MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsub 14857
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsub (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumneg.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 fsumsub.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
43negcld 10672 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
51, 2, 4fsumadd 14810 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶))
61, 3fsumneg 14856 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘𝐴 𝐶)
76oveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
85, 7eqtrd 2834 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
92, 3negsubd 10691 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
109sumeq2dv 14773 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶))
111, 2fsumcl 14804 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3fsumcl 14804 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 10691 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
148, 10, 133eqtr3d 2842 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6879  Fincfn 8196  cc 10223   + caddc 10228  cmin 10557  -cneg 10558  Σcsu 14756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-oi 8658  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-clim 14559  df-sum 14757
This theorem is referenced by:  fsumle  14868  fsumlt  14869  telfsumo  14871  fsumparts  14875  mertens  14954  bpolydiflem  15120  3dvds  15390  pcfac  15935  pcbc  15936  ramcl  16065  ovolicc2lem4  23627  dvfsumabs  24126  coeeulem  24320  birthdaylem2  25030  emcllem5  25077  lgamcvg2  25132  chpub  25296  logfaclbnd  25298  lgsquadlem1  25456  vmadivsum  25522  rpvmasumlem  25527  dchrmusum2  25534  dchrvmasumiflem2  25542  rpvmasum2  25552  dchrisum0lem2a  25557  dchrisum0lem2  25558  rplogsum  25567  mulogsumlem  25571  mulogsum  25572  mulog2sumlem1  25574  mulog2sumlem2  25575  mulog2sumlem3  25576  vmalogdivsum2  25578  vmalogdivsum  25579  2vmadivsumlem  25580  logsqvma  25582  selberglem1  25585  selberg3lem1  25597  selberg4lem1  25600  pntrsumo1  25605  selbergr  25608  selberg3r  25609  selberg4r  25610  selberg34r  25611  pntrlog2bndlem4  25620  pntrlog2bndlem5  25621  pntlemo  25647  ax5seglem9  26173  fwddifnp1  32784  knoppndvlem11  33020  etransclem46  41235
  Copyright terms: Public domain W3C validator