Theorem fsumcl 15689

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3946	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11114	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11131	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15688	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  ℂcc 11030   + caddc 11035  Σcsu 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643

This theorem is referenced by:  fsumclf  15694  fsum2dlem  15726  fsum0diag2  15739  fsummulc1  15741  fsumdivc  15742  fsumneg  15743  fsumsub  15744  fsum2mul  15745  fsumabs  15758  telfsumo  15759  fsumparts  15763  o1fsum  15770  cvgcmpce  15775  climfsum  15777  fsumiun  15778  binom1dif  15792  incexclem  15795  incexc  15796  isumsplit  15799  arisum2  15820  geoserg  15825  pwdif  15827  mertenslem1  15843  mertens  15845  binomfallfaclem2  15999  bpolycl  16011  bpolysum  16012  bpolydiflem  16013  fsumkthpow  16015  fprodefsum  16054  eirrlem  16165  pwp1fsum  16354  pcfac  16864  sylow2a  19588  itg1addlem5  25680  itgcl  25764  dvmptfsum  25955  dvfsumabs  26003  dvfsumlem1  26006  plyf  26176  plymullem1  26192  coeeulem  26202  coemullem  26228  plycjlem  26254  taylpf  26345  mtest  26385  mtestbdd  26386  pserdvlem2  26409  abelthlem6  26417  abelthlem7  26419  advlogexp  26635  log2tlbnd  26925  birthdaylem2  26932  fsumharmonic  26992  lgamcvg2  27035  ftalem1  27053  ftalem5  27057  sgmf  27125  chtdif  27138  fsumdvdscom  27165  fsumdvdsmul  27175  logexprlim  27205  dchrsum2  27248  sumdchr2  27250  rpvmasumlem  27467  dchrisumlem1  27469  dchrisumlem2  27470  dchrisum  27472  dchrmusum2  27474  dchrvmasum2if  27477  dchrvmasumlem3  27479  dchrvmasumiflem1  27481  dchrvmasumiflem2  27482  rpvmasum2  27492  dchrisum0lem1b  27495  dchrisum0lem1  27496  dchrisum0lem2a  27497  dchrisum0lem2  27498  dchrisum0lem3  27499  dchrmusumlem  27502  dchrvmasumlem  27503  mudivsum  27510  mulogsumlem  27511  mulogsum  27512  mulog2sumlem1  27514  mulog2sumlem2  27515  mulog2sumlem3  27516  vmalogdivsum  27519  logsqvma  27522  selberglem1  27525  selberglem2  27526  selberg2lem  27530  selberg2  27531  selberg3lem1  27537  pntrsumo1  27545  pntrsumbnd  27546  selbergr  27548  selberg4r  27550  pntrlog2bndlem2  27558  pntrlog2bndlem4  27560  pntrlog2bndlem5  27561  pntlemo  27587  ax5seglem6  29020  axlowdimlem16  29043  finsumvtxdg2ssteplem4  29635  dipcl  30801  indsumin  32939  elrgspnlem2  33322  esumcvg  34249  fsum2dsub  34770  reprsuc  34778  breprexplemc  34795  breprexp  34796  breprexpnat  34797  vtscl  34801  circlemeth  34803  hgt750lemd  34811  tgoldbachgtde  34823  subfacval2  35388  subfaclim  35389  fwddifnp1  36366  knoppndvlem11  36801  aks4d1p1p1  42519  sticksstones12a  42613  unitscyglem2  42652  sumcubes  42762  fltnltalem  43112  jm2.23  43445  fsumsermpt  46030  sumnnodd  46081  dvnmul  46392  dvnprodlem1  46395  dvnprodlem2  46396  stoweidlem26  46475  dirkertrigeqlem2  46548  dirkeritg  46551  fourierdlem73  46628  fourierdlem83  46638  elaa2lem  46682  etransclem23  46706  etransclem27  46710  etransclem31  46714  etransclem33  46716  etransclem39  46722  etransclem46  46729  etransclem47  46730  etransclem48  46731  altgsumbcALT  48844  nn0sumshdiglemA  49110  amgmlemALT  50293