Theorem fsumcl 15911

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11292	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11309	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15910	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  ℂcc 11208   + caddc 11213  Σcsu 15865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866

This theorem is used by:  fsumclf  15916  fsum2dlem  15948  fsum0diag2  15961  fsummulc1  15963  fsumdivc  15964  fsumneg  15965  fsumsub  15966  fsum2mul  15967  fsumabs  15980  telfsumo  15981  fsumparts  15985  o1fsum  15992  cvgcmpce  15997  climfsum  15999  fsumiun  16000  binom1dif  16014  incexclem  16017  incexc  16018  isumsplit  16021  arisum2  16042  geoserg  16047  pwdif  16049  mertenslem1  16065  mertens  16067  binomfallfaclem2  16218  bpolycl  16230  bpolysum  16231  bpolydiflem  16232  fsumkthpow  16234  fprodefsum  16273  eirrlem  16384  pwp1fsum  16573  pcfac  17089  sylow2a  19845  itg1addlem5  26033  itgcl  26116  dvmptfsum  26307  dvfsumabs  26355  dvfsumlem1  26358  plyf  26528  plymullem1  26545  coeeulem  26555  coemullem  26581  plycjlem  26607  taylpf  26705  mtest  26743  mtestbdd  26744  pserdvlem2  26767  abelthlem6  26775  abelthlem7  26777  advlogexp  26995  log2tlbnd  27285  birthdaylem2  27292  fsumharmonic  27351  lgamcvg2  27394  ftalem1  27412  ftalem5  27416  sgmf  27484  chtdif  27497  fsumdvdscom  27524  fsumdvdsmul  27534  logexprlim  27564  dchrsum2  27607  sumdchr2  27609  rpvmasumlem  27826  dchrisumlem1  27828  dchrisumlem2  27829  dchrisum  27831  dchrmusum2  27833  dchrvmasum2if  27836  dchrvmasumlem3  27838  dchrvmasumiflem1  27840  dchrvmasumiflem2  27841  rpvmasum2  27851  dchrisum0lem1b  27854  dchrisum0lem1  27855  dchrisum0lem2a  27856  dchrisum0lem2  27857  dchrisum0lem3  27858  dchrmusumlem  27861  dchrvmasumlem  27862  mudivsum  27869  mulogsumlem  27870  mulogsum  27871  mulog2sumlem1  27873  mulog2sumlem2  27874  mulog2sumlem3  27875  vmalogdivsum  27878  logsqvma  27881  selberglem1  27884  selberglem2  27885  selberg2lem  27889  selberg2  27890  selberg3lem1  27896  pntrsumo1  27904  pntrsumbnd  27905  selbergr  27907  selberg4r  27909  pntrlog2bndlem2  27917  pntrlog2bndlem4  27919  pntrlog2bndlem5  27920  pntlemo  27946  ax5seglem6  29524  axlowdimlem16  29547  finsumvtxdg2ssteplem4  30141  dipcl  31326  indsumin  33481  elrgspnlem2  33857  esumcvg  34771  fsum2dsub  35289  reprsuc  35297  breprexplemc  35314  breprexp  35315  breprexpnat  35316  vtscl  35320  circlemeth  35322  hgt750lemd  35330  tgoldbachgtde  35342  subfacval2  36073  subfaclim  36074  fwddifnp1  37057  knoppndvlem11  37515  aks4d1p1p1  43253  sticksstones12a  43347  unitscyglem2  43386  sumcubes  43510  fltnltalem  43813  jm2.23  44143  fsumsermpt  46730  sumnnodd  46781  dvnmul  47092  dvnprodlem1  47095  dvnprodlem2  47096  stoweidlem26  47175  dirkertrigeqlem2  47248  dirkeritg  47251  fourierdlem73  47328  fourierdlem83  47338  elaa2lem  47382  etransclem23  47406  etransclem27  47410  etransclem31  47414  etransclem33  47416  etransclem39  47422  etransclem46  47429  etransclem47  47430  etransclem48  47431  altgsumbcALT  49604  nn0sumshdiglemA  49870  amgmlemALT  51202