MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnprm 16010
Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
expnprm ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 12069 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
21simprbi 492 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
32adantl 475 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4 eluzelz 12002 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
54ad2antlr 717 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
7 simpll 757 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 prmnn 15793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
98adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
109nnne0d 11425 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
11 eluz2nn 12032 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211ad2antlr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13120expd 13343 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
1410, 13neeqtrrd 3043 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15 oveq1 6929 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
1615necon3i 3001 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18 pcqcl 15965 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
196, 7, 17, 18syl12anc 827 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20 dvdsmul1 15410 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
215, 19, 20syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
229nncnd 11392 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2322exp1d 13322 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁)↑1) = (𝐴𝑁))
2423oveq2d 6938 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)))
25 1z 11759 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
26 pcid 15981 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
276, 25, 26sylancl 580 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
28 pcexp 15968 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
296, 7, 17, 5, 28syl121anc 1443 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
3024, 27, 293eqtr3rd 2823 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
3121, 30breqtrd 4912 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
3231ex 403 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
3311adantl 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnnn0d 11702 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35 dvds1 15448 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3634, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3732, 36sylibd 231 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
3837necon3ad 2982 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ))
393, 38mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  cq 12095  cexp 13178  cdvds 15387  cprime 15790   pCnt cpc 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  25626
  Copyright terms: Public domain W3C validator