Theorem funcringcsetcALTV2lem3 45022

Description: Lemma 3 for funcringcsetcALTV2 45029. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2.r	⊢ 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2lem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcringcsetcALTV2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
2		funcringcsetcALTV2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		funcringcsetcALTV2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	1, 2, 3	ringcbasbas 45018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑥) ∈ 𝑈)
5		funcringcsetcALTV2.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
6	5, 3	setcbas 17397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
7	6	eqcomd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑈)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑆) = 𝑈)
9	4, 8	eleqtrrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
10		funcringcsetcALTV2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	eleqtrrdi 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑥) ∈ 𝐶)
12	11	fmpttd 6871	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)):𝐵⟶𝐶)
13		funcringcsetcALTV2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
14	13	feq1d 6484	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)):𝐵⟶𝐶))
15	12, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  WUnicwun 10153  Basecbs 16534  SetCatcsetc 17394  RingCatcringc 44987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-wun 10155  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-fz 12933  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-resc 17133  df-setc 17395  df-estrc 17432  df-mhm 18015  df-ghm 18416  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-rnghom 19531  df-ringc 44989

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  45029