MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumzcl 15071
Description: Closure of a finite sum of integers. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumzcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
fsumzcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumzcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 11967 . . 3 ℤ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
3 zaddcl 12000 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
43adantl 485 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumzcl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 0zd 11971 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 15068 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wss 3910  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  cc 10512   + caddc 10517  cz 11959  Σcsu 15021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022
This theorem is referenced by:  fsumzcl2  15074  fsummsnunz  15088  eirrlem  15536  fsumdvds  15637  3dvds  15659  sumeven  15715  sumodd  15716  aalioulem1  24906  aaliou3lem6  24922  sgmnncl  25710  mersenne  25789  lgseisenlem4  25940  lgseisen  25941  lgsquadlem1  25942  vtxdgoddnumeven  27321  lcmineqlem6  39190  jm2.22  39733  jm2.23  39734  etransclem27  42696  etransclem36  42705  etransclem44  42713  etransclem45  42714  fsummmodsnunz  43685  2pwp1prm  43899  lighneallem3  43919  lighneallem4b  43921  lighneallem4  43922
  Copyright terms: Public domain W3C validator