Theorem fprodcllemf 15914

Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 15907 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllemf.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodcllemf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcllemf.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fprodcllemf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
2		nfcsb1v 3862	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3		csbeq1a 3852	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
4	1, 2, 3	cbvprodi 15871	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
5		fprodcllemf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		fprodcllemf.xy	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7		fprodcllemf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fprodcllemf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		fprodcllemf.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑆))
11	8, 10	ralrimi 3236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
12		rspsbc 3818	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → [𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆))
13	11, 12	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆)
14		sbcel1g 4357	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆))
15	14	elv 3435	. . . 4 ⊢ ([𝑗 / 𝑘]𝐵 ∈ 𝑆 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
16	13, 15	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
17		fprodcllemf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
18	5, 6, 7, 16, 17	fprodcllem 15907	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑆)
19	4, 18	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  [wsbc 3729  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  1c1 11030   · cmul 11034  ∏cprod 15859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860

This theorem is referenced by:  fprodreclf  15915  fprodn0f  15947  fprodclf  15948  fprodge0  15949  fprodge1  15951