MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcompl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcompl 29899
Description: Completeness of a Hilbert space. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlcompl.1 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
hlcompl.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
hlcompl ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))

Proof of Theorem hlcompl
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 hlcompl.1 . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
31, 2hlcmet 29878 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
4 hlcompl.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54cmetcau 24669 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
63, 5sylan 581 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  MetOpencmopn 20802  β‡π‘‘clm 22593  Cauccau 24633  CMetccmet 24634  BaseSetcba 29570  IndMetcims 29575  CHilOLDchlo 29869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13276  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-lm 22596  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-cbn 29847  df-hlo 29870
This theorem is referenced by:  axhcompl-zf  29982
  Copyright terms: Public domain W3C validator