MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsub 15737
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsub (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumneg.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 fsumsub.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
43negcld 11559 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
51, 2, 4fsumadd 15689 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶))
61, 3fsumneg 15736 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘𝐴 𝐶)
76oveq2d 7420 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
85, 7eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
92, 3negsubd 11578 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
109sumeq2dv 15652 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶))
111, 2fsumcl 15682 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3fsumcl 15682 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 11578 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
148, 10, 133eqtr3d 2774 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  cc 11107   + caddc 11112  cmin 11445  -cneg 11446  Σcsu 15635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636
This theorem is referenced by:  fsumle  15748  fsumlt  15749  telfsumo  15751  fsumparts  15755  mertens  15835  bpolydiflem  16001  3dvds  16278  pcfac  16838  pcbc  16839  ramcl  16968  ovolicc2lem4  25399  dvfsumabs  25907  coeeulem  26108  birthdaylem2  26834  emcllem5  26882  lgamcvg2  26937  chpub  27103  logfaclbnd  27105  lgsquadlem1  27263  vmadivsum  27365  rpvmasumlem  27370  dchrmusum2  27377  dchrvmasumiflem2  27385  rpvmasum2  27395  dchrisum0lem2a  27400  dchrisum0lem2  27401  rplogsum  27410  mulogsumlem  27414  mulogsum  27415  mulog2sumlem1  27417  mulog2sumlem2  27418  mulog2sumlem3  27419  vmalogdivsum2  27421  vmalogdivsum  27422  2vmadivsumlem  27423  logsqvma  27425  selberglem1  27428  selberg3lem1  27440  selberg4lem1  27443  pntrsumo1  27448  selbergr  27451  selberg3r  27452  selberg4r  27453  selberg34r  27454  pntrlog2bndlem4  27463  pntrlog2bndlem5  27464  pntlemo  27490  ax5seglem9  28698  fwddifnp1  35669  knoppndvlem11  35905  sticksstones10  41514  sticksstones12a  41516  oddnumth  41749  etransclem46  45550
  Copyright terms: Public domain W3C validator