Theorem fsumcl 15699

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		addcl 11150	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		0cnd 11167	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7	1, 3, 4, 5, 6	fsumcllem 15698	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066   + caddc 11071  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653

This theorem is referenced by:  fsumclf  15704  fsum2dlem  15736  fsum0diag2  15749  fsummulc1  15751  fsumdivc  15752  fsumneg  15753  fsumsub  15754  fsum2mul  15755  fsumabs  15767  telfsumo  15768  fsumparts  15772  o1fsum  15779  cvgcmpce  15784  climfsum  15786  fsumiun  15787  binom1dif  15799  incexclem  15802  incexc  15803  isumsplit  15806  arisum2  15827  geoserg  15832  pwdif  15834  mertenslem1  15850  mertens  15852  binomfallfaclem2  16006  bpolycl  16018  bpolysum  16019  bpolydiflem  16020  fsumkthpow  16022  fprodefsum  16061  eirrlem  16172  pwp1fsum  16361  pcfac  16870  sylow2a  19549  itg1addlem5  25601  itgcl  25685  dvmptfsum  25879  dvfsumabs  25929  dvfsumlem1  25932  plyf  26103  plymullem1  26119  coeeulem  26129  coemullem  26155  plycjlem  26182  taylpf  26273  mtest  26313  mtestbdd  26314  pserdvlem2  26338  abelthlem6  26346  abelthlem7  26348  advlogexp  26564  log2tlbnd  26855  birthdaylem2  26862  fsumharmonic  26922  lgamcvg2  26965  ftalem1  26983  ftalem5  26987  sgmf  27055  chtdif  27068  fsumdvdscom  27095  fsumdvdsmul  27105  fsumdvdsmulOLD  27107  logexprlim  27136  dchrsum2  27179  sumdchr2  27181  rpvmasumlem  27398  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  dchrisum  27403  dchrmusum2  27405  dchrvmasum2if  27408  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmasumiflem2  27413  rpvmasum2  27423  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrisum0lem3  27430  dchrmusumlem  27433  dchrvmasumlem  27434  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  mulog2sumlem3  27447  vmalogdivsum  27450  logsqvma  27453  selberglem1  27456  selberglem2  27457  selberg2lem  27461  selberg2  27462  selberg3lem1  27468  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd  27477  selbergr  27479  selberg4r  27481  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntlemo  27518  ax5seglem6  28861  axlowdimlem16  28884  finsumvtxdg2ssteplem4  29476  dipcl  30641  indsumin  32785  elrgspnlem2  33194  esumcvg  34076  fsum2dsub  34598  reprsuc  34606  breprexplemc  34623  breprexp  34624  breprexpnat  34625  vtscl  34629  circlemeth  34631  hgt750lemd  34639  tgoldbachgtde  34651  subfacval2  35174  subfaclim  35175  fwddifnp1  36153  knoppndvlem11  36510  aks4d1p1p1  42051  sticksstones12a  42145  unitscyglem2  42184  sumcubes  42301  fltnltalem  42650  jm2.23  42985  fsumsermpt  45577  sumnnodd  45628  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  stoweidlem26  46024  dirkertrigeqlem2  46097  dirkeritg  46100  fourierdlem73  46177  fourierdlem83  46187  elaa2lem  46231  etransclem23  46255  etransclem27  46259  etransclem31  46263  etransclem33  46265  etransclem39  46271  etransclem46  46278  etransclem47  46279  etransclem48  46280  altgsumbcALT  48341  nn0sumshdiglemA  48608  amgmlemALT  49792