Theorem fxpsubrg 33314

Description: The fixed points of a group action 𝐴 on a ring 𝑊 is a subgring. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxpsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fxpsubm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
fxpsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
fxpsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
fxpsubrg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
fxpsubrg	⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑥   𝐵,𝑝,𝑥   𝐶,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝑊,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem fxpsubrg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxpsubm.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥))
2		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑝𝐴𝑥) = ((0g‘𝐺)𝐴𝑥))
3	2	mpteq2dv 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑝𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
4	1, 3	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)))
5	4	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (0g‘𝐺) → (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊)))
6		fxpsubrg.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
7	6	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
8		fxpsubm.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
9		gagrp 19322	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
10		fxpsubm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	10, 11	grpidcl 18997	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13	8, 9, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
14	5, 7, 13	rspcdva 3581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
15		rhmrcl1 20511	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((0g‘𝐺)𝐴𝑥)) ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → 𝑊 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
17		fxpsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
18		rhmghm 20518	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑊))
20	10, 17, 1, 8, 19	fxpsubg 33313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊))
21		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑊) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴(1r‘𝑊)))
22		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
23	17, 22, 16	ringidcld 20302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ 𝐶)
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐶)
25		ovexd 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) ∈ V)
26	1, 21, 24, 25	fvmptd3 6993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (𝑝𝐴(1r‘𝑊)))
27	22, 22	rhm1 20524	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
28	6, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
29	26, 28	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
30	29	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊))
31	10, 8, 23	isfxp 33308	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(1r‘𝑊)) = (1r‘𝑊)))
32	30, 31	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
33	6	ad4ant14 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊))
34		gaset 19323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
35	8, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
36	35, 8	fxpss 33306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
37	36	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
39	38	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐶)
40	36	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝐶FixPts𝐴) ⊆ 𝐶)
41	40	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
42	41	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐶)
43		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
44	17, 43, 43	rhmmul 20521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑊 RingHom 𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))
45	33, 39, 42, 44	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))
46		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
47	16	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝑊 ∈ Ring)
48	17, 43, 47, 38, 41	ringcld 20296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐶)
49		ovexd 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) ∈ V)
50	1, 46, 48, 49	fvmptd3 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
51	50	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
52		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑧))
53		ovexd 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) ∈ V)
54	1, 52, 39, 53	fvmptd3 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = (𝑝𝐴𝑧))
55	8	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐺 GrpAct 𝐶))
57		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
58		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
59	10, 56, 57, 58	fxpgaeq 33309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑧) = 𝑧)
60	54, 59	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
61		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝐴𝑥) = (𝑝𝐴𝑦))
62		ovexd 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑦) ∈ V)
63	1, 61, 42, 62	fvmptd3 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑝𝐴𝑦))
64		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴))
65	10, 56, 64, 58	fxpgaeq 33309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴𝑦) = 𝑦)
66	63, 65	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = 𝑦)
67	60, 66	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑧)(.r‘𝑊)(𝐹‘𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
68	45, 51, 67	3eqtr3d 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
69	68	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦))
70	10, 55, 48	isfxp 33308	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → ((𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐵 (𝑝𝐴(𝑧(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑧(.r‘𝑊)𝑦)))
71	69, 70	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
72	71	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
73	72	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))
74	17, 22, 43	issubrg2 20628	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊) ↔ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))))
75	74	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ ((𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (𝐶FixPts𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐶FixPts𝐴)∀𝑦 ∈ (𝐶FixPts𝐴)(𝑧(.r‘𝑊)𝑦) ∈ (𝐶FixPts𝐴))) → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))
76	16, 20, 32, 73, 75	syl13anc 1390	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶FixPts𝐴) ∈ (SubRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18965  SubGrpcsubg 19152   GrpHom cghm 19243   GrpAct cga 19319  1_rcur 20217  Ringcrg 20269   RingHom crh 20504  SubRingcsubrg 20605  FixPtscfxp 33303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-ga 19320  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-rhm 20507  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-fxp 33304

This theorem is referenced by:  fxpsdrg  33315  splysubrg  33817