Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhcompl-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhcompl-zf 28791
 Description: Derive axiom ax-hcompl 28995 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
axhil.2 𝑈 ∈ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhcompl-zf (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈

Proof of Theorem axhcompl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . . . . . 6 𝑈 ∈ CHilOLD
2 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)))
3 eqid 2798 . . . . . . 7 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
4 eqid 2798 . . . . . . 7 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
53, 4hlcompl 28708 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
61, 2, 5sylancr 590 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
7 eldm2g 5733 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
87adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
96, 8mpbid 235 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
10 df-br 5032 . . . . . 6 (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 ↔ ⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
111hlnvi 28685 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
12 df-hba 28762 . . . . . . . . . . . 12 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
13 axhil.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1413fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . 12 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1512, 14eqtr4i 2824 . . . . . . . . . . 11 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
1615, 3imsxmet 28485 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ))
174mopntopon 23056 . . . . . . . . . 10 ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
1811, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
19 lmcl 21912 . . . . . . . . 9 (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
2018, 19mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥𝑥 ∈ ℋ)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥𝑥 ∈ ℋ))
2213, 11, 15, 3, 4h2hlm 28773 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
2322breqi 5037 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑣 𝑥𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
24 brres 5826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥)))
2524elv 3446 . . . . . . . . . . 11 (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2623, 25bitri 278 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2726baib 539 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝐹𝑣 𝑥𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2827adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹𝑣 𝑥𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2928biimprd 251 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥𝐹𝑣 𝑥))
3021, 29jcad 516 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥)))
3110, 30syl5bir 246 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥)))
3231eximdv 1918 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥)))
339, 32mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥))
34 elin 3897 . . 3 (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
35 df-rex 3112 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥))
3633, 34, 353imtr4i 295 . 2 (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
3713, 11, 15, 3h2hcau 28772 . 2 Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
3836, 37eleq2s 2908 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ⟨cop 4531   class class class wbr 5031  dom cdm 5520   ↾ cres 5522  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  ℕcn 11628  ∞Metcxmet 20080  MetOpencmopn 20085  TopOnctopon 21525  ⇝𝑡clm 21841  Cauccau 23867  NrmCVeccnv 28377  BaseSetcba 28379  IndMetcims 28384  CHilOLDchlo 28678   ℋchba 28712   +ℎ cva 28713   ·ℎ csm 28714  normℎcno 28716  Cauchyccauold 28719   ⇝𝑣 chli 28720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ico 12735  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-top 21509  df-topon 21526  df-bases 21561  df-ntr 21635  df-nei 21713  df-lm 21844  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-cfil 23869  df-cau 23870  df-cmet 23871  df-grpo 28286  df-gid 28287  df-ginv 28288  df-gdiv 28289  df-ablo 28338  df-vc 28352  df-nv 28385  df-va 28388  df-ba 28389  df-sm 28390  df-0v 28391  df-vs 28392  df-nmcv 28393  df-ims 28394  df-cbn 28656  df-hlo 28679  df-hba 28762  df-hvsub 28764  df-hlim 28765  df-hcau 28766 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator