MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2mul 15135
Description: Separate the nested sum of the product 𝐶(𝑗) · 𝐷(𝑘). (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2mul.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2mul.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fsum2mul.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsum2mul.4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum2mul (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 (𝐶 · 𝐷) = (Σ𝑗𝐴 𝐶 · Σ𝑘𝐵 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsum2mul
StepHypRef Expression
1 fsum2mul.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsum2mul.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3 fsum2mul.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
42, 3fsumcl 15081 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐷 ∈ ℂ)
5 fsum2mul.3 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
61, 4, 5fsummulc1 15131 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝐶 · Σ𝑘𝐵 𝐷) = Σ𝑗𝐴 (𝐶 · Σ𝑘𝐵 𝐷))
72adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
83adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
97, 5, 8fsummulc2 15130 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐶 · Σ𝑘𝐵 𝐷) = Σ𝑘𝐵 (𝐶 · 𝐷))
109sumeq2dv 15051 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 (𝐶 · Σ𝑘𝐵 𝐷) = Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 (𝐶 · 𝐷))
116, 10eqtr2d 2860 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 (𝐶 · 𝐷) = (Σ𝑗𝐴 𝐶 · Σ𝑘𝐵 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7140  Fincfn 8494  cc 10522   · cmul 10529  Σcsu 15033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034
This theorem is referenced by:  plymullem1  24802  breprexplemc  31923
  Copyright terms: Public domain W3C validator