Theorem fsumcl 15082

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3938	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 10608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 10623	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15081	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524   + caddc 10529  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  15117  fsum0diag2  15130  fsummulc1  15132  fsumdivc  15133  fsumneg  15134  fsumsub  15135  fsum2mul  15136  fsumabs  15148  telfsumo  15149  fsumparts  15153  o1fsum  15160  cvgcmpce  15165  climfsum  15167  fsumiun  15168  binom1dif  15180  incexclem  15183  incexc  15184  isumsplit  15187  arisum2  15208  geoserg  15213  pwdif  15215  pwm1geoserOLD  15217  mertenslem1  15232  mertens  15234  binomfallfaclem2  15386  bpolycl  15398  bpolysum  15399  bpolydiflem  15400  fsumkthpow  15402  fprodefsum  15440  eirrlem  15549  pwp1fsum  15732  pcfac  16225  sylow2a  18736  itg1addlem5  24304  itgcl  24387  dvmptfsum  24578  dvfsumabs  24626  dvfsumlem1  24629  plyf  24795  plymullem1  24811  coeeulem  24821  coemullem  24847  plycjlem  24873  taylpf  24961  mtest  24999  mtestbdd  25000  pserdvlem2  25023  abelthlem6  25031  abelthlem7  25033  advlogexp  25246  log2tlbnd  25531  birthdaylem2  25538  fsumharmonic  25597  lgamcvg2  25640  ftalem1  25658  ftalem5  25662  sgmf  25730  chtdif  25743  fsumdvdscom  25770  fsumdvdsmul  25780  logexprlim  25809  dchrsum2  25852  sumdchr2  25854  rpvmasumlem  26071  dchrisumlem1  26073  dchrisumlem2  26074  dchrisum  26076  dchrmusum2  26078  dchrvmasum2if  26081  dchrvmasumlem3  26083  dchrvmasumiflem1  26085  dchrvmasumiflem2  26086  rpvmasum2  26096  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0lem3  26103  dchrmusumlem  26106  dchrvmasumlem  26107  mudivsum  26114  mulogsumlem  26115  mulogsum  26116  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem2  26119  mulog2sumlem3  26120  vmalogdivsum  26123  logsqvma  26126  selberglem1  26129  selberglem2  26130  selberg2lem  26134  selberg2  26135  selberg3lem1  26141  pntrsumo1  26149  pntrsumbnd  26150  selbergr  26152  selberg4r  26154  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntlemo  26191  ax5seglem6  26728  axlowdimlem16  26751  finsumvtxdg2ssteplem4  27338  dipcl  28495  indsumin  31391  esumcvg  31455  fsum2dsub  31988  reprsuc  31996  breprexplemc  32013  breprexp  32014  breprexpnat  32015  vtscl  32019  circlemeth  32021  hgt750lemd  32029  tgoldbachgtde  32041  subfacval2  32547  subfaclim  32548  fwddifnp1  33739  knoppndvlem11  33974  aks4d1p1p1  39345  fltnltalem  39618  jm2.23  39937  fsumclf  42211  fsumsermpt  42221  sumnnodd  42272  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  stoweidlem26  42668  dirkertrigeqlem2  42741  dirkeritg  42744  fourierdlem73  42821  fourierdlem83  42831  elaa2lem  42875  etransclem23  42899  etransclem27  42903  etransclem31  42907  etransclem33  42909  etransclem39  42915  etransclem46  42922  etransclem47  42923  etransclem48  42924  altgsumbcALT  44755  nn0sumshdiglemA  45033  amgmlemALT  45331