Theorem axhcompl-zf 30973

Description: Derive Axiom ax-hcompl 31177 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhcompl-zf	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈

Proof of Theorem axhcompl-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)))
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
5	3, 4	hlcompl 30890	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
6	1, 2, 5	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
7		eldm2g 5908	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
8	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
9	6, 8	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
10		df-br 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 ↔ ⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
11	1	hlnvi 30867	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
12		df-hba 30944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
13		axhil.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
14	13	fveq2i 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
15	12, 14	eqtr4i 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
16	15, 3	imsxmet 30667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ))
17	4	mopntopon 24436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
19		lmcl 23292	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
20	18, 19	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ))
22	13, 11, 15, 3, 4	h2hlm 30955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
23	22	breqi 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
24		brres 5999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥)))
25	24	elv 3478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
26	23, 25	bitri 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
27	26	baib 534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
28	27	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
29	28	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
30	21, 29	jcad 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
31	10, 30	biimtrrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
32	31	eximdv 1913	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
33	9, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
34		elin 3974	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
35		df-rex 3064	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
36	33, 34, 35	3imtr4i 291	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
37	13, 11, 15, 3	h2hcau 30954	. 2 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
38	36, 37	eleq2s 2847	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2100  ∃wrex 3063  Vcvv 3472   ∩ cin 3957  ⟨cop 4640   class class class wbr 5154  dom cdm 5684   ↾ cres 5686  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8859  ℕcn 12268  ∞Metcxmet 21340  MetOpencmopn 21345  TopOnctopon 22903  ⇝_𝑡clm 23221  Cauccau 25272  NrmCVeccnv 30559  BaseSetcba 30561  IndMetcims 30566  CHil_OLDchlo 30860   ℋchba 30894   +_ℎ cva 30895   ·_ℎ csm 30896  norm_ℎcno 30898  Cauchyccauold 30901   ⇝_𝑣 chli 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237  ax-addf 11238  ax-mulf 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9486  df-inf 9487  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-div 11923  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12529  df-z 12615  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13150  df-xadd 13151  df-xmul 13152  df-ico 13388  df-seq 14027  df-exp 14087  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-rest 17450  df-topgen 17471  df-psmet 21347  df-xmet 21348  df-met 21349  df-bl 21350  df-mopn 21351  df-fbas 21352  df-fg 21353  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-ntr 23015  df-nei 23093  df-lm 23224  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-cfil 25274  df-cau 25275  df-cmet 25276  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ginv 30470  df-gdiv 30471  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-vs 30574  df-nmcv 30575  df-ims 30576  df-cbn 30838  df-hlo 30861  df-hba 30944  df-hvsub 30946  df-hlim 30947  df-hcau 30948

This theorem is referenced by: (None)