Theorem fxpsubg 33401

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a group 𝑊 is a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊)))
6		fxpsubg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 19020	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
15		ghmgrp1 19276	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		ghmmhm 19284	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
19	6, 18	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubm 33400	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊))
21	6	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
22		gaset 19351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
23	8, 22	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
24	23, 8	fxpss 33394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
25	24	sselda 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
27		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
28	17, 27, 27	ghminv 19281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
29	21, 26, 28	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
30		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
31	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Grp)
32	17, 27, 31, 25	grpinvcld 19043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
34		ovexd 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
35	1, 30, 33, 34	fvmptd3 7003	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
36		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
37		ovexd 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
38	1, 36, 26, 37	fvmptd3 7003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
39	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
41		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
42		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
43	10, 40, 41, 42	fxpgaeq 33397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
44	38, 43	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
45	44	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
46	29, 35, 45	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
47	46	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
48	10, 39, 32	isfxp 33396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧)))
49	47, 48	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
50	49	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
51	27	issubg3 19199	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
52	51	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	16, 20, 50, 52	syl12anc 849	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   MndHom cmhm 18827  SubMndcsubmnd 18828  Grpcgrp 18988  inv_gcminusg 18989  SubGrpcsubg 19174   GrpHom cghm 19271   GrpAct cga 19347  FixPtscfxp 33391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-ga 19348  df-fxp 33392

This theorem is referenced by:  fxpsubrg  33402