Theorem fsumcl 15668

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3959	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11120	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15667	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036   + caddc 11041  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  fsumclf  15673  fsum2dlem  15705  fsum0diag2  15718  fsummulc1  15720  fsumdivc  15721  fsumneg  15722  fsumsub  15723  fsum2mul  15724  fsumabs  15736  telfsumo  15737  fsumparts  15741  o1fsum  15748  cvgcmpce  15753  climfsum  15755  fsumiun  15756  binom1dif  15768  incexclem  15771  incexc  15772  isumsplit  15775  arisum2  15796  geoserg  15801  pwdif  15803  mertenslem1  15819  mertens  15821  binomfallfaclem2  15975  bpolycl  15987  bpolysum  15988  bpolydiflem  15989  fsumkthpow  15991  fprodefsum  16030  eirrlem  16141  pwp1fsum  16330  pcfac  16839  sylow2a  19563  itg1addlem5  25672  itgcl  25756  dvmptfsum  25950  dvfsumabs  26000  dvfsumlem1  26003  plyf  26174  plymullem1  26190  coeeulem  26200  coemullem  26226  plycjlem  26253  taylpf  26344  mtest  26384  mtestbdd  26385  pserdvlem2  26409  abelthlem6  26417  abelthlem7  26419  advlogexp  26635  log2tlbnd  26926  birthdaylem2  26933  fsumharmonic  26993  lgamcvg2  27036  ftalem1  27054  ftalem5  27058  sgmf  27126  chtdif  27139  fsumdvdscom  27166  fsumdvdsmul  27176  fsumdvdsmulOLD  27178  logexprlim  27207  dchrsum2  27250  sumdchr2  27252  rpvmasumlem  27469  dchrisumlem1  27471  dchrisumlem2  27472  dchrisum  27474  dchrmusum2  27476  dchrvmasum2if  27479  dchrvmasumlem3  27481  dchrvmasumiflem1  27483  dchrvmasumiflem2  27484  rpvmasum2  27494  dchrisum0lem1b  27497  dchrisum0lem1  27498  dchrisum0lem2a  27499  dchrisum0lem2  27500  dchrisum0lem3  27501  dchrmusumlem  27504  dchrvmasumlem  27505  mudivsum  27512  mulogsumlem  27513  mulogsum  27514  mulog2sumlem1  27516  mulog2sumlem2  27517  mulog2sumlem3  27518  vmalogdivsum  27521  logsqvma  27524  selberglem1  27527  selberglem2  27528  selberg2lem  27532  selberg2  27533  selberg3lem1  27539  pntrsumo1  27547  pntrsumbnd  27548  selbergr  27550  selberg4r  27552  pntrlog2bndlem2  27560  pntrlog2bndlem4  27562  pntrlog2bndlem5  27563  pntlemo  27589  ax5seglem6  29023  axlowdimlem16  29046  finsumvtxdg2ssteplem4  29638  dipcl  30804  indsumin  32958  elrgspnlem2  33341  esumcvg  34268  fsum2dsub  34789  reprsuc  34797  breprexplemc  34814  breprexp  34815  breprexpnat  34816  vtscl  34820  circlemeth  34822  hgt750lemd  34830  tgoldbachgtde  34842  subfacval2  35407  subfaclim  35408  fwddifnp1  36385  knoppndvlem11  36748  aks4d1p1p1  42437  sticksstones12a  42531  unitscyglem2  42570  sumcubes  42687  fltnltalem  43024  jm2.23  43357  fsumsermpt  45943  sumnnodd  45994  dvnmul  46305  dvnprodlem1  46308  dvnprodlem2  46309  stoweidlem26  46388  dirkertrigeqlem2  46461  dirkeritg  46464  fourierdlem73  46541  fourierdlem83  46551  elaa2lem  46595  etransclem23  46619  etransclem27  46623  etransclem31  46627  etransclem33  46629  etransclem39  46635  etransclem46  46642  etransclem47  46643  etransclem48  46644  altgsumbcALT  48717  nn0sumshdiglemA  48983  amgmlemALT  50166