Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcllemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcllemf 15365
 Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 15358 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllemf.ph 𝑘𝜑
fprodcllemf.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcllemf.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fprodcllemf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2919 . . 3 𝑗𝐵
2 nfcsb1v 3831 . . 3 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 csbeq1a 3821 . . 3 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41, 2, 3cbvprodi 15324 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
5 fprodcllemf.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 fprodcllemf.xy . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7 fprodcllemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fprodcllemf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
9 fprodcllemf.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
109ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
118, 10ralrimi 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
12 rspsbc 3787 . . . . 5 (𝑗𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆[𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆))
1311, 12mpan9 510 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆)
14 sbcel1g 4313 . . . . 5 (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆))
1514elv 3415 . . . 4 ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
1613, 15sylib 221 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
17 fprodcllemf.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
185, 6, 7, 16, 17fprodcllem 15358 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
194, 18eqeltrid 2856 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  [wsbc 3698  ⦋csb 3807   ⊆ wss 3860  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  ℂcc 10578  1c1 10581   · cmul 10585  ∏cprod 15312 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-prod 15313 This theorem is referenced by:  fprodreclf  15366  fprodn0f  15398  fprodclf  15399  fprodge0  15400  fprodge1  15402
 Copyright terms: Public domain W3C validator