Theorem fsumcl 15454

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3945	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 10962	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 10977	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15453	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  ℂcc 10878   + caddc 10883  Σcsu 15406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-sum 15407

This theorem is referenced by:  fsumclf  15459  fsum2dlem  15491  fsum0diag2  15504  fsummulc1  15506  fsumdivc  15507  fsumneg  15508  fsumsub  15509  fsum2mul  15510  fsumabs  15522  telfsumo  15523  fsumparts  15527  o1fsum  15534  cvgcmpce  15539  climfsum  15541  fsumiun  15542  binom1dif  15554  incexclem  15557  incexc  15558  isumsplit  15561  arisum2  15582  geoserg  15587  pwdif  15589  mertenslem1  15605  mertens  15607  binomfallfaclem2  15759  bpolycl  15771  bpolysum  15772  bpolydiflem  15773  fsumkthpow  15775  fprodefsum  15813  eirrlem  15922  pwp1fsum  16109  pcfac  16609  sylow2a  19233  itg1addlem5  24874  itgcl  24957  dvmptfsum  25148  dvfsumabs  25196  dvfsumlem1  25199  plyf  25368  plymullem1  25384  coeeulem  25394  coemullem  25420  plycjlem  25446  taylpf  25534  mtest  25572  mtestbdd  25573  pserdvlem2  25596  abelthlem6  25604  abelthlem7  25606  advlogexp  25819  log2tlbnd  26104  birthdaylem2  26111  fsumharmonic  26170  lgamcvg2  26213  ftalem1  26231  ftalem5  26235  sgmf  26303  chtdif  26316  fsumdvdscom  26343  fsumdvdsmul  26353  logexprlim  26382  dchrsum2  26425  sumdchr2  26427  rpvmasumlem  26644  dchrisumlem1  26646  dchrisumlem2  26647  dchrisum  26649  dchrmusum2  26651  dchrvmasum2if  26654  dchrvmasumlem3  26656  dchrvmasumiflem1  26658  dchrvmasumiflem2  26659  rpvmasum2  26669  dchrisum0lem1b  26672  dchrisum0lem1  26673  dchrisum0lem2a  26674  dchrisum0lem2  26675  dchrisum0lem3  26676  dchrmusumlem  26679  dchrvmasumlem  26680  mudivsum  26687  mulogsumlem  26688  mulogsum  26689  mulog2sumlem1  26691  mulog2sumlem2  26692  mulog2sumlem3  26693  vmalogdivsum  26696  logsqvma  26699  selberglem1  26702  selberglem2  26703  selberg2lem  26707  selberg2  26708  selberg3lem1  26714  pntrsumo1  26722  pntrsumbnd  26723  selbergr  26725  selberg4r  26727  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem5  26738  pntlemo  26764  ax5seglem6  27311  axlowdimlem16  27334  finsumvtxdg2ssteplem4  27924  dipcl  29083  indsumin  31999  esumcvg  32063  fsum2dsub  32596  reprsuc  32604  breprexplemc  32621  breprexp  32622  breprexpnat  32623  vtscl  32627  circlemeth  32629  hgt750lemd  32637  tgoldbachgtde  32649  subfacval2  33158  subfaclim  33159  fwddifnp1  34476  knoppndvlem11  34711  aks4d1p1p1  40078  sticksstones12a  40120  fltnltalem  40506  jm2.23  40825  fsumsermpt  43127  sumnnodd  43178  dvnmul  43491  dvnprodlem1  43494  dvnprodlem2  43495  stoweidlem26  43574  dirkertrigeqlem2  43647  dirkeritg  43650  fourierdlem73  43727  fourierdlem83  43737  elaa2lem  43781  etransclem23  43805  etransclem27  43809  etransclem31  43813  etransclem33  43815  etransclem39  43821  etransclem46  43828  etransclem47  43829  etransclem48  43830  altgsumbcALT  45700  nn0sumshdiglemA  45976  amgmlemALT  46518