MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnprm 16782
Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
expnprm ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem expnprm
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 12855 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰  1))
21simprbi 498 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โ‰  1)
32adantl 483 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โ‰  1)
4 eluzelz 12781 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
54ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™)
7 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
8 prmnn 16558 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
98adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
109nnne0d 12211 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
11 eluz2nn 12817 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
13120expd 14053 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
1410, 13neeqtrrd 3015 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  (0โ†‘๐‘))
15 oveq1 7368 . . . . . . . . . 10 (๐ด = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
1615necon3i 2973 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘๐‘) โ‰  (0โ†‘๐‘) โ†’ ๐ด โ‰  0)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โ‰  0)
18 pcqcl 16736 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
196, 7, 17, 18syl12anc 836 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
20 dvdsmul1 16168 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด)))
215, 19, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด)))
229nncnd 12177 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
2322exp1d 14055 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘1) = (๐ดโ†‘๐‘))
2423oveq2d 7377 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt (๐ดโ†‘๐‘)))
25 1z 12541 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
26 pcid 16753 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘1)) = 1)
276, 25, 26sylancl 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘1)) = 1)
28 pcexp 16739 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด)))
296, 7, 17, 5, 28syl121anc 1376 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด)))
3024, 27, 293eqtr3rd 2782 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท ((๐ดโ†‘๐‘) pCnt ๐ด)) = 1)
3121, 30breqtrd 5135 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆฅ 1)
3231ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆฅ 1))
3311adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3433nnnn0d 12481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
35 dvds1 16209 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ = 1))
3634, 35syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ โˆฅ 1 โ†” ๐‘ = 1))
3732, 36sylibd 238 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ = 1))
3837necon3ad 2953 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ โ‰  1 โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™))
393, 38mpd 15 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„šcq 12881  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555   pCnt cpc 16716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  26856
  Copyright terms: Public domain W3C validator