Theorem fsumcl 15679

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11192	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11207	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15678	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℂcc 11108   + caddc 11113  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  fsumclf  15684  fsum2dlem  15716  fsum0diag2  15729  fsummulc1  15731  fsumdivc  15732  fsumneg  15733  fsumsub  15734  fsum2mul  15735  fsumabs  15747  telfsumo  15748  fsumparts  15752  o1fsum  15759  cvgcmpce  15764  climfsum  15766  fsumiun  15767  binom1dif  15779  incexclem  15782  incexc  15783  isumsplit  15786  arisum2  15807  geoserg  15812  pwdif  15814  mertenslem1  15830  mertens  15832  binomfallfaclem2  15984  bpolycl  15996  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  fsumkthpow  16000  fprodefsum  16038  eirrlem  16147  pwp1fsum  16334  pcfac  16832  sylow2a  19487  itg1addlem5  25218  itgcl  25301  dvmptfsum  25492  dvfsumabs  25540  dvfsumlem1  25543  plyf  25712  plymullem1  25728  coeeulem  25738  coemullem  25764  plycjlem  25790  taylpf  25878  mtest  25916  mtestbdd  25917  pserdvlem2  25940  abelthlem6  25948  abelthlem7  25950  advlogexp  26163  log2tlbnd  26450  birthdaylem2  26457  fsumharmonic  26516  lgamcvg2  26559  ftalem1  26577  ftalem5  26581  sgmf  26649  chtdif  26662  fsumdvdscom  26689  fsumdvdsmul  26699  logexprlim  26728  dchrsum2  26771  sumdchr2  26773  rpvmasumlem  26990  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrisum  26995  dchrmusum2  26997  dchrvmasum2if  27000  dchrvmasumlem3  27002  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmasumiflem2  27005  rpvmasum2  27015  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  dchrmusumlem  27025  dchrvmasumlem  27026  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  mulogsum  27035  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  vmalogdivsum  27042  logsqvma  27045  selberglem1  27048  selberglem2  27049  selberg2lem  27053  selberg2  27054  selberg3lem1  27060  pntrsumo1  27068  pntrsumbnd  27069  selbergr  27071  selberg4r  27073  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntlemo  27110  ax5seglem6  28223  axlowdimlem16  28246  finsumvtxdg2ssteplem4  28836  dipcl  29996  indsumin  33051  esumcvg  33115  fsum2dsub  33650  reprsuc  33658  breprexplemc  33675  breprexp  33676  breprexpnat  33677  vtscl  33681  circlemeth  33683  hgt750lemd  33691  tgoldbachgtde  33703  subfacval2  34209  subfaclim  34210  fwddifnp1  35168  knoppndvlem11  35446  aks4d1p1p1  40976  sticksstones12a  41021  sumcubes  41259  fltnltalem  41452  jm2.23  41783  fsumsermpt  44343  sumnnodd  44394  dvnmul  44707  dvnprodlem1  44710  dvnprodlem2  44711  stoweidlem26  44790  dirkertrigeqlem2  44863  dirkeritg  44866  fourierdlem73  44943  fourierdlem83  44953  elaa2lem  44997  etransclem23  45021  etransclem27  45025  etransclem31  45029  etransclem33  45031  etransclem39  45037  etransclem46  45044  etransclem47  45045  etransclem48  45046  altgsumbcALT  47077  nn0sumshdiglemA  47353  amgmlemALT  47898