain W3C validator