MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgrhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgrhm2 21054
Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from โ„ค to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgghm2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgghm2.f ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
mulgrhm.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgrhm2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โ„คring RingHom ๐‘…) = {๐น})
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘›   ยท ,๐‘›   1 ,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem mulgrhm2
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21029 . . . . . . . . . 10 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
2 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
31, 2rhmf 20267 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…) โ†’ ๐‘“:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
43adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โ†’ ๐‘“:โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
54feqmptd 6960 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โ†’ ๐‘“ = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘“โ€˜๐‘›)))
6 rhmghm 20266 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
76ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…))
8 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
9 1zzd 12595 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.gโ€˜โ„คring) = (.gโ€˜โ„คring)
11 mulgghm2.m . . . . . . . . . . 11 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
121, 10, 11ghmmulg 19106 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ โˆˆ (โ„คring GrpHom ๐‘…) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1)) = (๐‘› ยท (๐‘“โ€˜1)))
137, 8, 9, 12syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1)) = (๐‘› ยท (๐‘“โ€˜1)))
14 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
15 cnfldmulg 20983 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„‚fld)1) = (๐‘› ยท 1))
1614, 15mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„‚fld)1) = (๐‘› ยท 1))
17 1z 12594 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„ค
1816adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„‚fld)1) = (๐‘› ยท 1))
19 zringmulg 21032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1) = (๐‘› ยท 1))
2018, 19eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„‚fld)1) = (๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1))
2117, 20mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„‚fld)1) = (๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1))
22 zcn 12565 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2322mulridd 11233 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 1) = ๐‘›)
2416, 21, 233eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1) = ๐‘›)
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1) = ๐‘›)
2625fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘›(.gโ€˜โ„คring)1)) = (๐‘“โ€˜๐‘›))
27 zring1 21035 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1rโ€˜โ„คring)
28 mulgrhm.1 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1rโ€˜๐‘…)
2927, 28rhm1 20271 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…) โ†’ (๐‘“โ€˜1) = 1 )
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘“โ€˜1) = 1 )
3130oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘“โ€˜1)) = (๐‘› ยท 1 ))
3213, 26, 313eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘› ยท 1 ))
3332mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘“โ€˜๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 )))
345, 33eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โ†’ ๐‘“ = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 )))
35 mulgghm2.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท 1 ))
3634, 35eqtr4di 2790 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โ†’ ๐‘“ = ๐น)
37 velsn 4644 . . . . 5 (๐‘“ โˆˆ {๐น} โ†” ๐‘“ = ๐น)
3836, 37sylibr 233 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ {๐น})
3938ex 413 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘“ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…) โ†’ ๐‘“ โˆˆ {๐น}))
4039ssrdv 3988 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โ„คring RingHom ๐‘…) โŠ† {๐น})
4111, 35, 28mulgrhm 21053 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐น โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
4241snssd 4812 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ {๐น} โŠ† (โ„คring RingHom ๐‘…))
4340, 42eqssd 3999 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โ„คring RingHom ๐‘…) = {๐น})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„คcz 12560  Basecbs 17146  .gcmg 18952   GrpHom cghm 19091  1rcur 20006  Ringcrg 20058   RingHom crh 20252  โ„‚fldccnfld 20950  โ„คringczring 21023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-cnfld 20951  df-zring 21024
This theorem is referenced by:  zrhval2  21064  zrhrhmb  21066  irinitoringc  47046
  Copyright terms: Public domain W3C validator