Theorem cyc3fv2 33278

Description: Function value of a 3-cycle at the second point. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm3.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm3.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpm3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
cycpm3.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm3.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
cycpm3.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
cyc3fv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐽) = 𝐾)

Proof of Theorem cyc3fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm3.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm3.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cycpm3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
6	3, 4, 5	s3cld 14878	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
7		cycpm3.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
8		cycpm3.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9		cycpm3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼)
10	3, 4, 5, 7, 8, 9	s3f1 33085	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩–1-1→𝐷)
11		1ex 11169	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12	11	prid2 4719	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
13		s3len 14900	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
14	13	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = (3 − 1)
15		3m1e2 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 1) = 2
16	14, 15	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1) = 2
17	16	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = (0..^2)
18		fzo0to2pr 13749	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
19	17, 18	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)) = {0, 1}
20	12, 19	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) − 1)))
22	1, 2, 6, 10, 21	cycpmfv1 33253	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(1 + 1)))
23		s3fv1 14898	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
24	4, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
25	24	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐽))
26		1p1e2 12334	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
27	26	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(1 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)
28		s3fv2 14899	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
29	5, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
30	27, 29	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘(1 + 1)) = 𝐾)
31	22, 25, 30	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)‘𝐽) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {cpr 4581  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   − cmin 11407  2c2 12265  3c3 12266  ..^cfzo 13652  ♯chash 14336  ⟨“cs3 14848  SymGrpcsymg 19399  toCycctocyc 33246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-s1 14603  df-substr 14648  df-pfx 14678  df-csh 14795  df-s2 14854  df-s3 14855  df-tocyc 33247

This theorem is referenced by:  cyc3co2  33280