Theorem fxpsubg 33249

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a group 𝑊 is a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5180	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊)))
6		fxpsubg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 18932	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
15		ghmgrp1 19184	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		ghmmhm 19192	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubm 33248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊))
21	6	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
22		gaset 19259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
23	8, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
24	23, 8	fxpss 33242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
25	24	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
28	17, 27, 27	ghminv 19189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
29	21, 26, 28	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
30		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
31	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Grp)
32	17, 27, 31, 25	grpinvcld 18955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
34		ovexd 7395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
35	1, 30, 33, 34	fvmptd3 6965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
36		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
37		ovexd 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
38	1, 36, 26, 37	fvmptd3 6965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
39	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
41		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
42		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
43	10, 40, 41, 42	fxpgaeq 33245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
44	38, 43	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
45	44	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
46	29, 35, 45	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
47	46	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
48	10, 39, 32	isfxp 33244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧)))
49	47, 48	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
50	49	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
51	27	issubg3 19111	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
52	51	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	16, 20, 50, 52	syl12anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  0_gc0g 17393   MndHom cmhm 18740  SubMndcsubmnd 18741  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  SubGrpcsubg 19087   GrpHom cghm 19178   GrpAct cga 19255  FixPtscfxp 33239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-ga 19256  df-fxp 33240

This theorem is referenced by:  fxpsubrg  33250