Theorem fsumcl 15373

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 10884	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 10899	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15372	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800   + caddc 10805  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  fsumclf  15378  fsum2dlem  15410  fsum0diag2  15423  fsummulc1  15425  fsumdivc  15426  fsumneg  15427  fsumsub  15428  fsum2mul  15429  fsumabs  15441  telfsumo  15442  fsumparts  15446  o1fsum  15453  cvgcmpce  15458  climfsum  15460  fsumiun  15461  binom1dif  15473  incexclem  15476  incexc  15477  isumsplit  15480  arisum2  15501  geoserg  15506  pwdif  15508  mertenslem1  15524  mertens  15526  binomfallfaclem2  15678  bpolycl  15690  bpolysum  15691  bpolydiflem  15692  fsumkthpow  15694  fprodefsum  15732  eirrlem  15841  pwp1fsum  16028  pcfac  16528  sylow2a  19139  itg1addlem5  24770  itgcl  24853  dvmptfsum  25044  dvfsumabs  25092  dvfsumlem1  25095  plyf  25264  plymullem1  25280  coeeulem  25290  coemullem  25316  plycjlem  25342  taylpf  25430  mtest  25468  mtestbdd  25469  pserdvlem2  25492  abelthlem6  25500  abelthlem7  25502  advlogexp  25715  log2tlbnd  26000  birthdaylem2  26007  fsumharmonic  26066  lgamcvg2  26109  ftalem1  26127  ftalem5  26131  sgmf  26199  chtdif  26212  fsumdvdscom  26239  fsumdvdsmul  26249  logexprlim  26278  dchrsum2  26321  sumdchr2  26323  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem1  26542  dchrisumlem2  26543  dchrisum  26545  dchrmusum2  26547  dchrvmasum2if  26550  dchrvmasumlem3  26552  dchrvmasumiflem1  26554  dchrvmasumiflem2  26555  rpvmasum2  26565  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem2  26571  dchrisum0lem3  26572  dchrmusumlem  26575  dchrvmasumlem  26576  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  mulogsum  26585  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  mulog2sumlem3  26589  vmalogdivsum  26592  logsqvma  26595  selberglem1  26598  selberglem2  26599  selberg2lem  26603  selberg2  26604  selberg3lem1  26610  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd  26619  selbergr  26621  selberg4r  26623  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntlemo  26660  ax5seglem6  27205  axlowdimlem16  27228  finsumvtxdg2ssteplem4  27818  dipcl  28975  indsumin  31890  esumcvg  31954  fsum2dsub  32487  reprsuc  32495  breprexplemc  32512  breprexp  32513  breprexpnat  32514  vtscl  32518  circlemeth  32520  hgt750lemd  32528  tgoldbachgtde  32540  subfacval2  33049  subfaclim  33050  fwddifnp1  34394  knoppndvlem11  34629  aks4d1p1p1  39999  sticksstones12a  40041  fltnltalem  40415  jm2.23  40734  fsumsermpt  43010  sumnnodd  43061  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  stoweidlem26  43457  dirkertrigeqlem2  43530  dirkeritg  43533  fourierdlem73  43610  fourierdlem83  43620  elaa2lem  43664  etransclem23  43688  etransclem27  43692  etransclem31  43696  etransclem33  43698  etransclem39  43704  etransclem46  43711  etransclem47  43712  etransclem48  43713  altgsumbcALT  45577  nn0sumshdiglemA  45853  amgmlemALT  46393