Theorem mulgrhm2 20169

Description: The powers of the element 1 give the unique ring homomorphism from ℤ to a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgghm2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgghm2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
mulgrhm.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgrhm2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑛   · ,𝑛   1 ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem mulgrhm2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 20146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rhmf 19044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
4	3	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓:ℤ⟶(Base‘𝑅))
5	4	feqmptd 6474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)))
6		rhmghm 19043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
7	6	ad2antlr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
8		simpr 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9		1zzd 11698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
10		eqid 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
11		mulgghm2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.g‘𝑅)
12	1, 10, 11	ghmmulg 17985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
13	7, 8, 9, 12	syl3anc 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑛 · (𝑓‘1)))
14		ax-1cn 10282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		cnfldmulg 20100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
16	14, 15	mpan2 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
17		1z 11697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛 · 1))
19		zringmulg 20148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = (𝑛 · 1))
20	18, 19	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
21	17, 20	mpan2 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℂfld)1) = (𝑛(.g‘ℤring)1))
22		zcn 11671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	mulid1d 10346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
24	16, 21, 23	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
25	24	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛(.g‘ℤring)1) = 𝑛)
26	25	fveq2d 6415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘(𝑛(.g‘ℤring)1)) = (𝑓‘𝑛))
27		zring1 20151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
28		mulgrhm.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
29	27, 28	rhm1 19048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (𝑓‘1) = 1 )
30	29	ad2antlr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘1) = 1 )
31	30	oveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · (𝑓‘1)) = (𝑛 · 1 ))
32	13, 26, 31	3eqtr3d 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑓‘𝑛) = (𝑛 · 1 ))
33	32	mpteq2dva 4937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑓‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
34	5, 33	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
35		mulgghm2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
36	34, 35	syl6eqr 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 = 𝐹)
37		velsn 4384	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ {𝐹} ↔ 𝑓 = 𝐹)
38	36, 37	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅)) → 𝑓 ∈ {𝐹})
39	38	ex 402	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑓 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑓 ∈ {𝐹}))
40	39	ssrdv 3804	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) ⊆ {𝐹})
41	11, 35, 28	mulgrhm 20168	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐹 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
42	41	snssd 4528	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {𝐹} ⊆ (ℤring RingHom 𝑅))
43	40, 42	eqssd 3815	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {csn 4368   ↦ cmpt 4922  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  1c1 10225   · cmul 10229  ℤcz 11666  Basecbs 16184  ._gcmg 17856   GrpHom cghm 17970  1_rcur 18817  Ringcrg 18863   RingHom crh 19030  ℂ_fldccnfld 20068  ℤ_ringzring 20140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-cnfld 20069  df-zring 20141

This theorem is referenced by:  zrhval2  20179  zrhrhmb  20181  irinitoringc  42868