MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcl 15080
Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3994 . 2 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2 addcl 10608 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
32adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fsumcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 0cnd 10623 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
71, 3, 4, 5, 6fsumcllem 15079 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cc 10524   + caddc 10529  Σcsu 15032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033
This theorem is referenced by:  fsum2dlem  15115  fsum0diag2  15128  fsummulc1  15130  fsumdivc  15131  fsumneg  15132  fsumsub  15133  fsum2mul  15134  fsumabs  15146  telfsumo  15147  fsumparts  15151  o1fsum  15158  cvgcmpce  15163  climfsum  15165  fsumiun  15166  binom1dif  15178  incexclem  15181  incexc  15182  isumsplit  15185  arisum2  15206  geoserg  15211  pwdif  15213  pwm1geoserOLD  15215  mertenslem1  15230  mertens  15232  binomfallfaclem2  15384  bpolycl  15396  bpolysum  15397  bpolydiflem  15398  fsumkthpow  15400  fprodefsum  15438  eirrlem  15547  pwp1fsum  15732  pcfac  16225  sylow2a  18664  itg1addlem5  24216  itgcl  24299  dvmptfsum  24487  dvfsumabs  24535  dvfsumlem1  24538  plyf  24703  plymullem1  24719  coeeulem  24729  coemullem  24755  plycjlem  24781  taylpf  24869  mtest  24907  mtestbdd  24908  pserdvlem2  24931  abelthlem6  24939  abelthlem7  24941  advlogexp  25151  log2tlbnd  25437  birthdaylem2  25444  fsumharmonic  25503  lgamcvg2  25546  ftalem1  25564  ftalem5  25568  sgmf  25636  chtdif  25649  fsumdvdscom  25676  fsumdvdsmul  25686  logexprlim  25715  dchrsum2  25758  sumdchr2  25760  rpvmasumlem  25977  dchrisumlem1  25979  dchrisumlem2  25980  dchrisum  25982  dchrmusum2  25984  dchrvmasum2if  25987  dchrvmasumlem3  25989  dchrvmasumiflem1  25991  dchrvmasumiflem2  25992  rpvmasum2  26002  dchrisum0lem1b  26005  dchrisum0lem1  26006  dchrisum0lem2a  26007  dchrisum0lem2  26008  dchrisum0lem3  26009  dchrmusumlem  26012  dchrvmasumlem  26013  mudivsum  26020  mulogsumlem  26021  mulogsum  26022  mulog2sumlem1  26024  mulog2sumlem2  26025  mulog2sumlem3  26026  vmalogdivsum  26029  logsqvma  26032  selberglem1  26035  selberglem2  26036  selberg2lem  26040  selberg2  26041  selberg3lem1  26047  pntrsumo1  26055  pntrsumbnd  26056  selbergr  26058  selberg4r  26060  pntrlog2bndlem2  26068  pntrlog2bndlem4  26070  pntrlog2bndlem5  26071  pntlemo  26097  ax5seglem6  26634  axlowdimlem16  26657  finsumvtxdg2ssteplem4  27244  dipcl  28403  indsumin  31167  esumcvg  31231  fsum2dsub  31764  reprsuc  31772  breprexplemc  31789  breprexp  31790  breprexpnat  31791  vtscl  31795  circlemeth  31797  hgt750lemd  31805  tgoldbachgtde  31817  subfacval2  32318  subfaclim  32319  fwddifnp1  33510  knoppndvlem11  33745  fltnltalem  39139  jm2.23  39458  fsumclf  41715  fsumsermpt  41725  sumnnodd  41776  dvnmul  42093  dvnprodlem1  42096  dvnprodlem2  42097  stoweidlem26  42177  dirkertrigeqlem2  42250  dirkeritg  42253  fourierdlem73  42330  fourierdlem83  42340  elaa2lem  42384  etransclem23  42408  etransclem27  42412  etransclem31  42416  etransclem33  42418  etransclem39  42424  etransclem46  42431  etransclem47  42432  etransclem48  42433  altgsumbcALT  44233  nn0sumshdiglemA  44511  amgmlemALT  44736
  Copyright terms: Public domain W3C validator