Theorem fsumcl 15809

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11199	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11216	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15808	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℂcc 11115   + caddc 11120  Σcsu 15763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764

This theorem is used by:  fsumclf  15814  fsum2dlem  15846  fsum0diag2  15859  fsummulc1  15861  fsumdivc  15862  fsumneg  15863  fsumsub  15864  fsum2mul  15865  fsumabs  15878  telfsumo  15879  fsumparts  15883  o1fsum  15890  cvgcmpce  15895  climfsum  15897  fsumiun  15898  binom1dif  15912  incexclem  15915  incexc  15916  isumsplit  15919  arisum2  15940  geoserg  15945  pwdif  15947  mertenslem1  15963  mertens  15965  binomfallfaclem2  16118  bpolycl  16130  bpolysum  16131  bpolydiflem  16132  fsumkthpow  16134  fprodefsum  16173  eirrlem  16284  pwp1fsum  16473  pcfac  16983  sylow2a  19735  itg1addlem5  25912  itgcl  25996  dvmptfsum  26187  dvfsumabs  26235  dvfsumlem1  26238  plyf  26408  plymullem1  26424  coeeulem  26434  coemullem  26460  plycjlem  26486  taylpf  26582  mtest  26620  mtestbdd  26621  pserdvlem2  26644  abelthlem6  26652  abelthlem7  26654  advlogexp  26873  log2tlbnd  27163  birthdaylem2  27170  fsumharmonic  27229  lgamcvg2  27272  ftalem1  27290  ftalem5  27294  sgmf  27362  chtdif  27375  fsumdvdscom  27402  fsumdvdsmul  27412  logexprlim  27442  dchrsum2  27485  sumdchr2  27487  rpvmasumlem  27704  dchrisumlem1  27706  dchrisumlem2  27707  dchrisum  27709  dchrmusum2  27711  dchrvmasum2if  27714  dchrvmasumlem3  27716  dchrvmasumiflem1  27718  dchrvmasumiflem2  27719  rpvmasum2  27729  dchrisum0lem1b  27732  dchrisum0lem1  27733  dchrisum0lem2a  27734  dchrisum0lem2  27735  dchrisum0lem3  27736  dchrmusumlem  27739  dchrvmasumlem  27740  mudivsum  27747  mulogsumlem  27748  mulogsum  27749  mulog2sumlem1  27751  mulog2sumlem2  27752  mulog2sumlem3  27753  vmalogdivsum  27756  logsqvma  27759  selberglem1  27762  selberglem2  27763  selberg2lem  27767  selberg2  27768  selberg3lem1  27774  pntrsumo1  27782  pntrsumbnd  27783  selbergr  27785  selberg4r  27787  pntrlog2bndlem2  27795  pntrlog2bndlem4  27797  pntrlog2bndlem5  27798  pntlemo  27824  ax5seglem6  29341  axlowdimlem16  29364  finsumvtxdg2ssteplem4  29958  dipcl  31137  indsumin  33253  elrgspnlem2  33629  esumcvg  34542  fsum2dsub  35061  reprsuc  35069  breprexplemc  35086  breprexp  35087  breprexpnat  35088  vtscl  35092  circlemeth  35094  hgt750lemd  35102  tgoldbachgtde  35114  subfacval2  35718  subfaclim  35719  fwddifnp1  36696  knoppndvlem11  37170  aks4d1p1p1  42890  sticksstones12a  42984  unitscyglem2  43023  sumcubes  43134  fltnltalem  43454  jm2.23  43783  fsumsermpt  46355  sumnnodd  46406  dvnmul  46717  dvnprodlem1  46720  dvnprodlem2  46721  stoweidlem26  46800  dirkertrigeqlem2  46873  dirkeritg  46876  fourierdlem73  46953  fourierdlem83  46963  elaa2lem  47007  etransclem23  47031  etransclem27  47035  etransclem31  47039  etransclem33  47041  etransclem39  47047  etransclem46  47054  etransclem47  47055  etransclem48  47056  altgsumbcALT  49192  nn0sumshdiglemA  49458  amgmlemALT  50710