Theorem axhcompl-zf 31030

Description: Derive Axiom ax-hcompl 31234 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhcompl-zf	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈

Proof of Theorem axhcompl-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)))
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
4		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
5	3, 4	hlcompl 30947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
6	1, 2, 5	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
7		eldm2g 5924	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
9	6, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
10		df-br 5167	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 ↔ ⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
11	1	hlnvi 30924	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
12		df-hba 31001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
13		axhil.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
14	13	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
15	12, 14	eqtr4i 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
16	15, 3	imsxmet 30724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ))
17	4	mopntopon 24470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
19		lmcl 23326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
20	18, 19	mpan 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ))
22	13, 11, 15, 3, 4	h2hlm 31012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
23	22	breqi 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
24		brres 6016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥)))
25	24	elv 3493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
26	23, 25	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
27	26	baib 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
29	28	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
30	21, 29	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
31	10, 30	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
32	31	eximdv 1916	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
33	9, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
34		elin 3992	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
35		df-rex 3077	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
36	33, 34, 35	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
37	13, 11, 15, 3	h2hcau 31011	. 2 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
38	36, 37	eleq2s 2862	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℕcn 12293  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  TopOnctopon 22937  ⇝_𝑡clm 23255  Cauccau 25306  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618  IndMetcims 30623  CHil_OLDchlo 30917   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  norm_ℎcno 30955  Cauchyccauold 30958   ⇝_𝑣 chli 30959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-lm 23258  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-cfil 25308  df-cau 25309  df-cmet 25310  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-cbn 30895  df-hlo 30918  df-hba 31001  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-hcau 31005

This theorem is referenced by: (None)