Theorem axhcompl-zf 31027

Description: Derive Axiom ax-hcompl 31231 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhcompl-zf	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈

Proof of Theorem axhcompl-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)))
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
5	3, 4	hlcompl 30944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
6	1, 2, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
7		eldm2g 5913	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
9	6, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
10		df-br 5149	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 ↔ ⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
11	1	hlnvi 30921	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
12		df-hba 30998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
13		axhil.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
14	13	fveq2i 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
15	12, 14	eqtr4i 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
16	15, 3	imsxmet 30721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ))
17	4	mopntopon 24465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
19		lmcl 23321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
20	18, 19	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ))
22	13, 11, 15, 3, 4	h2hlm 31009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
23	22	breqi 5154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
24		brres 6007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥)))
25	24	elv 3483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
26	23, 25	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
27	26	baib 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
29	28	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
30	21, 29	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
31	10, 30	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
32	31	eximdv 1915	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
33	9, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
34		elin 3979	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
35		df-rex 3069	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
36	33, 34, 35	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
37	13, 11, 15, 3	h2hcau 31008	. 2 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
38	36, 37	eleq2s 2857	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℕcn 12264  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  TopOnctopon 22932  ⇝_𝑡clm 23250  Cauccau 25301  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  IndMetcims 30620  CHil_OLDchlo 30914   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950  norm_ℎcno 30952  Cauchyccauold 30955   ⇝_𝑣 chli 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-lm 23253  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-cbn 30892  df-hlo 30915  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002

This theorem is referenced by: (None)