Theorem fprodcllemf 16008

Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 16001 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllemf.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodcllemf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcllemf.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fprodcllemf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
2		nfcsb1v 3877	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3		csbeq1a 3867	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
4	1, 2, 3	cbvprodi 15965	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
5		fprodcllemf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		fprodcllemf.xy	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7		fprodcllemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fprodcllemf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		fprodcllemf.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
11	8, 10	ralrimi 3263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
12		rspsbc 3832	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → [𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆))
13	11, 12	mpan9 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆)
14		sbcel1g 4381	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
15	14	elv 3460	. . . 4 ⊢ ([𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
16	13, 15	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
17		fprodcllemf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
18	5, 6, 7, 16, 17	fprodcllem 16001	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
19	4, 18	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  [wsbc 3744  ⦋csb 3853   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  1c1 11096   · cmul 11100  ∏cprod 15953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954

This theorem is referenced by:  fprodreclf  16009  fprodn0f  16041  fprodclf  16042  fprodge0  16043  fprodge1  16045