Theorem hhssnm 29753

Description: The norm operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩

Assertion

Ref	Expression
hhssnm	⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)

Proof of Theorem hhssnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
2	1	nmcvfval 29101	. 2 ⊢ (normCV‘𝑊) = (2nd ‘𝑊)
3		hhss.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
4	3	fveq2i 6814	. 2 ⊢ (2nd ‘𝑊) = (2nd ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
5		opex 5397	. . 3 ⊢ ⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩ ∈ V
6		normf 29617	. . . . 5 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
7		ax-hilex 29493	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ V
8		fex 7141	. . . . 5 ⊢ ((normℎ: ℋ⟶ℝ ∧ ℋ ∈ V) → normℎ ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 689	. . . 4 ⊢ normℎ ∈ V
10	9	resex 5958	. . 3 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) ∈ V
11	5, 10	op2nd 7886	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩) = (normℎ ↾ 𝐻)
12	2, 4, 11	3eqtrri 2769	1 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3440  ⟨cop 4576   × cxp 5605   ↾ cres 5609  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  2^nd c2nd 7876  ℂcc 10948  ℝcr 10949  norm_CVcnmcv 29084   ℋchba 29413   +_ℎ cva 29414   ·_ℎ csm 29415  norm_ℎcno 29417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-hilex 29493  ax-hv0cl 29497  ax-hvmul0 29504  ax-hfi 29573  ax-his1 29576  ax-his3 29578  ax-his4 29579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-nmcv 29094  df-hnorm 29462

This theorem is referenced by:  hhsst  29760  hhsssh2  29764  hhssims  29768  hhssmetdval  29771