MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummulc1 15671
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fsummulc2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fsummulc2.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fsummulc1 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fsummulc1
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 fsummulc2.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 fsummulc2.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3fsummulc2 15670 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ ยท ๐ต))
51, 3fsumcl 15619 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
65, 2mulcomd 11177 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
72adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
83, 7mulcomd 11177 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
98sumeq2dv 15589 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ ยท ๐ต))
104, 6, 93eqtr4d 2787 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057  ฮฃcsu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  fsumdivc  15672  fsum2mul  15675  binomlem  15715  geoserg  15752  geo2sum  15759  mertenslem1  15770  binomfallfaclem2  15924  csbren  24766  plymullem1  25578  aalioulem1  25695  aaliou3lem6  25711  ftalem1  26425  ftalem5  26429  musumsum  26544  muinv  26545  fsumdvdsmul  26547  vmadivsum  26833  dchrisumlem2  26841  dchrmusum2  26845  dchrvmasumiflem2  26853  rpvmasum2  26863  dchrisum0lem1  26867  dchrisum0lem2a  26868  mulogsumlem  26882  mulog2sumlem3  26887  vmalogdivsum  26890  2vmadivsumlem  26891  logsqvma  26893  selberg3lem1  26908  selberg4  26912  pntrlog2bndlem5  26932  eulerpartlemgs2  32983  breprexplemc  33248  breprexpnat  33250  circlemeth  33256  hgt750lemb  33272  aks4d1p1p1  40523  jm2.23  41323  fsummulc1f  43819  dvnprodlem2  44195  dirkertrigeqlem2  44347  etransclem23  44505  etransclem46  44528  hoidmvlelem2  44844  nn0sumshdiglemA  46712  nn0sumshdiglemB  46713  nn0mullong  46718  aacllem  47255  amgmlemALT  47257
  Copyright terms: Public domain W3C validator