Theorem fsumcl 15654

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11106	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11123	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15653	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℂcc 11022   + caddc 11027  Σcsu 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608

This theorem is referenced by:  fsumclf  15659  fsum2dlem  15691  fsum0diag2  15704  fsummulc1  15706  fsumdivc  15707  fsumneg  15708  fsumsub  15709  fsum2mul  15710  fsumabs  15722  telfsumo  15723  fsumparts  15727  o1fsum  15734  cvgcmpce  15739  climfsum  15741  fsumiun  15742  binom1dif  15754  incexclem  15757  incexc  15758  isumsplit  15761  arisum2  15782  geoserg  15787  pwdif  15789  mertenslem1  15805  mertens  15807  binomfallfaclem2  15961  bpolycl  15973  bpolysum  15974  bpolydiflem  15975  fsumkthpow  15977  fprodefsum  16016  eirrlem  16127  pwp1fsum  16316  pcfac  16825  sylow2a  19546  itg1addlem5  25655  itgcl  25739  dvmptfsum  25933  dvfsumabs  25983  dvfsumlem1  25986  plyf  26157  plymullem1  26173  coeeulem  26183  coemullem  26209  plycjlem  26236  taylpf  26327  mtest  26367  mtestbdd  26368  pserdvlem2  26392  abelthlem6  26400  abelthlem7  26402  advlogexp  26618  log2tlbnd  26909  birthdaylem2  26916  fsumharmonic  26976  lgamcvg2  27019  ftalem1  27037  ftalem5  27041  sgmf  27109  chtdif  27122  fsumdvdscom  27149  fsumdvdsmul  27159  fsumdvdsmulOLD  27161  logexprlim  27190  dchrsum2  27233  sumdchr2  27235  rpvmasumlem  27452  dchrisumlem1  27454  dchrisumlem2  27455  dchrisum  27457  dchrmusum2  27459  dchrvmasum2if  27462  dchrvmasumlem3  27464  dchrvmasumiflem1  27466  dchrvmasumiflem2  27467  rpvmasum2  27477  dchrisum0lem1b  27480  dchrisum0lem1  27481  dchrisum0lem2a  27482  dchrisum0lem2  27483  dchrisum0lem3  27484  dchrmusumlem  27487  dchrvmasumlem  27488  mudivsum  27495  mulogsumlem  27496  mulogsum  27497  mulog2sumlem1  27499  mulog2sumlem2  27500  mulog2sumlem3  27501  vmalogdivsum  27504  logsqvma  27507  selberglem1  27510  selberglem2  27511  selberg2lem  27515  selberg2  27516  selberg3lem1  27522  pntrsumo1  27530  pntrsumbnd  27531  selbergr  27533  selberg4r  27535  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem4  27545  pntrlog2bndlem5  27546  pntlemo  27572  ax5seglem6  28956  axlowdimlem16  28979  finsumvtxdg2ssteplem4  29571  dipcl  30736  indsumin  32892  elrgspnlem2  33274  esumcvg  34192  fsum2dsub  34713  reprsuc  34721  breprexplemc  34738  breprexp  34739  breprexpnat  34740  vtscl  34744  circlemeth  34746  hgt750lemd  34754  tgoldbachgtde  34766  subfacval2  35330  subfaclim  35331  fwddifnp1  36308  knoppndvlem11  36665  aks4d1p1p1  42256  sticksstones12a  42350  unitscyglem2  42389  sumcubes  42510  fltnltalem  42847  jm2.23  43180  fsumsermpt  45767  sumnnodd  45818  dvnmul  46129  dvnprodlem1  46132  dvnprodlem2  46133  stoweidlem26  46212  dirkertrigeqlem2  46285  dirkeritg  46288  fourierdlem73  46365  fourierdlem83  46375  elaa2lem  46419  etransclem23  46443  etransclem27  46447  etransclem31  46451  etransclem33  46453  etransclem39  46459  etransclem46  46466  etransclem47  46467  etransclem48  46468  altgsumbcALT  48541  nn0sumshdiglemA  48807  amgmlemALT  49990