Theorem fxpsubrg 33235

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a ring 𝑊 is a subgring. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubrg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊)))
6		fxpsubrg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 18941	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
15		rhmrcl1 20456	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		rhmghm 20463	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubg 33234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑊) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴(1r‘𝑊)))
22		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
23	17, 22, 16	ringidcld 20247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐶)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐶)
25		ovexd 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) ∈ V)
26	1, 21, 24, 25	fvmptd3 6971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (𝑝𝐴(1r‘𝑊)))
27	22, 22	rhm1 20468	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
28	6, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
29	26, 28	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
30	29	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
31	10, 8, 23	isfxp 33229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊)))
32	30, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
33	6	ad4ant14 753	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
34		gaset 19268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
35	8, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
36	35, 8	fxpss 33227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
37	36	sselda 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
40	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
41	40	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐶)
43		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
44	17, 43, 43	rhmmul 20465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))
45	33, 39, 42, 44	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))
46		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
47	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Ring)
48	17, 43, 47, 38, 41	ringcld 20241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐶)
49		ovexd 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) ∈ V)
50	1, 46, 48, 49	fvmptd3 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
52		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
53		ovexd 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
54	1, 52, 39, 53	fvmptd3 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
55	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
57		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
58		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
59	10, 56, 57, 58	fxpgaeq 33230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
60	54, 59	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
61		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑦))
62		ovexd 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑦) ∈ V)
63	1, 61, 42, 62	fvmptd3 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑝𝐴𝑦))
64		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
65	10, 56, 64, 58	fxpgaeq 33230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑦) = 𝑦)
66	63, 65	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = 𝑦)
67	60, 66	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
68	45, 51, 67	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
69	68	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
70	10, 55, 48	isfxp 33229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
71	69, 70	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
72	71	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
73	72	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
74	17, 22, 43	issubrg2 20569	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
75	74	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
76	16, 20, 32, 73, 75	syl13anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096   GrpHom cghm 19187   GrpAct cga 19264  1_rcur 20162  Ringcrg 20214   RingHom crh 20449  SubRingcsubrg 20546  FixPtscfxp 33224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-ga 19265  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-fxp 33225

This theorem is referenced by:  fxpsdrg  33236  splysubrg  33704