MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcllemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcllemf 15994
Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 15987 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllemf.ph 𝑘𝜑
fprodcllemf.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcllemf.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fprodcllemf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2905 . . 3 𝑗𝐵
2 nfcsb1v 3923 . . 3 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 csbeq1a 3913 . . 3 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41, 2, 3cbvprodi 15951 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
5 fprodcllemf.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 fprodcllemf.xy . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7 fprodcllemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fprodcllemf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
9 fprodcllemf.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
109ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
118, 10ralrimi 3257 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
12 rspsbc 3879 . . . . 5 (𝑗𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆[𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆))
1311, 12mpan9 506 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆)
14 sbcel1g 4416 . . . . 5 (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆))
1514elv 3485 . . . 4 ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
1613, 15sylib 218 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
17 fprodcllemf.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
185, 6, 7, 16, 17fprodcllem 15987 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
194, 18eqeltrid 2845 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  [wsbc 3788  csb 3899  wss 3951  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  1c1 11156   · cmul 11160  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  fprodreclf  15995  fprodn0f  16027  fprodclf  16028  fprodge0  16029  fprodge1  16031
  Copyright terms: Public domain W3C validator