Theorem fsumcl 15769

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4007	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11237	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15768	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153   + caddc 11158  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  fsumclf  15774  fsum2dlem  15806  fsum0diag2  15819  fsummulc1  15821  fsumdivc  15822  fsumneg  15823  fsumsub  15824  fsum2mul  15825  fsumabs  15837  telfsumo  15838  fsumparts  15842  o1fsum  15849  cvgcmpce  15854  climfsum  15856  fsumiun  15857  binom1dif  15869  incexclem  15872  incexc  15873  isumsplit  15876  arisum2  15897  geoserg  15902  pwdif  15904  mertenslem1  15920  mertens  15922  binomfallfaclem2  16076  bpolycl  16088  bpolysum  16089  bpolydiflem  16090  fsumkthpow  16092  fprodefsum  16131  eirrlem  16240  pwp1fsum  16428  pcfac  16937  sylow2a  19637  itg1addlem5  25735  itgcl  25819  dvmptfsum  26013  dvfsumabs  26063  dvfsumlem1  26066  plyf  26237  plymullem1  26253  coeeulem  26263  coemullem  26289  plycjlem  26316  taylpf  26407  mtest  26447  mtestbdd  26448  pserdvlem2  26472  abelthlem6  26480  abelthlem7  26482  advlogexp  26697  log2tlbnd  26988  birthdaylem2  26995  fsumharmonic  27055  lgamcvg2  27098  ftalem1  27116  ftalem5  27120  sgmf  27188  chtdif  27201  fsumdvdscom  27228  fsumdvdsmul  27238  fsumdvdsmulOLD  27240  logexprlim  27269  dchrsum2  27312  sumdchr2  27314  rpvmasumlem  27531  dchrisumlem1  27533  dchrisumlem2  27534  dchrisum  27536  dchrmusum2  27538  dchrvmasum2if  27541  dchrvmasumlem3  27543  dchrvmasumiflem1  27545  dchrvmasumiflem2  27546  rpvmasum2  27556  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  dchrisum0lem3  27563  dchrmusumlem  27566  dchrvmasumlem  27567  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  mulogsum  27576  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  mulog2sumlem3  27580  vmalogdivsum  27583  logsqvma  27586  selberglem1  27589  selberglem2  27590  selberg2lem  27594  selberg2  27595  selberg3lem1  27601  pntrsumo1  27609  pntrsumbnd  27610  selbergr  27612  selberg4r  27614  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntlemo  27651  ax5seglem6  28949  axlowdimlem16  28972  finsumvtxdg2ssteplem4  29566  dipcl  30731  indsumin  32847  elrgspnlem2  33247  esumcvg  34087  fsum2dsub  34622  reprsuc  34630  breprexplemc  34647  breprexp  34648  breprexpnat  34649  vtscl  34653  circlemeth  34655  hgt750lemd  34663  tgoldbachgtde  34675  subfacval2  35192  subfaclim  35193  fwddifnp1  36166  knoppndvlem11  36523  aks4d1p1p1  42064  sticksstones12a  42158  unitscyglem2  42197  sumcubes  42347  fltnltalem  42672  jm2.23  43008  fsumsermpt  45594  sumnnodd  45645  dvnmul  45958  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem2  45962  stoweidlem26  46041  dirkertrigeqlem2  46114  dirkeritg  46117  fourierdlem73  46194  fourierdlem83  46204  elaa2lem  46248  etransclem23  46272  etransclem27  46276  etransclem31  46280  etransclem33  46282  etransclem39  46288  etransclem46  46295  etransclem47  46296  etransclem48  46297  altgsumbcALT  48269  nn0sumshdiglemA  48540  amgmlemALT  49322