Theorem fsumcl 15675

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11126	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11143	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15674	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042   + caddc 11047  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  fsumclf  15680  fsum2dlem  15712  fsum0diag2  15725  fsummulc1  15727  fsumdivc  15728  fsumneg  15729  fsumsub  15730  fsum2mul  15731  fsumabs  15743  telfsumo  15744  fsumparts  15748  o1fsum  15755  cvgcmpce  15760  climfsum  15762  fsumiun  15763  binom1dif  15775  incexclem  15778  incexc  15779  isumsplit  15782  arisum2  15803  geoserg  15808  pwdif  15810  mertenslem1  15826  mertens  15828  binomfallfaclem2  15982  bpolycl  15994  bpolysum  15995  bpolydiflem  15996  fsumkthpow  15998  fprodefsum  16037  eirrlem  16148  pwp1fsum  16337  pcfac  16846  sylow2a  19533  itg1addlem5  25634  itgcl  25718  dvmptfsum  25912  dvfsumabs  25962  dvfsumlem1  25965  plyf  26136  plymullem1  26152  coeeulem  26162  coemullem  26188  plycjlem  26215  taylpf  26306  mtest  26346  mtestbdd  26347  pserdvlem2  26371  abelthlem6  26379  abelthlem7  26381  advlogexp  26597  log2tlbnd  26888  birthdaylem2  26895  fsumharmonic  26955  lgamcvg2  26998  ftalem1  27016  ftalem5  27020  sgmf  27088  chtdif  27101  fsumdvdscom  27128  fsumdvdsmul  27138  fsumdvdsmulOLD  27140  logexprlim  27169  dchrsum2  27212  sumdchr2  27214  rpvmasumlem  27431  dchrisumlem1  27433  dchrisumlem2  27434  dchrisum  27436  dchrmusum2  27438  dchrvmasum2if  27441  dchrvmasumlem3  27443  dchrvmasumiflem1  27445  dchrvmasumiflem2  27446  rpvmasum2  27456  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem1  27460  dchrisum0lem2a  27461  dchrisum0lem2  27462  dchrisum0lem3  27463  dchrmusumlem  27466  dchrvmasumlem  27467  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  mulogsum  27476  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum  27483  logsqvma  27486  selberglem1  27489  selberglem2  27490  selberg2lem  27494  selberg2  27495  selberg3lem1  27501  pntrsumo1  27509  pntrsumbnd  27510  selbergr  27512  selberg4r  27514  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntlemo  27551  ax5seglem6  28914  axlowdimlem16  28937  finsumvtxdg2ssteplem4  29529  dipcl  30691  indsumin  32835  elrgspnlem2  33210  esumcvg  34069  fsum2dsub  34591  reprsuc  34599  breprexplemc  34616  breprexp  34617  breprexpnat  34618  vtscl  34622  circlemeth  34624  hgt750lemd  34632  tgoldbachgtde  34644  subfacval2  35167  subfaclim  35168  fwddifnp1  36146  knoppndvlem11  36503  aks4d1p1p1  42044  sticksstones12a  42138  unitscyglem2  42177  sumcubes  42294  fltnltalem  42643  jm2.23  42978  fsumsermpt  45570  sumnnodd  45621  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  stoweidlem26  46017  dirkertrigeqlem2  46090  dirkeritg  46093  fourierdlem73  46170  fourierdlem83  46180  elaa2lem  46224  etransclem23  46248  etransclem27  46252  etransclem31  46256  etransclem33  46258  etransclem39  46264  etransclem46  46271  etransclem47  46272  etransclem48  46273  altgsumbcALT  48334  nn0sumshdiglemA  48601  amgmlemALT  49785