Theorem fsumsub 15838

Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsub	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumneg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumneg.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		fsumsub.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11555	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	fsumadd 15790	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶))
6	1, 3	fsumneg 15837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
7	6	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
8	5, 7	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
9	2, 3	negsubd 11574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
10	9	sumeq2dv 15752	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶))
11	1, 2	fsumcl 15783	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 3	fsumcl 15783	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubd 11574	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
14	8, 10, 13	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097   + caddc 11102   − cmin 11440  -cneg 11441  Σcsu 15736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737

This theorem is referenced by:  fsumle  15850  fsumlt  15851  telfsumo  15853  fsumparts  15857  mertens  15939  bpolydiflem  16107  3dvds  16388  pcfac  16958  pcbc  16959  ramcl  17088  ovolicc2lem4  25647  dvfsumabs  26150  coeeulem  26349  birthdaylem2  27082  emcllem5  27129  lgamcvg2  27184  chpub  27349  logfaclbnd  27351  lgsquadlem1  27509  vmadivsum  27611  rpvmasumlem  27616  dchrmusum2  27623  dchrvmasumiflem2  27631  rpvmasum2  27641  dchrisum0lem2a  27646  dchrisum0lem2  27647  rplogsum  27656  mulogsumlem  27660  mulogsum  27661  mulog2sumlem1  27663  mulog2sumlem2  27664  mulog2sumlem3  27665  vmalogdivsum2  27667  vmalogdivsum  27668  2vmadivsumlem  27669  logsqvma  27671  selberglem1  27674  selberg3lem1  27686  selberg4lem1  27689  pntrsumo1  27694  selbergr  27697  selberg3r  27698  selberg4r  27699  selberg34r  27700  pntrlog2bndlem4  27709  pntrlog2bndlem5  27710  pntlemo  27736  ax5seglem9  29227  fwddifnp1  36555  knoppndvlem11  36999  sticksstones10  42811  sticksstones12a  42813  oddnumth  42961  etransclem46  46885