Theorem fsumcl 15900

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3931	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11283	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11300	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15899	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  ℂcc 11199   + caddc 11204  Σcsu 15854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855

This theorem is used by:  fsumclf  15905  fsum2dlem  15937  fsum0diag2  15950  fsummulc1  15952  fsumdivc  15953  fsumneg  15954  fsumsub  15955  fsum2mul  15956  fsumabs  15969  telfsumo  15970  fsumparts  15974  o1fsum  15981  cvgcmpce  15986  climfsum  15988  fsumiun  15989  binom1dif  16003  incexclem  16006  incexc  16007  isumsplit  16010  arisum2  16031  geoserg  16036  pwdif  16038  mertenslem1  16054  mertens  16056  binomfallfaclem2  16207  bpolycl  16219  bpolysum  16220  bpolydiflem  16221  fsumkthpow  16223  fprodefsum  16262  eirrlem  16373  pwp1fsum  16562  pcfac  17078  sylow2a  19834  itg1addlem5  26022  itgcl  26105  dvmptfsum  26296  dvfsumabs  26344  dvfsumlem1  26347  plyf  26517  plymullem1  26534  coeeulem  26544  coemullem  26570  plycjlem  26596  taylpf  26694  mtest  26732  mtestbdd  26733  pserdvlem2  26756  abelthlem6  26764  abelthlem7  26766  advlogexp  26984  log2tlbnd  27274  birthdaylem2  27281  fsumharmonic  27340  lgamcvg2  27383  ftalem1  27401  ftalem5  27405  sgmf  27473  chtdif  27486  fsumdvdscom  27513  fsumdvdsmul  27523  logexprlim  27553  dchrsum2  27596  sumdchr2  27598  rpvmasumlem  27815  dchrisumlem1  27817  dchrisumlem2  27818  dchrisum  27820  dchrmusum2  27822  dchrvmasum2if  27825  dchrvmasumlem3  27827  dchrvmasumiflem1  27829  dchrvmasumiflem2  27830  rpvmasum2  27840  dchrisum0lem1b  27843  dchrisum0lem1  27844  dchrisum0lem2a  27845  dchrisum0lem2  27846  dchrisum0lem3  27847  dchrmusumlem  27850  dchrvmasumlem  27851  mudivsum  27858  mulogsumlem  27859  mulogsum  27860  mulog2sumlem1  27862  mulog2sumlem2  27863  mulog2sumlem3  27864  vmalogdivsum  27867  logsqvma  27870  selberglem1  27873  selberglem2  27874  selberg2lem  27878  selberg2  27879  selberg3lem1  27885  pntrsumo1  27893  pntrsumbnd  27894  selbergr  27896  selberg4r  27898  pntrlog2bndlem2  27906  pntrlog2bndlem4  27908  pntrlog2bndlem5  27909  pntlemo  27935  ax5seglem6  29513  axlowdimlem16  29536  finsumvtxdg2ssteplem4  30130  dipcl  31315  indsumin  33471  elrgspnlem2  33847  esumcvg  34761  fsum2dsub  35279  reprsuc  35287  breprexplemc  35304  breprexp  35305  breprexpnat  35306  vtscl  35310  circlemeth  35312  hgt750lemd  35320  tgoldbachgtde  35332  subfacval2  35995  subfaclim  35996  fwddifnp1  36973  knoppndvlem11  37431  aks4d1p1p1  43157  sticksstones12a  43251  unitscyglem2  43290  sumcubes  43414  fltnltalem  43717  jm2.23  44047  fsumsermpt  46635  sumnnodd  46686  dvnmul  46997  dvnprodlem1  47000  dvnprodlem2  47001  stoweidlem26  47080  dirkertrigeqlem2  47153  dirkeritg  47156  fourierdlem73  47233  fourierdlem83  47243  elaa2lem  47287  etransclem23  47311  etransclem27  47315  etransclem31  47319  etransclem33  47321  etransclem39  47327  etransclem46  47334  etransclem47  47335  etransclem48  47336  altgsumbcALT  49509  nn0sumshdiglemA  49775  amgmlemALT  51032