Theorem cyc3fv1 33774

Description: Function value of a 3-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc3fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc3fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
6	3, 4, 5	s3cld 15054	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
8		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	s3f1 33584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩⟶1-1𝐷)
11		0elpr01 11331	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
12		s3len 15077	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
13	12	oveq1i 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
14		3m1e2 12500	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = 2
15	13, 14	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
16	15	oveq2i 7457	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
17		fzo0to2pr 13915	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
18	16, 17	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
19	11, 18	eleqtrri 2863	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
21	1, 2, 6, 10, 20	cycpmfv1 33750	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)))
22		s3fv0 15074	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
23	3, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
24	23	fveq2d 6915	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼))
25		0p1e1 12493	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	fveq2i 6914	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)
27		s3fv1 15075	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
28	4, 27	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	26, 28	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
30	21, 24, 29	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {cpr 4590  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   − cmin 11571  2c2 12427  3c3 12428  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  ⟨“cs3 15024  SymGrpcsymg 19616  toCycctocyc 33743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-csh 14971  df-s2 15030  df-s3 15031  df-tocyc 33744

This theorem is used by:  cyc3co2  33777