Theorem fxpsubg 33734

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a group 𝑊 is a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem fxpsubg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊)))
6		fxpsubg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19506	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 19176	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
15		ghmgrp1 19432	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		ghmmhm 19440	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
19	6, 18	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubm 33733	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊))
21	6	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
22		gaset 19507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
23	8, 22	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
24	23, 8	fxpss 33727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
25	24	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
28	17, 27, 27	ghminv 19437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
29	21, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
30		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
31	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Grp)
32	17, 27, 31, 25	grpinvcld 19199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
34		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
35	1, 30, 33, 34	fvmptd3 7017	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
36		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
37		ovexd 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
38	1, 36, 26, 37	fvmptd3 7017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
39	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
41		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
42		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
43	10, 40, 41, 42	fxpgaeq 33730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
44	38, 43	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
45	44	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
46	29, 35, 45	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
47	46	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
48	10, 39, 32	isfxp 33729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧)))
49	47, 48	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
50	49	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
51	27	issubg3 19355	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
52	51	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	16, 20, 50, 52	syl12anc 850	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   MndHom cmhm 18976  SubMndcsubmnd 18977  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  SubGrpcsubg 19330   GrpHom cghm 19427   GrpAct cga 19503  FixPtscfxp 33724

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-ga 19504  df-fxp 33725

This theorem is used by:  fxpsubrg  33735