Theorem fsumcl 15780

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3960	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11177	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11194	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093   + caddc 11098  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  fsumclf  15785  fsum2dlem  15817  fsum0diag2  15830  fsummulc1  15832  fsumdivc  15833  fsumneg  15834  fsumsub  15835  fsum2mul  15836  fsumabs  15849  telfsumo  15850  fsumparts  15854  o1fsum  15861  cvgcmpce  15866  climfsum  15868  fsumiun  15869  binom1dif  15883  incexclem  15886  incexc  15887  isumsplit  15890  arisum2  15911  geoserg  15916  pwdif  15918  mertenslem1  15934  mertens  15936  binomfallfaclem2  16089  bpolycl  16101  bpolysum  16102  bpolydiflem  16103  fsumkthpow  16105  fprodefsum  16144  eirrlem  16255  pwp1fsum  16444  pcfac  16954  sylow2a  19684  itg1addlem5  25859  itgcl  25943  dvmptfsum  26134  dvfsumabs  26182  dvfsumlem1  26185  plyf  26355  plymullem1  26371  coeeulem  26381  coemullem  26407  plycjlem  26433  taylpf  26529  mtest  26567  mtestbdd  26568  pserdvlem2  26591  abelthlem6  26599  abelthlem7  26601  advlogexp  26820  log2tlbnd  27110  birthdaylem2  27117  fsumharmonic  27176  lgamcvg2  27219  ftalem1  27237  ftalem5  27241  sgmf  27309  chtdif  27322  fsumdvdscom  27349  fsumdvdsmul  27359  logexprlim  27389  dchrsum2  27432  sumdchr2  27434  rpvmasumlem  27651  dchrisumlem1  27653  dchrisumlem2  27654  dchrisum  27656  dchrmusum2  27658  dchrvmasum2if  27661  dchrvmasumlem3  27663  dchrvmasumiflem1  27665  dchrvmasumiflem2  27666  rpvmasum2  27676  dchrisum0lem1b  27679  dchrisum0lem1  27680  dchrisum0lem2a  27681  dchrisum0lem2  27682  dchrisum0lem3  27683  dchrmusumlem  27686  dchrvmasumlem  27687  mudivsum  27694  mulogsumlem  27695  mulogsum  27696  mulog2sumlem1  27698  mulog2sumlem2  27699  mulog2sumlem3  27700  vmalogdivsum  27703  logsqvma  27706  selberglem1  27709  selberglem2  27710  selberg2lem  27714  selberg2  27715  selberg3lem1  27721  pntrsumo1  27729  pntrsumbnd  27730  selbergr  27732  selberg4r  27734  pntrlog2bndlem2  27742  pntrlog2bndlem4  27744  pntrlog2bndlem5  27745  pntlemo  27771  ax5seglem6  29284  axlowdimlem16  29307  finsumvtxdg2ssteplem4  29898  dipcl  31064  indsumin  33181  elrgspnlem2  33563  esumcvg  34476  fsum2dsub  34994  reprsuc  35002  breprexplemc  35019  breprexp  35020  breprexpnat  35021  vtscl  35025  circlemeth  35027  hgt750lemd  35035  tgoldbachgtde  35047  subfacval2  35679  subfaclim  35680  fwddifnp1  36657  knoppndvlem11  37131  aks4d1p1p1  42850  sticksstones12a  42944  unitscyglem2  42983  sumcubes  43094  fltnltalem  43414  jm2.23  43743  fsumsermpt  46315  sumnnodd  46366  dvnmul  46677  dvnprodlem1  46680  dvnprodlem2  46681  stoweidlem26  46760  dirkertrigeqlem2  46833  dirkeritg  46836  fourierdlem73  46913  fourierdlem83  46923  elaa2lem  46967  etransclem23  46991  etransclem27  46995  etransclem31  46999  etransclem33  47001  etransclem39  47007  etransclem46  47014  etransclem47  47015  etransclem48  47016  altgsumbcALT  49153  nn0sumshdiglemA  49419  amgmlemALT  50670