MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcllemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcllemf 15991
Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 15984 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllemf.ph 𝑘𝜑
fprodcllemf.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcllemf.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fprodcllemf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . 3 𝑗𝐵
2 nfcsb1v 3933 . . 3 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 csbeq1a 3922 . . 3 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41, 2, 3cbvprodi 15948 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
5 fprodcllemf.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 fprodcllemf.xy . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7 fprodcllemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fprodcllemf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
9 fprodcllemf.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
109ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
118, 10ralrimi 3255 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
12 rspsbc 3888 . . . . 5 (𝑗𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆[𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆))
1311, 12mpan9 506 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆)
14 sbcel1g 4422 . . . . 5 (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆))
1514elv 3483 . . . 4 ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
1613, 15sylib 218 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
17 fprodcllemf.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
185, 6, 7, 16, 17fprodcllem 15984 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
194, 18eqeltrid 2843 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  [wsbc 3791  csb 3908  wss 3963  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937
This theorem is referenced by:  fprodreclf  15992  fprodn0f  16024  fprodclf  16025  fprodge0  16026  fprodge1  16028
  Copyright terms: Public domain W3C validator