Theorem cyc3fv1 30829

Description: Function value of a 3-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc3fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc3fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
6	3, 4, 5	s3cld 14225	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
8		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	s3f1 30649	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
11		c0ex 10624	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
12	11	prid1 4658	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
13		s3len 14247	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
14	13	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
15		3m1e2 11753	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = 2
16	14, 15	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
17	16	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
18		fzo0to2pr 13117	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
19	17, 18	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
20	12, 19	eleqtrri 2889	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
22	1, 2, 6, 10, 21	cycpmfv1 30805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)))
23		s3fv0 14244	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
24	3, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
25	24	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼))
26		0p1e1 11747	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
27	26	fveq2i 6648	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)
28		s3fv1 14245	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	4, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30	27, 29	syl5eq 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
31	22, 25, 30	3eqtr3d 2841	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {cpr 4527  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  2c2 11680  3c3 11681  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  ⟨“cs3 14195  SymGrpcsymg 18487  toCycctocyc 30798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-s2 14201  df-s3 14202  df-tocyc 30799

This theorem is referenced by:  cyc3co2  30832