MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnprm 16842
Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
expnprm ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 12913 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
21simprbi 496 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
32adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4 eluzelz 12839 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
54ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
7 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
109nnne0d 12269 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
11 eluz2nn 12875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13120expd 14111 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
1410, 13neeqtrrd 3014 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
1615necon3i 2972 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18 pcqcl 16796 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
196, 7, 17, 18syl12anc 834 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20 dvdsmul1 16228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
215, 19, 20syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
229nncnd 12235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2322exp1d 14113 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁)↑1) = (𝐴𝑁))
2423oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)))
25 1z 12599 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
26 pcid 16813 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
276, 25, 26sylancl 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
28 pcexp 16799 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
296, 7, 17, 5, 28syl121anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
3024, 27, 293eqtr3rd 2780 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
3121, 30breqtrd 5174 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
3231ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
3311adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnnn0d 12539 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35 dvds1 16269 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3634, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3732, 36sylibd 238 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
3837necon3ad 2952 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ))
393, 38mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121  cn 12219  2c2 12274  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  cq 12939  cexp 14034  cdvds 16204  cprime 16615   pCnt cpc 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  27332
  Copyright terms: Public domain W3C validator