Theorem axhcompl-zf 31612

Description: Derive Axiom ax-hcompl 31816 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhcompl-zf	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈

Proof of Theorem axhcompl-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
5	3, 4	hlcompl 31529	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
6	1, 2, 5	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
7		eldm2g 5885	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
9	6, 8	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
10		df-br 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 ↔ ⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
11	1	hlnvi 31506	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
12		df-hba 31583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
13		axhil.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
14	13	fveq2i 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
15	12, 14	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
16	15, 3	imsxmet 31306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ))
17	4	mopntopon 24770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
19		lmcl 23627	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
20	18, 19	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝑥 ∈ ℋ))
22	13, 11, 15, 3, 4	h2hlm 31594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
23	22	breqi 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
24		brres 5981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥)))
25	24	elv 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
26	23, 25	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
27	26	baib 545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
28	27	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
29	28	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
30	21, 29	jcad 522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
31	10, 30	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
32	31	eximdv 1951	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃𝑥⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)))
33	9, 32	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
34		elin 4095	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
35		df-rex 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥))
36	33, 34, 35	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)
37	13, 11, 15, 3	h2hcau 31593	. 2 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
38	36, 37	eleq2s 2881	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089  Vcvv 3453   ∩ cin 4091  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  ℕcn 12345  ∞Metcxmet 21675  MetOpencmopn 21680  TopOnctopon 23240  ⇝_𝑡clm 23556  Cauccau 25586  NrmCVeccnv 31198  BaseSetcba 31200  IndMetcims 31205  CHil_OLDchlo 31499   ℋchba 31533   +_ℎ cva 31534   ·_ℎ csm 31535  norm_ℎcno 31537  Cauchyccauold 31540   ⇝_𝑣 chli 31541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ico 13492  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-ntr 23350  df-nei 23428  df-lm 23559  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-cfil 25588  df-cau 25589  df-cmet 25590  df-grpo 31107  df-gid 31108  df-ginv 31109  df-gdiv 31110  df-ablo 31159  df-vc 31173  df-nv 31206  df-va 31209  df-ba 31210  df-sm 31211  df-0v 31212  df-vs 31213  df-nmcv 31214  df-ims 31215  df-cbn 31477  df-hlo 31500  df-hba 31583  df-hvsub 31585  df-hlim 31586  df-hcau 31587

This theorem is used by: (None)