Theorem fsumcl 15640

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11088	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11105	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15639	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004   + caddc 11009  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  fsumclf  15645  fsum2dlem  15677  fsum0diag2  15690  fsummulc1  15692  fsumdivc  15693  fsumneg  15694  fsumsub  15695  fsum2mul  15696  fsumabs  15708  telfsumo  15709  fsumparts  15713  o1fsum  15720  cvgcmpce  15725  climfsum  15727  fsumiun  15728  binom1dif  15740  incexclem  15743  incexc  15744  isumsplit  15747  arisum2  15768  geoserg  15773  pwdif  15775  mertenslem1  15791  mertens  15793  binomfallfaclem2  15947  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  fprodefsum  16002  eirrlem  16113  pwp1fsum  16302  pcfac  16811  sylow2a  19531  itg1addlem5  25628  itgcl  25712  dvmptfsum  25906  dvfsumabs  25956  dvfsumlem1  25959  plyf  26130  plymullem1  26146  coeeulem  26156  coemullem  26182  plycjlem  26209  taylpf  26300  mtest  26340  mtestbdd  26341  pserdvlem2  26365  abelthlem6  26373  abelthlem7  26375  advlogexp  26591  log2tlbnd  26882  birthdaylem2  26889  fsumharmonic  26949  lgamcvg2  26992  ftalem1  27010  ftalem5  27014  sgmf  27082  chtdif  27095  fsumdvdscom  27122  fsumdvdsmul  27132  fsumdvdsmulOLD  27134  logexprlim  27163  dchrsum2  27206  sumdchr2  27208  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem1  27427  dchrisumlem2  27428  dchrisum  27430  dchrmusum2  27432  dchrvmasum2if  27435  dchrvmasumlem3  27437  dchrvmasumiflem1  27439  dchrvmasumiflem2  27440  rpvmasum2  27450  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem1  27454  dchrisum0lem2a  27455  dchrisum0lem2  27456  dchrisum0lem3  27457  dchrmusumlem  27460  dchrvmasumlem  27461  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulogsum  27470  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  mulog2sumlem3  27474  vmalogdivsum  27477  logsqvma  27480  selberglem1  27483  selberglem2  27484  selberg2lem  27488  selberg2  27489  selberg3lem1  27495  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd  27504  selbergr  27506  selberg4r  27508  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntlemo  27545  ax5seglem6  28912  axlowdimlem16  28935  finsumvtxdg2ssteplem4  29527  dipcl  30692  indsumin  32843  elrgspnlem2  33210  esumcvg  34099  fsum2dsub  34620  reprsuc  34628  breprexplemc  34645  breprexp  34646  breprexpnat  34647  vtscl  34651  circlemeth  34653  hgt750lemd  34661  tgoldbachgtde  34673  subfacval2  35231  subfaclim  35232  fwddifnp1  36209  knoppndvlem11  36566  aks4d1p1p1  42166  sticksstones12a  42260  unitscyglem2  42299  sumcubes  42416  fltnltalem  42765  jm2.23  43099  fsumsermpt  45689  sumnnodd  45740  dvnmul  46051  dvnprodlem1  46054  dvnprodlem2  46055  stoweidlem26  46134  dirkertrigeqlem2  46207  dirkeritg  46210  fourierdlem73  46287  fourierdlem83  46297  elaa2lem  46341  etransclem23  46365  etransclem27  46369  etransclem31  46373  etransclem33  46375  etransclem39  46381  etransclem46  46388  etransclem47  46389  etransclem48  46390  altgsumbcALT  48463  nn0sumshdiglemA  48730  amgmlemALT  49914