Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumclf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumclf 42002
 Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsumcl 15070 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumclf.ph 𝑘𝜑
fsumclf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumclf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumclf (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumclf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3874 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2973 . . . 4 𝑗𝐴
3 nfcv 2973 . . . 4 𝑘𝐴
4 nfcv 2973 . . . 4 𝑗𝐵
5 nfcsb1v 3884 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 15032 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵)
8 fsumclf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 fsumclf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
10 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝐴
119, 10nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
125nfel1 2989 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1311, 12nfim 1897 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
14 eleq1w 2893 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1514anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
161eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1715, 16imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
18 fsumclf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1913, 17, 18chvarfv 2242 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
208, 19fsumcl 15070 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
217, 20eqeltrd 2911 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3860  Fincfn 8487  ℂcc 10513  Σcsu 15022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023 This theorem is referenced by:  fsumsplit1  42005  dvmptfprodlem  42377
 Copyright terms: Public domain W3C validator