Theorem expnprm 16818

Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
expnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 12824	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4		eluzelz 12750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)
7		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		prmnn 16589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnne0d 12184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
11		eluz2nn 12790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	0expd 14050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
14	10, 13	neeqtrrd 3003	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15		oveq1 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	necon3i 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18		pcqcl 16772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
19	6, 7, 17, 18	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20		dvdsmul1 16192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
21	5, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
22	9	nncnd 12150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
23	22	exp1d 14052	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁)↑1) = (𝐴↑𝑁))
24	23	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)))
25		1z 12510	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		pcid 16789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
27	6, 25, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
28		pcexp 16775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
29	6, 7, 17, 5, 28	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
30	24, 27, 29	3eqtr3rd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
31	21, 30	breqtrd 5121	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
33	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		dvds1 16234	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
37	32, 36	sylibd 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
38	37	necon3ad 2942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ))
39	3, 38	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   · cmul 11020  ℕcn 12134  2c2 12189  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477  ℤ_≥cuz 12740  ℚcq 12850  ↑cexp 13972   ∥ cdvds 16167  ℙcprime 16586   pCnt cpc 16752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-dvds 16168  df-gcd 16410  df-prm 16587  df-pc 16753

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  27426