Theorem fsumcl 15695

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3945	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11120	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15694	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036   + caddc 11041  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  fsumclf  15700  fsum2dlem  15732  fsum0diag2  15745  fsummulc1  15747  fsumdivc  15748  fsumneg  15749  fsumsub  15750  fsum2mul  15751  fsumabs  15764  telfsumo  15765  fsumparts  15769  o1fsum  15776  cvgcmpce  15781  climfsum  15783  fsumiun  15784  binom1dif  15798  incexclem  15801  incexc  15802  isumsplit  15805  arisum2  15826  geoserg  15831  pwdif  15833  mertenslem1  15849  mertens  15851  binomfallfaclem2  16005  bpolycl  16017  bpolysum  16018  bpolydiflem  16019  fsumkthpow  16021  fprodefsum  16060  eirrlem  16171  pwp1fsum  16360  pcfac  16870  sylow2a  19594  itg1addlem5  25667  itgcl  25751  dvmptfsum  25942  dvfsumabs  25990  dvfsumlem1  25993  plyf  26163  plymullem1  26179  coeeulem  26189  coemullem  26215  plycjlem  26241  taylpf  26331  mtest  26369  mtestbdd  26370  pserdvlem2  26393  abelthlem6  26401  abelthlem7  26403  advlogexp  26619  log2tlbnd  26909  birthdaylem2  26916  fsumharmonic  26975  lgamcvg2  27018  ftalem1  27036  ftalem5  27040  sgmf  27108  chtdif  27121  fsumdvdscom  27148  fsumdvdsmul  27158  logexprlim  27188  dchrsum2  27231  sumdchr2  27233  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisum  27455  dchrmusum2  27457  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  rpvmasum2  27475  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrmusumlem  27485  dchrvmasumlem  27486  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum  27502  logsqvma  27505  selberglem1  27508  selberglem2  27509  selberg2lem  27513  selberg2  27514  selberg3lem1  27520  pntrsumo1  27528  pntrsumbnd  27529  selbergr  27531  selberg4r  27533  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntlemo  27570  ax5seglem6  29003  axlowdimlem16  29026  finsumvtxdg2ssteplem4  29617  dipcl  30783  indsumin  32921  elrgspnlem2  33304  esumcvg  34230  fsum2dsub  34751  reprsuc  34759  breprexplemc  34776  breprexp  34777  breprexpnat  34778  vtscl  34782  circlemeth  34784  hgt750lemd  34792  tgoldbachgtde  34804  subfacval2  35369  subfaclim  35370  fwddifnp1  36347  knoppndvlem11  36782  aks4d1p1p1  42502  sticksstones12a  42596  unitscyglem2  42635  sumcubes  42745  fltnltalem  43095  jm2.23  43424  fsumsermpt  46009  sumnnodd  46060  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  stoweidlem26  46454  dirkertrigeqlem2  46527  dirkeritg  46530  fourierdlem73  46607  fourierdlem83  46617  elaa2lem  46661  etransclem23  46685  etransclem27  46689  etransclem31  46693  etransclem33  46695  etransclem39  46701  etransclem46  46708  etransclem47  46709  etransclem48  46710  altgsumbcALT  48829  nn0sumshdiglemA  49095  amgmlemALT  50278