Theorem fxpsubg 33474

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a group 𝑊 is a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊)))
6		fxpsubg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 19033	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
15		ghmgrp1 19289	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		ghmmhm 19297	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
19	6, 18	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubm 33473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊))
21	6	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
22		gaset 19364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
23	8, 22	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
24	23, 8	fxpss 33467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
25	24	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
27		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
28	17, 27, 27	ghminv 19294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
29	21, 26, 28	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
30		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
31	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Grp)
32	17, 27, 31, 25	grpinvcld 19056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
34		ovexd 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
35	1, 30, 33, 34	fvmptd3 7015	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
36		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
37		ovexd 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
38	1, 36, 26, 37	fvmptd3 7015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
39	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
41		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
42		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
43	10, 40, 41, 42	fxpgaeq 33470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
44	38, 43	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
45	44	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
46	29, 35, 45	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
47	46	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
48	10, 39, 32	isfxp 33469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧)))
49	47, 48	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
50	49	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
51	27	issubg3 19212	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
52	51	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	16, 20, 50, 52	syl12anc 849	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   MndHom cmhm 18840  SubMndcsubmnd 18841  Grpcgrp 19001  inv_gcminusg 19002  SubGrpcsubg 19187   GrpHom cghm 19284   GrpAct cga 19360  FixPtscfxp 33464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-ga 19361  df-fxp 33465

This theorem is referenced by:  fxpsubrg  33475