MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsub 15133
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsub (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumneg.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 fsumsub.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
43negcld 10973 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
51, 2, 4fsumadd 15086 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶))
61, 3fsumneg 15132 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘𝐴 𝐶)
76oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
85, 7eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
92, 3negsubd 10992 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
109sumeq2dv 15050 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶))
111, 2fsumcl 15080 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3fsumcl 15080 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 10992 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
148, 10, 133eqtr3d 2864 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  Fincfn 8498  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859  -cneg 10860  Σcsu 15032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033
This theorem is referenced by:  fsumle  15144  fsumlt  15145  telfsumo  15147  fsumparts  15151  mertens  15232  bpolydiflem  15398  3dvds  15670  pcfac  16225  pcbc  16226  ramcl  16355  ovolicc2lem4  24050  dvfsumabs  24549  coeeulem  24743  birthdaylem2  25458  emcllem5  25505  lgamcvg2  25560  chpub  25724  logfaclbnd  25726  lgsquadlem1  25884  vmadivsum  25986  rpvmasumlem  25991  dchrmusum2  25998  dchrvmasumiflem2  26006  rpvmasum2  26016  dchrisum0lem2a  26021  dchrisum0lem2  26022  rplogsum  26031  mulogsumlem  26035  mulogsum  26036  mulog2sumlem1  26038  mulog2sumlem2  26039  mulog2sumlem3  26040  vmalogdivsum2  26042  vmalogdivsum  26043  2vmadivsumlem  26044  logsqvma  26046  selberglem1  26049  selberg3lem1  26061  selberg4lem1  26064  pntrsumo1  26069  selbergr  26072  selberg3r  26073  selberg4r  26074  selberg34r  26075  pntrlog2bndlem4  26084  pntrlog2bndlem5  26085  pntlemo  26111  ax5seglem9  26651  fwddifnp1  33524  knoppndvlem11  33759  etransclem46  42446
  Copyright terms: Public domain W3C validator