Theorem fsumcl 15943

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3936	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11321	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11338	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15942	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℂcc 11237   + caddc 11242  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898

This theorem is used by:  fsumclf  15948  fsum2dlem  15980  fsum0diag2  15993  fsummulc1  15995  fsumdivc  15996  fsumneg  15997  fsumsub  15998  fsum2mul  15999  fsumabs  16012  telfsumo  16013  fsumparts  16017  o1fsum  16024  cvgcmpce  16029  climfsum  16031  fsumiun  16032  binom1dif  16046  incexclem  16049  incexc  16050  isumsplit  16053  arisum2  16074  geoserg  16079  pwdif  16081  mertenslem1  16097  mertens  16099  binomfallfaclem2  16250  bpolycl  16262  bpolysum  16263  bpolydiflem  16264  fsumkthpow  16266  fprodefsum  16305  eirrlem  16416  pwp1fsum  16605  pcfac  17121  sylow2a  19884  itg1addlem5  26076  itgcl  26159  dvmptfsum  26350  dvfsumabs  26398  dvfsumlem1  26401  plyf  26571  plymullem1  26588  coeeulem  26598  coemullem  26624  plycjlem  26650  taylpf  26750  mtest  26788  mtestbdd  26789  pserdvlem2  26812  abelthlem6  26820  abelthlem7  26822  advlogexp  27040  log2tlbnd  27330  birthdaylem2  27337  fsumharmonic  27396  lgamcvg2  27439  ftalem1  27457  ftalem5  27461  sgmf  27529  chtdif  27542  fsumdvdscom  27569  fsumdvdsmul  27579  logexprlim  27609  dchrsum2  27652  sumdchr2  27654  rpvmasumlem  27871  dchrisumlem1  27873  dchrisumlem2  27874  dchrisum  27876  dchrmusum2  27878  dchrvmasum2if  27881  dchrvmasumlem3  27883  dchrvmasumiflem1  27885  dchrvmasumiflem2  27886  rpvmasum2  27896  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  dchrmusumlem  27906  dchrvmasumlem  27907  mudivsum  27914  mulogsumlem  27915  mulogsum  27916  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  mulog2sumlem3  27920  vmalogdivsum  27923  logsqvma  27926  selberglem1  27929  selberglem2  27930  selberg2lem  27934  selberg2  27935  selberg3lem1  27941  pntrsumo1  27949  pntrsumbnd  27950  selbergr  27952  selberg4r  27954  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntlemo  27991  ax5seglem6  29569  axlowdimlem16  29592  finsumvtxdg2ssteplem4  30186  dipcl  31371  indsumin  33524  elrgspnlem2  33903  esumcvg  34829  fsum2dsub  35347  reprsuc  35355  breprexplemc  35372  breprexp  35373  breprexpnat  35374  vtscl  35378  circlemeth  35380  hgt750lemd  35388  tgoldbachgtde  35400  subfacval2  36160  subfaclim  36161  fwddifnp1  37145  knoppndvlem11  37603  aks4d1p1p1  43379  sticksstones12a  43473  unitscyglem2  43512  sumcubes  43636  fltnltalem  43939  jm2.23  44269  fsumsermpt  46864  sumnnodd  46915  dvnmul  47226  dvnprodlem1  47229  dvnprodlem2  47230  stoweidlem26  47309  dirkertrigeqlem2  47382  dirkeritg  47385  fourierdlem73  47462  fourierdlem83  47472  elaa2lem  47516  etransclem23  47540  etransclem27  47544  etransclem31  47548  etransclem33  47550  etransclem39  47556  etransclem46  47563  etransclem47  47564  etransclem48  47565  altgsumbcALT  49796  nn0sumshdiglemA  50062  amgmlemALT  51416