Theorem fsumcl 15899

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11282	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11299	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15898	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198   + caddc 11203  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by:  fsumclf  15904  fsum2dlem  15936  fsum0diag2  15949  fsummulc1  15951  fsumdivc  15952  fsumneg  15953  fsumsub  15954  fsum2mul  15955  fsumabs  15968  telfsumo  15969  fsumparts  15973  o1fsum  15980  cvgcmpce  15985  climfsum  15987  fsumiun  15988  binom1dif  16002  incexclem  16005  incexc  16006  isumsplit  16009  arisum2  16030  geoserg  16035  pwdif  16037  mertenslem1  16053  mertens  16055  binomfallfaclem2  16206  bpolycl  16218  bpolysum  16219  bpolydiflem  16220  fsumkthpow  16222  fprodefsum  16261  eirrlem  16372  pwp1fsum  16561  pcfac  17077  sylow2a  19833  itg1addlem5  26021  itgcl  26104  dvmptfsum  26295  dvfsumabs  26343  dvfsumlem1  26346  plyf  26516  plymullem1  26533  coeeulem  26543  coemullem  26569  plycjlem  26595  taylpf  26693  mtest  26731  mtestbdd  26732  pserdvlem2  26755  abelthlem6  26763  abelthlem7  26765  advlogexp  26983  log2tlbnd  27273  birthdaylem2  27280  fsumharmonic  27339  lgamcvg2  27382  ftalem1  27400  ftalem5  27404  sgmf  27472  chtdif  27485  fsumdvdscom  27512  fsumdvdsmul  27522  logexprlim  27552  dchrsum2  27595  sumdchr2  27597  rpvmasumlem  27814  dchrisumlem1  27816  dchrisumlem2  27817  dchrisum  27819  dchrmusum2  27821  dchrvmasum2if  27824  dchrvmasumlem3  27826  dchrvmasumiflem1  27828  dchrvmasumiflem2  27829  rpvmasum2  27839  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2a  27844  dchrisum0lem2  27845  dchrisum0lem3  27846  dchrmusumlem  27849  dchrvmasumlem  27850  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  mulogsum  27859  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  mulog2sumlem3  27863  vmalogdivsum  27866  logsqvma  27869  selberglem1  27872  selberglem2  27873  selberg2lem  27877  selberg2  27878  selberg3lem1  27884  pntrsumo1  27892  pntrsumbnd  27893  selbergr  27895  selberg4r  27897  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntlemo  27934  ax5seglem6  29512  axlowdimlem16  29535  finsumvtxdg2ssteplem4  30129  dipcl  31314  indsumin  33428  elrgspnlem2  33804  esumcvg  34718  fsum2dsub  35236  reprsuc  35244  breprexplemc  35261  breprexp  35262  breprexpnat  35263  vtscl  35267  circlemeth  35269  hgt750lemd  35277  tgoldbachgtde  35289  subfacval2  35952  subfaclim  35953  fwddifnp1  36930  knoppndvlem11  37388  aks4d1p1p1  43113  sticksstones12a  43207  unitscyglem2  43246  sumcubes  43370  fltnltalem  43673  jm2.23  44002  fsumsermpt  46590  sumnnodd  46641  dvnmul  46952  dvnprodlem1  46955  dvnprodlem2  46956  stoweidlem26  47035  dirkertrigeqlem2  47108  dirkeritg  47111  fourierdlem73  47188  fourierdlem83  47198  elaa2lem  47242  etransclem23  47266  etransclem27  47270  etransclem31  47274  etransclem33  47276  etransclem39  47282  etransclem46  47289  etransclem47  47290  etransclem48  47291  altgsumbcALT  49464  nn0sumshdiglemA  49730  amgmlemALT  50987