Theorem fsumcl 15640

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3959	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11091	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11108	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15639	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007   + caddc 11012  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  fsumclf  15645  fsum2dlem  15677  fsum0diag2  15690  fsummulc1  15692  fsumdivc  15693  fsumneg  15694  fsumsub  15695  fsum2mul  15696  fsumabs  15708  telfsumo  15709  fsumparts  15713  o1fsum  15720  cvgcmpce  15725  climfsum  15727  fsumiun  15728  binom1dif  15740  incexclem  15743  incexc  15744  isumsplit  15747  arisum2  15768  geoserg  15773  pwdif  15775  mertenslem1  15791  mertens  15793  binomfallfaclem2  15947  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  fprodefsum  16002  eirrlem  16113  pwp1fsum  16302  pcfac  16811  sylow2a  19498  itg1addlem5  25599  itgcl  25683  dvmptfsum  25877  dvfsumabs  25927  dvfsumlem1  25930  plyf  26101  plymullem1  26117  coeeulem  26127  coemullem  26153  plycjlem  26180  taylpf  26271  mtest  26311  mtestbdd  26312  pserdvlem2  26336  abelthlem6  26344  abelthlem7  26346  advlogexp  26562  log2tlbnd  26853  birthdaylem2  26860  fsumharmonic  26920  lgamcvg2  26963  ftalem1  26981  ftalem5  26985  sgmf  27053  chtdif  27066  fsumdvdscom  27093  fsumdvdsmul  27103  fsumdvdsmulOLD  27105  logexprlim  27134  dchrsum2  27177  sumdchr2  27179  rpvmasumlem  27396  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem2  27399  dchrisum  27401  dchrmusum2  27403  dchrvmasum2if  27406  dchrvmasumlem3  27408  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  rpvmasum2  27421  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  dchrisum0lem2  27427  dchrisum0lem3  27428  dchrmusumlem  27431  dchrvmasumlem  27432  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  mulogsum  27441  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  mulog2sumlem3  27445  vmalogdivsum  27448  logsqvma  27451  selberglem1  27454  selberglem2  27455  selberg2lem  27459  selberg2  27460  selberg3lem1  27466  pntrsumo1  27474  pntrsumbnd  27475  selbergr  27477  selberg4r  27479  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntlemo  27516  ax5seglem6  28879  axlowdimlem16  28902  finsumvtxdg2ssteplem4  29494  dipcl  30656  indsumin  32806  elrgspnlem2  33184  esumcvg  34059  fsum2dsub  34581  reprsuc  34589  breprexplemc  34606  breprexp  34607  breprexpnat  34608  vtscl  34612  circlemeth  34614  hgt750lemd  34622  tgoldbachgtde  34634  subfacval2  35170  subfaclim  35171  fwddifnp1  36149  knoppndvlem11  36506  aks4d1p1p1  42046  sticksstones12a  42140  unitscyglem2  42179  sumcubes  42296  fltnltalem  42645  jm2.23  42979  fsumsermpt  45570  sumnnodd  45621  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  stoweidlem26  46017  dirkertrigeqlem2  46090  dirkeritg  46093  fourierdlem73  46170  fourierdlem83  46180  elaa2lem  46224  etransclem23  46248  etransclem27  46252  etransclem31  46256  etransclem33  46258  etransclem39  46264  etransclem46  46271  etransclem47  46272  etransclem48  46273  altgsumbcALT  48347  nn0sumshdiglemA  48614  amgmlemALT  49798