Theorem fsumsub 15549

Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsub	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumneg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumneg.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		fsumsub.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	fsumadd 15501	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶))
6	1, 3	fsumneg 15548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
7	6	oveq2d 7323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
8	5, 7	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
9	2, 3	negsubd 11388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
10	9	sumeq2dv 15464	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶))
11	1, 2	fsumcl 15494	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 3	fsumcl 15494	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubd 11388	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
14	8, 10, 13	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  Fincfn 8764  ℂcc 10919   + caddc 10924   − cmin 11255  -cneg 11256  Σcsu 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-exp 13833  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-sum 15447

This theorem is referenced by:  fsumle  15560  fsumlt  15561  telfsumo  15563  fsumparts  15567  mertens  15647  bpolydiflem  15813  3dvds  16089  pcfac  16649  pcbc  16650  ramcl  16779  ovolicc2lem4  24733  dvfsumabs  25236  coeeulem  25434  birthdaylem2  26151  emcllem5  26198  lgamcvg2  26253  chpub  26417  logfaclbnd  26419  lgsquadlem1  26577  vmadivsum  26679  rpvmasumlem  26684  dchrmusum2  26691  dchrvmasumiflem2  26699  rpvmasum2  26709  dchrisum0lem2a  26714  dchrisum0lem2  26715  rplogsum  26724  mulogsumlem  26728  mulogsum  26729  mulog2sumlem1  26731  mulog2sumlem2  26732  mulog2sumlem3  26733  vmalogdivsum2  26735  vmalogdivsum  26736  2vmadivsumlem  26737  logsqvma  26739  selberglem1  26742  selberg3lem1  26754  selberg4lem1  26757  pntrsumo1  26762  selbergr  26765  selberg3r  26766  selberg4r  26767  selberg34r  26768  pntrlog2bndlem4  26777  pntrlog2bndlem5  26778  pntlemo  26804  ax5seglem9  27354  fwddifnp1  34516  knoppndvlem11  34751  sticksstones10  40311  sticksstones12a  40313  etransclem46  44050