MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsflsumcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsflsumcom 26553
Description: A sum commutation from ฮฃ๐‘› โ‰ค ๐ด, ฮฃ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›, ๐ต(๐‘›, ๐‘‘) to ฮฃ๐‘‘ โ‰ค ๐ด, ฮฃ๐‘š โ‰ค ๐ด / ๐‘‘, ๐ต(๐‘›, ๐‘‘๐‘š). (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflsumcom.1 (๐‘› = (๐‘‘ ยท ๐‘š) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvdsflsumcom.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvdsflsumcom.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
dvdsflsumcom (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}๐ต = ฮฃ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘)))๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘‘,๐‘›,๐‘ฅ,๐ด   ๐ต,๐‘š   ๐ถ,๐‘›   ๐œ‘,๐‘‘,๐‘š,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘›,๐‘‘)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘‘)

Proof of Theorem dvdsflsumcom
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 fzfid 13885 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...๐‘›) โˆˆ Fin)
3 elfznn 13477 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5 dvdsssfz1 16207 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โŠ† (1...๐‘›))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โŠ† (1...๐‘›))
72, 6ssfid 9218 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โˆˆ Fin)
8 nnre 12167 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
98ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
104adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1110nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
12 dvdsflsumcom.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
14 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)
15 dvdsle 16199 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‘ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘‘ โ‰ค ๐‘›))
1614, 4, 15syl2anr 598 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‘ โˆฅ ๐‘› โ†’ ๐‘‘ โ‰ค ๐‘›))
1716impr 456 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘‘ โ‰ค ๐‘›)
18 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐ด)))
1912, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โ‰ค ๐ด)))
2019simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐ด)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โ‰ค ๐ด)
229, 11, 13, 17, 21letrd 11319 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†’ ๐‘‘ โ‰ค ๐ด)
2322ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โ†’ ๐‘‘ โ‰ค ๐ด))
2423pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘‘ โ‰ค ๐ด โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))))
25 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((๐‘‘ โ‰ค ๐ด โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด))
26 an32 645 . . . . . . . . 9 (((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด) โ†” ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))
2725, 26bitri 275 . . . . . . . 8 ((๐‘‘ โ‰ค ๐ด โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†” ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))
2824, 27bitrdi 287 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)))
29 fznnfl 13774 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด)))
3012, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด)))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด)))
3231anbi1d 631 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)))
3328, 32bitr4d 282 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)))
3433pm5.32da 580 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))))
35 an12 644 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)))
3634, 35bitrdi 287 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)) โ†” (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))))
37 breq1 5113 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))
3837elrab 3650 . . . . 5 (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›} โ†” (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))
3938anbi2i 624 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}) โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)))
40 breq2 5114 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))
4140elrab 3650 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ} โ†” (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›))
4241anbi2i 624 . . . 4 ((๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†” (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆฅ ๐‘›)))
4336, 39, 423bitr4g 314 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}) โ†” (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ})))
44 dvdsflsumcom.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
451, 1, 7, 43, 44fsumcom2 15666 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}๐ต = ฮฃ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ}๐ต)
46 dvdsflsumcom.1 . . . 4 (๐‘› = (๐‘‘ ยท ๐‘š) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
47 fzfid 13885 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โˆˆ Fin)
4812adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4930simprbda 500 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
50 eqid 2737 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โ†ฆ (๐‘‘ ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โ†ฆ (๐‘‘ ยท ๐‘ฆ))
5148, 49, 50dvdsflf1o 26552 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โ†ฆ (๐‘‘ ยท ๐‘ฆ)):(1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘)))โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ})
52 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘š โ†’ (๐‘‘ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘‘ ยท ๐‘š))
53 ovex 7395 . . . . . 6 (๐‘‘ ยท ๐‘š) โˆˆ V
5452, 50, 53fvmpt 6953 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โ†ฆ (๐‘‘ ยท ๐‘ฆ))โ€˜๐‘š) = (๐‘‘ ยท ๐‘š))
5554adantl 483 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘)))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘))) โ†ฆ (๐‘‘ ยท ๐‘ฆ))โ€˜๐‘š) = (๐‘‘ ยท ๐‘š))
5643biimpar 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}))
5756, 44syldan 592 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ})) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5857anassrs 469 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ}) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5946, 47, 51, 55, 58fsumf1o 15615 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ}๐ต = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘)))๐ถ)
6059sumeq2dv 15595 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘› โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆฃ ๐‘‘ โˆฅ ๐‘ฅ}๐ต = ฮฃ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘)))๐ถ)
6145, 60eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘›}๐ต = ฮฃ๐‘‘ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘‘)))๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  1c1 11059   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  26858  dchrvmasumlem1  26859  dchrvmasum2lem  26860  dchrisum0  26884  mudivsum  26894  mulogsum  26896  mulog2sumlem2  26899  vmalogdivsum2  26902  selberglem3  26911  selberg  26912  selberg34r  26935  pntsval2  26940
  Copyright terms: Public domain W3C validator