Theorem fsumcl 15656

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11108	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11125	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15655	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℂcc 11024   + caddc 11029  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  fsumclf  15661  fsum2dlem  15693  fsum0diag2  15706  fsummulc1  15708  fsumdivc  15709  fsumneg  15710  fsumsub  15711  fsum2mul  15712  fsumabs  15724  telfsumo  15725  fsumparts  15729  o1fsum  15736  cvgcmpce  15741  climfsum  15743  fsumiun  15744  binom1dif  15756  incexclem  15759  incexc  15760  isumsplit  15763  arisum2  15784  geoserg  15789  pwdif  15791  mertenslem1  15807  mertens  15809  binomfallfaclem2  15963  bpolycl  15975  bpolysum  15976  bpolydiflem  15977  fsumkthpow  15979  fprodefsum  16018  eirrlem  16129  pwp1fsum  16318  pcfac  16827  sylow2a  19548  itg1addlem5  25657  itgcl  25741  dvmptfsum  25935  dvfsumabs  25985  dvfsumlem1  25988  plyf  26159  plymullem1  26175  coeeulem  26185  coemullem  26211  plycjlem  26238  taylpf  26329  mtest  26369  mtestbdd  26370  pserdvlem2  26394  abelthlem6  26402  abelthlem7  26404  advlogexp  26620  log2tlbnd  26911  birthdaylem2  26918  fsumharmonic  26978  lgamcvg2  27021  ftalem1  27039  ftalem5  27043  sgmf  27111  chtdif  27124  fsumdvdscom  27151  fsumdvdsmul  27161  fsumdvdsmulOLD  27163  logexprlim  27192  dchrsum2  27235  sumdchr2  27237  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrisum  27459  dchrmusum2  27461  dchrvmasum2if  27464  dchrvmasumlem3  27466  dchrvmasumiflem1  27468  dchrvmasumiflem2  27469  rpvmasum2  27479  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  dchrmusumlem  27489  dchrvmasumlem  27490  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  mulogsum  27499  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  mulog2sumlem3  27503  vmalogdivsum  27506  logsqvma  27509  selberglem1  27512  selberglem2  27513  selberg2lem  27517  selberg2  27518  selberg3lem1  27524  pntrsumo1  27532  pntrsumbnd  27533  selbergr  27535  selberg4r  27537  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntlemo  27574  ax5seglem6  29007  axlowdimlem16  29030  finsumvtxdg2ssteplem4  29622  dipcl  30787  indsumin  32943  elrgspnlem2  33325  esumcvg  34243  fsum2dsub  34764  reprsuc  34772  breprexplemc  34789  breprexp  34790  breprexpnat  34791  vtscl  34795  circlemeth  34797  hgt750lemd  34805  tgoldbachgtde  34817  subfacval2  35381  subfaclim  35382  fwddifnp1  36359  knoppndvlem11  36722  aks4d1p1p1  42327  sticksstones12a  42421  unitscyglem2  42460  sumcubes  42578  fltnltalem  42915  jm2.23  43248  fsumsermpt  45835  sumnnodd  45886  dvnmul  46197  dvnprodlem1  46200  dvnprodlem2  46201  stoweidlem26  46280  dirkertrigeqlem2  46353  dirkeritg  46356  fourierdlem73  46433  fourierdlem83  46443  elaa2lem  46487  etransclem23  46511  etransclem27  46515  etransclem31  46519  etransclem33  46521  etransclem39  46527  etransclem46  46534  etransclem47  46535  etransclem48  46536  altgsumbcALT  48609  nn0sumshdiglemA  48875  amgmlemALT  50058