Theorem expnprm 16831

Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
expnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 12836	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4		eluzelz 12762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)
7		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		prmnn 16602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnne0d 12196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
11		eluz2nn 12802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	0expd 14063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
14	10, 13	neeqtrrd 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15		oveq1 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	necon3i 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18		pcqcl 16785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
19	6, 7, 17, 18	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20		dvdsmul1 16205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
21	5, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
22	9	nncnd 12162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
23	22	exp1d 14065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁)↑1) = (𝐴↑𝑁))
24	23	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)))
25		1z 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		pcid 16802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
27	6, 25, 26	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
28		pcexp 16788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
29	6, 7, 17, 5, 28	syl121anc 1378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
30	24, 27, 29	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
31	21, 30	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
33	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		dvds1 16247	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
37	32, 36	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
38	37	necon3ad 2946	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ))
39	3, 38	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12752  ℚcq 12862  ↑cexp 13985   ∥ cdvds 16180  ℙcprime 16599   pCnt cpc 16765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-prm 16600  df-pc 16766

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  27436