Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3fv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3fv2 30837
 Description: Function value of a 3-cycle at the second point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm3.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm3.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm3.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm3.k (𝜑𝐾𝐷)
cycpm3.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm3.2 (𝜑𝐽𝐾)
cycpm3.3 (𝜑𝐾𝐼)
Assertion
Ref Expression
cyc3fv2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐽) = 𝐾)

Proof of Theorem cyc3fv2
StepHypRef Expression
1 cycpm3.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm3.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm3.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm3.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐷)
5 cycpm3.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
63, 4, 5s3cld 14227 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7 cycpm3.1 . . . 4 (𝜑𝐼𝐽)
8 cycpm3.2 . . . 4 (𝜑𝐽𝐾)
9 cycpm3.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
103, 4, 5, 7, 8, 9s3f1 30656 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1𝐷)
11 1ex 10628 . . . . . 6 1 ∈ V
1211prid2 4659 . . . . 5 1 ∈ {0, 1}
13 s3len 14249 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
1413oveq1i 7145 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
15 3m1e2 11755 . . . . . . . 8 (3 − 1) = 2
1614, 15eqtri 2821 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
1716oveq2i 7146 . . . . . 6 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
18 fzo0to2pr 13119 . . . . . 6 (0..^2) = {0, 1}
1917, 18eqtri 2821 . . . . 5 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
2012, 19eleqtrri 2889 . . . 4 1 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
221, 2, 6, 10, 21cycpmfv1 30812 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(1 + 1)))
23 s3fv1 14247 . . . 4 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
244, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
2524fveq2d 6649 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐽))
26 1p1e2 11752 . . . 4 (1 + 1) = 2
2726fveq2i 6648 . . 3 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(1 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)
28 s3fv2 14248 . . . 4 (𝐾𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
295, 28syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
3027, 29syl5eq 2845 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(1 + 1)) = 𝐾)
3122, 25, 303eqtr3d 2841 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐽) = 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {cpr 4527  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   − cmin 10861  2c2 11682  3c3 11683  ..^cfzo 13030  ♯chash 13688  ⟨“cs3 14197  SymGrpcsymg 18490  toCycctocyc 30805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-hash 13689  df-word 13860  df-concat 13916  df-s1 13943  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-csh 14144  df-s2 14203  df-s3 14204  df-tocyc 30806 This theorem is referenced by:  cyc3co2  30839
 Copyright terms: Public domain W3C validator