Theorem funcringcsetcALTV2lem3 48768

Description: Lemma 3 for funcringcsetcALTV2 48775. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2.r	⊢ 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2lem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcringcsetcALTV2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
2		funcringcsetcALTV2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		funcringcsetcALTV2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
4	1, 2, 3	ringcbasbas 20650	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑥) ∈ 𝑈)
5		funcringcsetcALTV2.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
6	5, 3	setcbas 18045	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
7	6	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑈)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑆) = 𝑈)
9	4, 8	eleqtrrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
10		funcringcsetcALTV2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	eleqtrrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑥) ∈ 𝐶)
12	11	fmpttd 7067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)):𝐵⟶𝐶)
13		funcringcsetcALTV2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
14	13	feq1d 6650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)):𝐵⟶𝐶))
15	12, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  WUnicwun 10623  Basecbs 17179  SetCatcsetc 18042  RingCatcringc 20622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-wun 10625  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-resc 17778  df-setc 18043  df-estrc 18089  df-mhm 18751  df-ghm 19188  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-rhm 20452  df-ringc 20623

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  48775