Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3fv1 30797
 Description: Function value of a 3-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm3.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm3.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm3.k (𝜑𝐾𝐷)
cycpm3.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm3.2 (𝜑𝐽𝐾)
cycpm3.3 (𝜑𝐾𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc3fv1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc3fv1
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm3.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm3.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm3.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐷)
5 cycpm3.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
63, 4, 5s3cld 14223 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7 cycpm3.1 . . . 4 (𝜑𝐼𝐽)
8 cycpm3.2 . . . 4 (𝜑𝐽𝐾)
9 cycpm3.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
103, 4, 5, 7, 8, 9s3f1 30620 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1𝐷)
11 c0ex 10620 . . . . . 6 0 ∈ V
1211prid1 4679 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
13 s3len 14245 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
1413oveq1i 7148 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
15 3m1e2 11751 . . . . . . . 8 (3 − 1) = 2
1614, 15eqtri 2847 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
1716oveq2i 7149 . . . . . 6 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
18 fzo0to2pr 13115 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
1917, 18eqtri 2847 . . . . 5 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
2012, 19eleqtrri 2915 . . . 4 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
221, 2, 6, 10, 21cycpmfv1 30773 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)))
23 s3fv0 14242 . . . 4 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
243, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
2524fveq2d 6655 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼))
26 0p1e1 11745 . . . 4 (0 + 1) = 1
2726fveq2i 6654 . . 3 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)
28 s3fv1 14243 . . . 4 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
294, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
3027, 29syl5eq 2871 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
3122, 25, 303eqtr3d 2867 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  {cpr 4550  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   − cmin 10855  2c2 11678  3c3 11679  ..^cfzo 13026  ♯chash 13684  ⟨“cs3 14193  SymGrpcsymg 18484  toCycctocyc 30766 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-substr 13992  df-pfx 14022  df-csh 14140  df-s2 14199  df-s3 14200  df-tocyc 30767 This theorem is referenced by:  cyc3co2  30800
 Copyright terms: Public domain W3C validator