Theorem fsumcl 15090

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 10619	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 10634	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15089	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535   + caddc 10540  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  15125  fsum0diag2  15138  fsummulc1  15140  fsumdivc  15141  fsumneg  15142  fsumsub  15143  fsum2mul  15144  fsumabs  15156  telfsumo  15157  fsumparts  15161  o1fsum  15168  cvgcmpce  15173  climfsum  15175  fsumiun  15176  binom1dif  15188  incexclem  15191  incexc  15192  isumsplit  15195  arisum2  15216  geoserg  15221  pwdif  15223  pwm1geoserOLD  15225  mertenslem1  15240  mertens  15242  binomfallfaclem2  15394  bpolycl  15406  bpolysum  15407  bpolydiflem  15408  fsumkthpow  15410  fprodefsum  15448  eirrlem  15557  pwp1fsum  15742  pcfac  16235  sylow2a  18744  itg1addlem5  24301  itgcl  24384  dvmptfsum  24572  dvfsumabs  24620  dvfsumlem1  24623  plyf  24788  plymullem1  24804  coeeulem  24814  coemullem  24840  plycjlem  24866  taylpf  24954  mtest  24992  mtestbdd  24993  pserdvlem2  25016  abelthlem6  25024  abelthlem7  25026  advlogexp  25238  log2tlbnd  25523  birthdaylem2  25530  fsumharmonic  25589  lgamcvg2  25632  ftalem1  25650  ftalem5  25654  sgmf  25722  chtdif  25735  fsumdvdscom  25762  fsumdvdsmul  25772  logexprlim  25801  dchrsum2  25844  sumdchr2  25846  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem1  26065  dchrisumlem2  26066  dchrisum  26068  dchrmusum2  26070  dchrvmasum2if  26073  dchrvmasumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26077  dchrvmasumiflem2  26078  rpvmasum2  26088  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  dchrmusumlem  26098  dchrvmasumlem  26099  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulogsum  26108  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  mulog2sumlem3  26112  vmalogdivsum  26115  logsqvma  26118  selberglem1  26121  selberglem2  26122  selberg2lem  26126  selberg2  26127  selberg3lem1  26133  pntrsumo1  26141  pntrsumbnd  26142  selbergr  26144  selberg4r  26146  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntlemo  26183  ax5seglem6  26720  axlowdimlem16  26743  finsumvtxdg2ssteplem4  27330  dipcl  28489  indsumin  31281  esumcvg  31345  fsum2dsub  31878  reprsuc  31886  breprexplemc  31903  breprexp  31904  breprexpnat  31905  vtscl  31909  circlemeth  31911  hgt750lemd  31919  tgoldbachgtde  31931  subfacval2  32434  subfaclim  32435  fwddifnp1  33626  knoppndvlem11  33861  fltnltalem  39323  jm2.23  39642  fsumclf  41899  fsumsermpt  41909  sumnnodd  41960  dvnmul  42277  dvnprodlem1  42280  dvnprodlem2  42281  stoweidlem26  42360  dirkertrigeqlem2  42433  dirkeritg  42436  fourierdlem73  42513  fourierdlem83  42523  elaa2lem  42567  etransclem23  42591  etransclem27  42595  etransclem31  42599  etransclem33  42601  etransclem39  42607  etransclem46  42614  etransclem47  42615  etransclem48  42616  altgsumbcALT  44450  nn0sumshdiglemA  44728  amgmlemALT  44953