HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssnm 28818
Description: The norm operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhss.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
Assertion
Ref Expression
hhssnm (norm𝐻) = (normCV𝑊)

Proof of Theorem hhssnm
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
21nmcvfval 28164 . 2 (normCV𝑊) = (2nd𝑊)
3 hhss.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
43fveq2i 6504 . 2 (2nd𝑊) = (2nd ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
5 opex 5214 . . 3 ⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6 normf 28682 . . . . 5 norm: ℋ⟶ℝ
7 ax-hilex 28558 . . . . 5 ℋ ∈ V
8 fex 6817 . . . . 5 ((norm: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → norm ∈ V)
96, 7, 8mp2an 679 . . . 4 norm ∈ V
109resex 5746 . . 3 (norm𝐻) ∈ V
115, 10op2nd 7512 . 2 (2nd ‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩) = (norm𝐻)
122, 4, 113eqtrri 2807 1 (norm𝐻) = (normCV𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  cop 4448   × cxp 5406  cres 5410  wf 6186  cfv 6190  2nd c2nd 7502  cc 10335  cr 10336  normCVcnmcv 28147  chba 28478   + cva 28479   · csm 28480  normcno 28482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-hilex 28558  ax-hv0cl 28562  ax-hvmul0 28569  ax-hfi 28638  ax-his1 28641  ax-his3 28643  ax-his4 28644
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-nmcv 28157  df-hnorm 28527
This theorem is referenced by:  hhsst  28825  hhsssh2  28829  hhssims  28834  hhssmetdval  28837
  Copyright terms: Public domain W3C validator