Theorem fsumcl 15675

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4004	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11188	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11203	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15674	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℂcc 11104   + caddc 11109  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  fsumclf  15680  fsum2dlem  15712  fsum0diag2  15725  fsummulc1  15727  fsumdivc  15728  fsumneg  15729  fsumsub  15730  fsum2mul  15731  fsumabs  15743  telfsumo  15744  fsumparts  15748  o1fsum  15755  cvgcmpce  15760  climfsum  15762  fsumiun  15763  binom1dif  15775  incexclem  15778  incexc  15779  isumsplit  15782  arisum2  15803  geoserg  15808  pwdif  15810  mertenslem1  15826  mertens  15828  binomfallfaclem2  15980  bpolycl  15992  bpolysum  15993  bpolydiflem  15994  fsumkthpow  15996  fprodefsum  16034  eirrlem  16143  pwp1fsum  16330  pcfac  16828  sylow2a  19481  itg1addlem5  25209  itgcl  25292  dvmptfsum  25483  dvfsumabs  25531  dvfsumlem1  25534  plyf  25703  plymullem1  25719  coeeulem  25729  coemullem  25755  plycjlem  25781  taylpf  25869  mtest  25907  mtestbdd  25908  pserdvlem2  25931  abelthlem6  25939  abelthlem7  25941  advlogexp  26154  log2tlbnd  26439  birthdaylem2  26446  fsumharmonic  26505  lgamcvg2  26548  ftalem1  26566  ftalem5  26570  sgmf  26638  chtdif  26651  fsumdvdscom  26678  fsumdvdsmul  26688  logexprlim  26717  dchrsum2  26760  sumdchr2  26762  rpvmasumlem  26979  dchrisumlem1  26981  dchrisumlem2  26982  dchrisum  26984  dchrmusum2  26986  dchrvmasum2if  26989  dchrvmasumlem3  26991  dchrvmasumiflem1  26993  dchrvmasumiflem2  26994  rpvmasum2  27004  dchrisum0lem1b  27007  dchrisum0lem1  27008  dchrisum0lem2a  27009  dchrisum0lem2  27010  dchrisum0lem3  27011  dchrmusumlem  27014  dchrvmasumlem  27015  mudivsum  27022  mulogsumlem  27023  mulogsum  27024  mulog2sumlem1  27026  mulog2sumlem2  27027  mulog2sumlem3  27028  vmalogdivsum  27031  logsqvma  27034  selberglem1  27037  selberglem2  27038  selberg2lem  27042  selberg2  27043  selberg3lem1  27049  pntrsumo1  27057  pntrsumbnd  27058  selbergr  27060  selberg4r  27062  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem4  27072  pntrlog2bndlem5  27073  pntlemo  27099  ax5seglem6  28181  axlowdimlem16  28204  finsumvtxdg2ssteplem4  28794  dipcl  29952  indsumin  33008  esumcvg  33072  fsum2dsub  33607  reprsuc  33615  breprexplemc  33632  breprexp  33633  breprexpnat  33634  vtscl  33638  circlemeth  33640  hgt750lemd  33648  tgoldbachgtde  33660  subfacval2  34166  subfaclim  34167  fwddifnp1  35125  knoppndvlem11  35386  aks4d1p1p1  40916  sticksstones12a  40961  sumcubes  41206  fltnltalem  41400  jm2.23  41720  fsumsermpt  44281  sumnnodd  44332  dvnmul  44645  dvnprodlem1  44648  dvnprodlem2  44649  stoweidlem26  44728  dirkertrigeqlem2  44801  dirkeritg  44804  fourierdlem73  44881  fourierdlem83  44891  elaa2lem  44935  etransclem23  44959  etransclem27  44963  etransclem31  44967  etransclem33  44969  etransclem39  44975  etransclem46  44982  etransclem47  44983  etransclem48  44984  altgsumbcALT  46982  nn0sumshdiglemA  47258  amgmlemALT  47803