Theorem fsumsub 15733

Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsub	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumneg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumneg.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		fsumsub.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11557	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	fsumadd 15685	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶))
6	1, 3	fsumneg 15732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
7	6	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
8	5, 7	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
9	2, 3	negsubd 11576	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
10	9	sumeq2dv 15648	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶))
11	1, 2	fsumcl 15678	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 3	fsumcl 15678	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12	negsubd 11576	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + -Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
14	8, 10, 13	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 − 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107   + caddc 11112   − cmin 11443  -cneg 11444  Σcsu 15631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632

This theorem is referenced by:  fsumle  15744  fsumlt  15745  telfsumo  15747  fsumparts  15751  mertens  15831  bpolydiflem  15997  3dvds  16273  pcfac  16831  pcbc  16832  ramcl  16961  ovolicc2lem4  25036  dvfsumabs  25539  coeeulem  25737  birthdaylem2  26454  emcllem5  26501  lgamcvg2  26556  chpub  26720  logfaclbnd  26722  lgsquadlem1  26880  vmadivsum  26982  rpvmasumlem  26987  dchrmusum2  26994  dchrvmasumiflem2  27002  rpvmasum2  27012  dchrisum0lem2a  27017  dchrisum0lem2  27018  rplogsum  27027  mulogsumlem  27031  mulogsum  27032  mulog2sumlem1  27034  mulog2sumlem2  27035  mulog2sumlem3  27036  vmalogdivsum2  27038  vmalogdivsum  27039  2vmadivsumlem  27040  logsqvma  27042  selberglem1  27045  selberg3lem1  27057  selberg4lem1  27060  pntrsumo1  27065  selbergr  27068  selberg3r  27069  selberg4r  27070  selberg34r  27071  pntrlog2bndlem4  27080  pntrlog2bndlem5  27081  pntlemo  27107  ax5seglem9  28192  fwddifnp1  35132  knoppndvlem11  35393  sticksstones10  40966  sticksstones12a  40968  oddnumth  41209  etransclem46  44986