Theorem fsum2mul 15144

Description: Separate the nested sum of the product 𝐶(𝑗) · 𝐷(𝑘). (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2mul.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsum2mul.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2mul.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsum2mul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsum2mul	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐶 · 𝐷) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsum2mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsum2mul.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsum2mul.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		fsum2mul.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
4	2, 3	fsumcl 15090	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷 ∈ ℂ)
5		fsum2mul.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	fsummulc1 15140	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷))
7	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
8	3	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	7, 5, 8	fsummulc2 15139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷) = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐶 · 𝐷))
10	9	sumeq2dv 15060	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐶 · 𝐷))
11	6, 10	eqtr2d 2857	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐶 · 𝐷) = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535   · cmul 10542  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  plymullem1  24804  breprexplemc  31903