Theorem fsumcl 15686

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3938	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11111	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11128	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15685	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℂcc 11027   + caddc 11032  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  fsumclf  15691  fsum2dlem  15723  fsum0diag2  15736  fsummulc1  15738  fsumdivc  15739  fsumneg  15740  fsumsub  15741  fsum2mul  15742  fsumabs  15755  telfsumo  15756  fsumparts  15760  o1fsum  15767  cvgcmpce  15772  climfsum  15774  fsumiun  15775  binom1dif  15789  incexclem  15792  incexc  15793  isumsplit  15796  arisum2  15817  geoserg  15822  pwdif  15824  mertenslem1  15840  mertens  15842  binomfallfaclem2  15996  bpolycl  16008  bpolysum  16009  bpolydiflem  16010  fsumkthpow  16012  fprodefsum  16051  eirrlem  16162  pwp1fsum  16351  pcfac  16861  sylow2a  19585  itg1addlem5  25685  itgcl  25769  dvmptfsum  25960  dvfsumabs  26008  dvfsumlem1  26011  plyf  26181  plymullem1  26197  coeeulem  26207  coemullem  26233  plycjlem  26259  taylpf  26349  mtest  26387  mtestbdd  26388  pserdvlem2  26411  abelthlem6  26419  abelthlem7  26421  advlogexp  26637  log2tlbnd  26927  birthdaylem2  26934  fsumharmonic  26993  lgamcvg2  27036  ftalem1  27054  ftalem5  27058  sgmf  27126  chtdif  27139  fsumdvdscom  27166  fsumdvdsmul  27176  logexprlim  27206  dchrsum2  27249  sumdchr2  27251  rpvmasumlem  27468  dchrisumlem1  27470  dchrisumlem2  27471  dchrisum  27473  dchrmusum2  27475  dchrvmasum2if  27478  dchrvmasumlem3  27480  dchrvmasumiflem1  27482  dchrvmasumiflem2  27483  rpvmasum2  27493  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0lem2  27499  dchrisum0lem3  27500  dchrmusumlem  27503  dchrvmasumlem  27504  mudivsum  27511  mulogsumlem  27512  mulogsum  27513  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  mulog2sumlem3  27517  vmalogdivsum  27520  logsqvma  27523  selberglem1  27526  selberglem2  27527  selberg2lem  27531  selberg2  27532  selberg3lem1  27538  pntrsumo1  27546  pntrsumbnd  27547  selbergr  27549  selberg4r  27551  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntlemo  27588  ax5seglem6  29021  axlowdimlem16  29044  finsumvtxdg2ssteplem4  29635  dipcl  30801  indsumin  32940  elrgspnlem2  33324  esumcvg  34270  fsum2dsub  34791  reprsuc  34799  breprexplemc  34816  breprexp  34817  breprexpnat  34818  vtscl  34822  circlemeth  34824  hgt750lemd  34832  tgoldbachgtde  34844  subfacval2  35415  subfaclim  35416  fwddifnp1  36393  knoppndvlem11  36828  aks4d1p1p1  42548  sticksstones12a  42642  unitscyglem2  42681  sumcubes  42790  fltnltalem  43112  jm2.23  43441  fsumsermpt  46024  sumnnodd  46075  dvnmul  46386  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  stoweidlem26  46469  dirkertrigeqlem2  46542  dirkeritg  46545  fourierdlem73  46622  fourierdlem83  46632  elaa2lem  46676  etransclem23  46700  etransclem27  46704  etransclem31  46708  etransclem33  46710  etransclem39  46716  etransclem46  46723  etransclem47  46724  etransclem48  46725  altgsumbcALT  48844  nn0sumshdiglemA  49110  amgmlemALT  50293