Theorem fsumcl 15765

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11251	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15764	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  ℂcc 11150   + caddc 11155  Σcsu 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719

This theorem is referenced by:  fsumclf  15770  fsum2dlem  15802  fsum0diag2  15815  fsummulc1  15817  fsumdivc  15818  fsumneg  15819  fsumsub  15820  fsum2mul  15821  fsumabs  15833  telfsumo  15834  fsumparts  15838  o1fsum  15845  cvgcmpce  15850  climfsum  15852  fsumiun  15853  binom1dif  15865  incexclem  15868  incexc  15869  isumsplit  15872  arisum2  15893  geoserg  15898  pwdif  15900  mertenslem1  15916  mertens  15918  binomfallfaclem2  16072  bpolycl  16084  bpolysum  16085  bpolydiflem  16086  fsumkthpow  16088  fprodefsum  16127  eirrlem  16236  pwp1fsum  16424  pcfac  16932  sylow2a  19651  itg1addlem5  25749  itgcl  25833  dvmptfsum  26027  dvfsumabs  26077  dvfsumlem1  26080  plyf  26251  plymullem1  26267  coeeulem  26277  coemullem  26303  plycjlem  26330  taylpf  26421  mtest  26461  mtestbdd  26462  pserdvlem2  26486  abelthlem6  26494  abelthlem7  26496  advlogexp  26711  log2tlbnd  27002  birthdaylem2  27009  fsumharmonic  27069  lgamcvg2  27112  ftalem1  27130  ftalem5  27134  sgmf  27202  chtdif  27215  fsumdvdscom  27242  fsumdvdsmul  27252  fsumdvdsmulOLD  27254  logexprlim  27283  dchrsum2  27326  sumdchr2  27328  rpvmasumlem  27545  dchrisumlem1  27547  dchrisumlem2  27548  dchrisum  27550  dchrmusum2  27552  dchrvmasum2if  27555  dchrvmasumlem3  27557  dchrvmasumiflem1  27559  dchrvmasumiflem2  27560  rpvmasum2  27570  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  dchrisum0lem2  27576  dchrisum0lem3  27577  dchrmusumlem  27580  dchrvmasumlem  27581  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  mulogsum  27590  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  vmalogdivsum  27597  logsqvma  27600  selberglem1  27603  selberglem2  27604  selberg2lem  27608  selberg2  27609  selberg3lem1  27615  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd  27624  selbergr  27626  selberg4r  27628  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntlemo  27665  ax5seglem6  28963  axlowdimlem16  28986  finsumvtxdg2ssteplem4  29580  dipcl  30740  elrgspnlem2  33232  indsumin  34002  esumcvg  34066  fsum2dsub  34600  reprsuc  34608  breprexplemc  34625  breprexp  34626  breprexpnat  34627  vtscl  34631  circlemeth  34633  hgt750lemd  34641  tgoldbachgtde  34653  subfacval2  35171  subfaclim  35172  fwddifnp1  36146  knoppndvlem11  36504  aks4d1p1p1  42044  sticksstones12a  42138  unitscyglem2  42177  sumcubes  42325  fltnltalem  42648  jm2.23  42984  fsumsermpt  45534  sumnnodd  45585  dvnmul  45898  dvnprodlem1  45901  dvnprodlem2  45902  stoweidlem26  45981  dirkertrigeqlem2  46054  dirkeritg  46057  fourierdlem73  46134  fourierdlem83  46144  elaa2lem  46188  etransclem23  46212  etransclem27  46216  etransclem31  46220  etransclem33  46222  etransclem39  46228  etransclem46  46235  etransclem47  46236  etransclem48  46237  altgsumbcALT  48197  nn0sumshdiglemA  48468  amgmlemALT  49033