Theorem expnprm 16871

Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
expnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 12870	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2	1	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4		eluzelz 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)
7		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		prmnn 16641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnne0d 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
11		eluz2nn 12836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	0expd 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
14	10, 13	neeqtrrd 3009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	necon3i 2967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18		pcqcl 16825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
19	6, 7, 17, 18	syl12anc 842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20		dvdsmul1 16244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
21	5, 19, 20	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
22	9	nncnd 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
23	22	exp1d 14101	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁)↑1) = (𝐴↑𝑁))
24	23	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)))
25		1z 12555	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		pcid 16842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
27	6, 25, 26	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
28		pcexp 16828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
29	6, 7, 17, 5, 28	syl121anc 1383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
30	24, 27, 29	3eqtr3rd 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
31	21, 30	breqtrd 5105	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
32	31	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
33	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		dvds1 16286	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
37	32, 36	sylibd 240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
38	37	necon3ad 2948	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ))
39	3, 38	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℚcq 12896  ↑cexp 14021   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638   pCnt cpc 16805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  27473