MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcompl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcompl 30673
Description: Completeness of a Hilbert space. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlcompl.1 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
hlcompl.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
hlcompl ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))

Proof of Theorem hlcompl
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 hlcompl.1 . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
31, 2hlcmet 30652 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
4 hlcompl.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54cmetcau 25168 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
63, 5sylan 579 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  MetOpencmopn 21226  β‡π‘‘clm 23081  Cauccau 25132  CMetccmet 25133  BaseSetcba 30344  IndMetcims 30349  CHilOLDchlo 30643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-ntr 22875  df-nei 22953  df-lm 23084  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-cfil 25134  df-cau 25135  df-cmet 25136  df-cbn 30621  df-hlo 30644
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  30756
  Copyright terms: Public domain W3C validator