Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3fv1 32836
Description: Function value of a 3-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm3.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm3.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm3.k (𝜑𝐾𝐷)
cycpm3.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm3.2 (𝜑𝐽𝐾)
cycpm3.3 (𝜑𝐾𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc3fv1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc3fv1
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm3.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm3.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm3.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐷)
5 cycpm3.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
63, 4, 5s3cld 14847 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7 cycpm3.1 . . . 4 (𝜑𝐼𝐽)
8 cycpm3.2 . . . 4 (𝜑𝐽𝐾)
9 cycpm3.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
103, 4, 5, 7, 8, 9s3f1 32652 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1𝐷)
11 c0ex 11230 . . . . . 6 0 ∈ V
1211prid1 4762 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
13 s3len 14869 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
1413oveq1i 7424 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
15 3m1e2 12362 . . . . . . . 8 (3 − 1) = 2
1614, 15eqtri 2755 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
1716oveq2i 7425 . . . . . 6 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
18 fzo0to2pr 13741 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
1917, 18eqtri 2755 . . . . 5 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
2012, 19eleqtrri 2827 . . . 4 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
221, 2, 6, 10, 21cycpmfv1 32812 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)))
23 s3fv0 14866 . . . 4 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
243, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
2524fveq2d 6895 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼))
26 0p1e1 12356 . . . 4 (0 + 1) = 1
2726fveq2i 6894 . . 3 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)
28 s3fv1 14867 . . . 4 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
294, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
3027, 29eqtrid 2779 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
3122, 25, 303eqtr3d 2775 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  {cpr 4626  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  cmin 11466  2c2 12289  3c3 12290  ..^cfzo 13651  chash 14313  ⟨“cs3 14817  SymGrpcsymg 19312  toCycctocyc 32805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763  df-s2 14823  df-s3 14824  df-tocyc 32806
This theorem is referenced by:  cyc3co2  32839
  Copyright terms: Public domain W3C validator