Theorem fxpsubg 33313

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a group 𝑊 is a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊)))
6		fxpsubg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19322	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 18997	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
15		ghmgrp1 19248	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		ghmmhm 19256	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 MndHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubm 33312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊))
21	6	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
22		gaset 19323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
23	8, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
24	23, 8	fxpss 33306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
25	24	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
28	17, 27, 27	ghminv 19253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
29	21, 26, 28	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)))
30		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝑊)‘𝑧) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
31	16	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Grp)
32	17, 27, 31, 25	grpinvcld 19020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
33	32	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ 𝐶)
34		ovexd 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) ∈ V)
35	1, 30, 33, 34	fvmptd3 6993	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝑊)‘𝑧)) = (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)))
36		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
37		ovexd 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
38	1, 36, 26, 37	fvmptd3 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
39	8	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
40	39	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
41		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
42		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
43	10, 40, 41, 42	fxpgaeq 33309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
44	38, 43	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
45	44	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝐹‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
46	29, 35, 45	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
47	46	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧))
48	10, 39, 32	isfxp 33308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴((invg‘𝑊)‘𝑧)) = ((invg‘𝑊)‘𝑧)))
49	47, 48	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
50	49	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
51	27	issubg3 19176	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
52	51	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubMnd‘𝑊) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)((invg‘𝑊)‘𝑧) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	16, 20, 50, 52	syl12anc 847	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  0_gc0g 17458   MndHom cmhm 18805  SubMndcsubmnd 18806  Grpcgrp 18965  inv_gcminusg 18966  SubGrpcsubg 19152   GrpHom cghm 19243   GrpAct cga 19319  FixPtscfxp 33303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-ga 19320  df-fxp 33304

This theorem is referenced by:  fxpsubrg  33314