Theorem fxpsubrg 33256

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a ring 𝑊 is a subgring. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubrg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5192	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊)))
6		fxpsubrg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 18895	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
15		rhmrcl1 20412	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		rhmghm 20419	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubg 33255	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑊) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴(1r‘𝑊)))
22		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
23	17, 22, 16	ringidcld 20201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐶)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐶)
25		ovexd 7393	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) ∈ V)
26	1, 21, 24, 25	fvmptd3 6964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (𝑝𝐴(1r‘𝑊)))
27	22, 22	rhm1 20424	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
28	6, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
29	26, 28	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
30	29	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
31	10, 8, 23	isfxp 33250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊)))
32	30, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
33	6	ad4ant14 752	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
34		gaset 19222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
35	8, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
36	35, 8	fxpss 33248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
37	36	sselda 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
40	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
41	40	sselda 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐶)
43		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
44	17, 43, 43	rhmmul 20421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))
45	33, 39, 42, 44	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))
46		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
47	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Ring)
48	17, 43, 47, 38, 41	ringcld 20195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐶)
49		ovexd 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) ∈ V)
50	1, 46, 48, 49	fvmptd3 6964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
52		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
53		ovexd 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
54	1, 52, 39, 53	fvmptd3 6964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
55	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
57		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
58		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
59	10, 56, 57, 58	fxpgaeq 33251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
60	54, 59	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
61		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑦))
62		ovexd 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑦) ∈ V)
63	1, 61, 42, 62	fvmptd3 6964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑝𝐴𝑦))
64		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
65	10, 56, 64, 58	fxpgaeq 33251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑦) = 𝑦)
66	63, 65	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = 𝑦)
67	60, 66	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
68	45, 51, 67	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
69	68	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
70	10, 55, 48	isfxp 33250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
71	69, 70	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
72	71	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
73	72	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
74	17, 22, 43	issubrg2 20525	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
75	74	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
76	16, 20, 32, 73, 75	syl13anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050   GrpHom cghm 19141   GrpAct cga 19218  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   RingHom crh 20405  SubRingcsubrg 20502  FixPtscfxp 33245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-ga 19219  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-fxp 33246

This theorem is referenced by:  fxpsdrg  33257  splysubrg  33718