Theorem cyc3fv1 33278

Description: Function value of a 3-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc3fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc3fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
6	3, 4, 5	s3cld 14882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
8		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	s3f1 33086	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
11		c0ex 11170	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
12	11	prid1 4720	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
13		s3len 14904	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
14	13	oveq1i 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
15		3m1e2 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = 2
16	14, 15	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
17	16	oveq2i 7403	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
18		fzo0to2pr 13753	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
19	17, 18	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
20	12, 19	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
22	1, 2, 6, 10, 21	cycpmfv1 33254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)))
23		s3fv0 14901	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
24	3, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
25	24	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼))
26		0p1e1 12335	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
27	26	fveq2i 6866	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)
28		s3fv1 14902	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	4, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30	27, 29	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
31	22, 25, 30	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {cpr 4583  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   − cmin 11411  2c2 12269  3c3 12270  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  ⟨“cs3 14852  SymGrpcsymg 19392  toCycctocyc 33247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-csh 14799  df-s2 14858  df-s3 14859  df-tocyc 33248

This theorem is referenced by:  cyc3co2  33281