MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl 15623
Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3968 . 2 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2 addcl 11138 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
32adantl 483 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fsumcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 0cnd 11153 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
71, 3, 4, 5, 6fsumcllem 15622 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cc 11054   + caddc 11059  Σcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  fsumclf  15628  fsum2dlem  15660  fsum0diag2  15673  fsummulc1  15675  fsumdivc  15676  fsumneg  15677  fsumsub  15678  fsum2mul  15679  fsumabs  15691  telfsumo  15692  fsumparts  15696  o1fsum  15703  cvgcmpce  15708  climfsum  15710  fsumiun  15711  binom1dif  15723  incexclem  15726  incexc  15727  isumsplit  15730  arisum2  15751  geoserg  15756  pwdif  15758  mertenslem1  15774  mertens  15776  binomfallfaclem2  15928  bpolycl  15940  bpolysum  15941  bpolydiflem  15942  fsumkthpow  15944  fprodefsum  15982  eirrlem  16091  pwp1fsum  16278  pcfac  16776  sylow2a  19406  itg1addlem5  25081  itgcl  25164  dvmptfsum  25355  dvfsumabs  25403  dvfsumlem1  25406  plyf  25575  plymullem1  25591  coeeulem  25601  coemullem  25627  plycjlem  25653  taylpf  25741  mtest  25779  mtestbdd  25780  pserdvlem2  25803  abelthlem6  25811  abelthlem7  25813  advlogexp  26026  log2tlbnd  26311  birthdaylem2  26318  fsumharmonic  26377  lgamcvg2  26420  ftalem1  26438  ftalem5  26442  sgmf  26510  chtdif  26523  fsumdvdscom  26550  fsumdvdsmul  26560  logexprlim  26589  dchrsum2  26632  sumdchr2  26634  rpvmasumlem  26851  dchrisumlem1  26853  dchrisumlem2  26854  dchrisum  26856  dchrmusum2  26858  dchrvmasum2if  26861  dchrvmasumlem3  26863  dchrvmasumiflem1  26865  dchrvmasumiflem2  26866  rpvmasum2  26876  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem1  26880  dchrisum0lem2a  26881  dchrisum0lem2  26882  dchrisum0lem3  26883  dchrmusumlem  26886  dchrvmasumlem  26887  mudivsum  26894  mulogsumlem  26895  mulogsum  26896  mulog2sumlem1  26898  mulog2sumlem2  26899  mulog2sumlem3  26900  vmalogdivsum  26903  logsqvma  26906  selberglem1  26909  selberglem2  26910  selberg2lem  26914  selberg2  26915  selberg3lem1  26921  pntrsumo1  26929  pntrsumbnd  26930  selbergr  26932  selberg4r  26934  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945  pntlemo  26971  ax5seglem6  27925  axlowdimlem16  27948  finsumvtxdg2ssteplem4  28538  dipcl  29696  indsumin  32678  esumcvg  32742  fsum2dsub  33277  reprsuc  33285  breprexplemc  33302  breprexp  33303  breprexpnat  33304  vtscl  33308  circlemeth  33310  hgt750lemd  33318  tgoldbachgtde  33330  subfacval2  33838  subfaclim  33839  fwddifnp1  34796  knoppndvlem11  35031  aks4d1p1p1  40566  sticksstones12a  40611  fltnltalem  41043  jm2.23  41363  fsumsermpt  43906  sumnnodd  43957  dvnmul  44270  dvnprodlem1  44273  dvnprodlem2  44274  stoweidlem26  44353  dirkertrigeqlem2  44426  dirkeritg  44429  fourierdlem73  44506  fourierdlem83  44516  elaa2lem  44560  etransclem23  44584  etransclem27  44588  etransclem31  44592  etransclem33  44594  etransclem39  44600  etransclem46  44607  etransclem47  44608  etransclem48  44609  altgsumbcALT  46515  nn0sumshdiglemA  46791  amgmlemALT  47336
  Copyright terms: Public domain W3C validator