MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashrabrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashrabrex 14892
Description: The number of elements in a class abstraction with a restricted existential quantification. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
hashrabrex.1 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
hashrabrex.2 ((𝜑𝑦𝑌) → {𝑥𝑋𝜓} ∈ Fin)
hashrabrex.3 (𝜑Disj 𝑦𝑌 {𝑥𝑋𝜓})
Assertion
Ref Expression
hashrabrex (𝜑 → (♯‘{𝑥𝑋 ∣ ∃𝑦𝑌 𝜓}) = Σ𝑦𝑌 (♯‘{𝑥𝑋𝜓}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hashrabrex
StepHypRef Expression
1 iunrab 4756 . . . 4 𝑦𝑌 {𝑥𝑋𝜓} = {𝑥𝑋 ∣ ∃𝑦𝑌 𝜓}
21eqcomi 2807 . . 3 {𝑥𝑋 ∣ ∃𝑦𝑌 𝜓} = 𝑦𝑌 {𝑥𝑋𝜓}
32fveq2i 6413 . 2 (♯‘{𝑥𝑋 ∣ ∃𝑦𝑌 𝜓}) = (♯‘ 𝑦𝑌 {𝑥𝑋𝜓})
4 hashrabrex.1 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
5 hashrabrex.2 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → {𝑥𝑋𝜓} ∈ Fin)
6 hashrabrex.3 . . 3 (𝜑Disj 𝑦𝑌 {𝑥𝑋𝜓})
74, 5, 6hashiun 14889 . 2 (𝜑 → (♯‘ 𝑦𝑌 {𝑥𝑋𝜓}) = Σ𝑦𝑌 (♯‘{𝑥𝑋𝜓}))
83, 7syl5eq 2844 1 (𝜑 → (♯‘{𝑥𝑋 ∣ ∃𝑦𝑌 𝜓}) = Σ𝑦𝑌 (♯‘{𝑥𝑋𝜓}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3089  {crab 3092   ciun 4709  Disj wdisj 4810  cfv 6100  Fincfn 8194  chash 13367  Σcsu 14754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-disj 4811  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-sup 8589  df-oi 8656  df-card 9050  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-rp 12072  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-seq 13053  df-exp 13112  df-hash 13368  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-sum 14755
This theorem is referenced by:  hashwwlksnext  27193  hashwwlksnextOLD  27194
  Copyright terms: Public domain W3C validator