Theorem fsumcl 15781

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4032	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11283	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15780	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182   + caddc 11187  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  fsumclf  15786  fsum2dlem  15818  fsum0diag2  15831  fsummulc1  15833  fsumdivc  15834  fsumneg  15835  fsumsub  15836  fsum2mul  15837  fsumabs  15849  telfsumo  15850  fsumparts  15854  o1fsum  15861  cvgcmpce  15866  climfsum  15868  fsumiun  15869  binom1dif  15881  incexclem  15884  incexc  15885  isumsplit  15888  arisum2  15909  geoserg  15914  pwdif  15916  mertenslem1  15932  mertens  15934  binomfallfaclem2  16088  bpolycl  16100  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  fsumkthpow  16104  fprodefsum  16143  eirrlem  16252  pwp1fsum  16439  pcfac  16946  sylow2a  19661  itg1addlem5  25755  itgcl  25839  dvmptfsum  26033  dvfsumabs  26083  dvfsumlem1  26086  plyf  26257  plymullem1  26273  coeeulem  26283  coemullem  26309  plycjlem  26336  taylpf  26425  mtest  26465  mtestbdd  26466  pserdvlem2  26490  abelthlem6  26498  abelthlem7  26500  advlogexp  26715  log2tlbnd  27006  birthdaylem2  27013  fsumharmonic  27073  lgamcvg2  27116  ftalem1  27134  ftalem5  27138  sgmf  27206  chtdif  27219  fsumdvdscom  27246  fsumdvdsmul  27256  fsumdvdsmulOLD  27258  logexprlim  27287  dchrsum2  27330  sumdchr2  27332  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrisum  27554  dchrmusum2  27556  dchrvmasum2if  27559  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  rpvmasum2  27574  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  dchrmusumlem  27584  dchrvmasumlem  27585  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum  27601  logsqvma  27604  selberglem1  27607  selberglem2  27608  selberg2lem  27612  selberg2  27613  selberg3lem1  27619  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  selbergr  27630  selberg4r  27632  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntlemo  27669  ax5seglem6  28967  axlowdimlem16  28990  finsumvtxdg2ssteplem4  29584  dipcl  30744  indsumin  33986  esumcvg  34050  fsum2dsub  34584  reprsuc  34592  breprexplemc  34609  breprexp  34610  breprexpnat  34611  vtscl  34615  circlemeth  34617  hgt750lemd  34625  tgoldbachgtde  34637  subfacval2  35155  subfaclim  35156  fwddifnp1  36129  knoppndvlem11  36488  aks4d1p1p1  42020  sticksstones12a  42114  unitscyglem2  42153  sumcubes  42301  fltnltalem  42617  jm2.23  42953  fsumsermpt  45500  sumnnodd  45551  dvnmul  45864  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  stoweidlem26  45947  dirkertrigeqlem2  46020  dirkeritg  46023  fourierdlem73  46100  fourierdlem83  46110  elaa2lem  46154  etransclem23  46178  etransclem27  46182  etransclem31  46186  etransclem33  46188  etransclem39  46194  etransclem46  46201  etransclem47  46202  etransclem48  46203  altgsumbcALT  48078  nn0sumshdiglemA  48353  amgmlemALT  48897