Theorem hhssims 31332

Description: Induced metric of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
hhssims.3	⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hhssims	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)

Proof of Theorem hhssims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims.3	. 2 ⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
2		hhsssh2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3		hhssims.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	2, 3	hhssnv 31322	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
5	2, 3	hhssvs 31330	. . . . 5 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)
6	2	hhssnm 31317	. . . . 5 ⊢ (normℎ ↾ 𝐻) = (normCV‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
8	5, 6, 7	imsval 30743	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑊) = ((normℎ ↾ 𝐻) ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))))
9	4, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (IndMet‘𝑊) = ((normℎ ↾ 𝐻) ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)))
10		resco 6209	. . . 4 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (normℎ ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)))
11	2, 3	hhssvsf 31331	. . . . . 6 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
12		frn 6670	. . . . . 6 ⊢ (( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 → ran ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻
14		cores 6208	. . . . 5 ⊢ (ran ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 → ((normℎ ↾ 𝐻) ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))) = (normℎ ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((normℎ ↾ 𝐻) ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))) = (normℎ ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)))
16	10, 15	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ((normℎ ↾ 𝐻) ∘ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)))
17	9, 16	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (IndMet‘𝑊) = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
18	1, 17	eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4587   × cxp 5623  ran crn 5626   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ℂcc 11028  NrmCVeccnv 30642  IndMetcims 30649   +_ℎ cva 30978   ·_ℎ csm 30979  norm_ℎcno 30981   −_ℎ cmv 30983   S_ℋ csh 30986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110  ax-hilex 31057  ax-hfvadd 31058  ax-hvcom 31059  ax-hvass 31060  ax-hv0cl 31061  ax-hvaddid 31062  ax-hfvmul 31063  ax-hvmulid 31064  ax-hvmulass 31065  ax-hvdistr1 31066  ax-hvdistr2 31067  ax-hvmul0 31068  ax-hfi 31137  ax-his1 31140  ax-his2 31141  ax-his3 31142  ax-his4 31143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-icc 13272  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-topgen 17367  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22842  df-topon 22859  df-bases 22894  df-lm 23177  df-haus 23263  df-grpo 30551  df-gid 30552  df-ginv 30553  df-gdiv 30554  df-ablo 30603  df-vc 30617  df-nv 30650  df-va 30653  df-ba 30654  df-sm 30655  df-0v 30656  df-vs 30657  df-nmcv 30658  df-ims 30659  df-ssp 30780  df-hnorm 31026  df-hba 31027  df-hvsub 31029  df-hlim 31030  df-sh 31265  df-ch 31279  df-ch0 31311

This theorem is referenced by:  hhssims2  31333