Theorem fsummulc1 15566

Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsummulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fsummulc2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsummulc1	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsummulc2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsummulc2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		fsummulc2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	fsummulc2 15565	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵))
5	1, 3	fsumcl 15514	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
6	5, 2	mulcomd 11066	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
7	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	3, 7	mulcomd 11066	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
9	8	sumeq2dv 15484	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 · 𝐵))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7313  Fincfn 8779  ℂcc 10939   · cmul 10946  Σcsu 15466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-sup 9269  df-oi 9337  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-rp 12801  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-clim 15266  df-sum 15467

This theorem is referenced by:  fsumdivc  15567  fsum2mul  15570  binomlem  15610  geoserg  15647  geo2sum  15654  mertenslem1  15665  binomfallfaclem2  15819  csbren  24634  plymullem1  25446  aalioulem1  25563  aaliou3lem6  25579  ftalem1  26293  ftalem5  26297  musumsum  26412  muinv  26413  fsumdvdsmul  26415  vmadivsum  26701  dchrisumlem2  26709  dchrmusum2  26713  dchrvmasumiflem2  26721  rpvmasum2  26731  dchrisum0lem1  26735  dchrisum0lem2a  26736  mulogsumlem  26750  mulog2sumlem3  26755  vmalogdivsum  26758  2vmadivsumlem  26759  logsqvma  26761  selberg3lem1  26776  selberg4  26780  pntrlog2bndlem5  26800  eulerpartlemgs2  32453  breprexplemc  32718  breprexpnat  32720  circlemeth  32726  hgt750lemb  32742  aks4d1p1p1  40283  jm2.23  41029  fsummulc1f  43356  dvnprodlem2  43732  dirkertrigeqlem2  43884  etransclem23  44042  etransclem46  44065  hoidmvlelem2  44379  nn0sumshdiglemA  46224  nn0sumshdiglemB  46225  nn0mullong  46230  aacllem  46764  amgmlemALT  46766