Theorem mulgrhm2 20700

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 20676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rhmf 19970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
4	3	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
5	4	feqmptd 6837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)))
6		rhmghm 19969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
7	6	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
8		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		1zzd 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
10		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.g‘𝑅)
12	1, 10, 11	ghmmulg 18846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
14		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		cnfldmulg 20630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
16	14, 15	mpan2 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
17		1z 12350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
19		zringmulg 20678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
21	17, 20	mpan2 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
22		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
26	25	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑓‘𝑛))
27		zring1 20681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
29	27, 28	rhm1 19974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑓‘1) = 1 )
30	29	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘1) = 1 )
31	30	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · (𝑓‘1)) = (𝑛 · 1 ))
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑛 · 1 ))
33	32	mpteq2dva 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
34	5, 33	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
36	34, 35	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = 𝐹)
37		velsn 4577	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ {𝐹} ↔ 𝑓 = 𝐹)
38	36, 37	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ {𝐹})
39	38	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ {𝐹}))
40	39	ssrdv 3927	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) ⊆ {𝐹})
41	11, 35, 28	mulgrhm 20699	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
42	41	snssd 4742	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝐹} ⊆ (ℤring RingHom 𝑅))
43	40, 42	eqssd 3938	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   · cmul 10876  ℤcz 12319  Basecbs 16912  ._gcmg 18700   GrpHom cghm 18831  1_rcur 19737  Ringcrg 19783   RingHom crh 19956  ℂ_fldccnfld 20597  ℤ_ringczring 20670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-cnfld 20598  df-zring 20671

This theorem is referenced by:  zrhval2  20710  zrhrhmb  20712  irinitoringc  45627