HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhcompl-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhcompl-zf 30850
Description: Derive Axiom ax-hcompl 31054 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 ๐‘ˆ = โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ
axhil.2 ๐‘ˆ โˆˆ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhcompl-zf (๐น โˆˆ Cauchy โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘ˆ

Proof of Theorem axhcompl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . . . . . 6 ๐‘ˆ โˆˆ CHilOLD
2 simpl 481 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ ๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (IndMetโ€˜๐‘ˆ) = (IndMetโ€˜๐‘ˆ)
4 eqid 2725 . . . . . . 7 (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) = (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))
53, 4hlcompl 30767 . . . . . 6 ((๐‘ˆ โˆˆ CHilOLD โˆง ๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†’ ๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
61, 2, 5sylancr 585 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ ๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
7 eldm2g 5896 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†” โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))))
87adantr 479 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†” โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))))
96, 8mpbid 231 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
10 df-br 5144 . . . . . 6 (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†” โŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
111hlnvi 30744 . . . . . . . . . 10 ๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec
12 df-hba 30821 . . . . . . . . . . . 12 โ„‹ = (BaseSetโ€˜โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ)
13 axhil.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ˆ = โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ
1413fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 (BaseSetโ€˜๐‘ˆ) = (BaseSetโ€˜โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ)
1512, 14eqtr4i 2756 . . . . . . . . . . 11 โ„‹ = (BaseSetโ€˜๐‘ˆ)
1615, 3imsxmet 30544 . . . . . . . . . 10 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (IndMetโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜ โ„‹))
174mopntopon 24361 . . . . . . . . . 10 ((IndMetโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜ โ„‹) โ†’ (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆˆ (TopOnโ€˜ โ„‹))
1811, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . 9 (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆˆ (TopOnโ€˜ โ„‹)
19 lmcl 23217 . . . . . . . . 9 (((MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆˆ (TopOnโ€˜ โ„‹) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
2018, 19mpan 688 . . . . . . . 8 (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹))
2213, 11, 15, 3, 4h2hlm 30832 . . . . . . . . . . . 12 โ‡๐‘ฃ = ((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))
2322breqi 5149 . . . . . . . . . . 11 (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” ๐น((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))๐‘ฅ)
24 brres 5986 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†’ (๐น((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))๐‘ฅ โ†” (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ)))
2524elv 3469 . . . . . . . . . . 11 (๐น((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))๐‘ฅ โ†” (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2623, 25bitri 274 . . . . . . . . . 10 (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2726baib 534 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โ†’ (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2827adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2928biimprd 247 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ))
3021, 29jcad 511 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)))
3110, 30biimtrrid 242 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (โŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)))
3231eximdv 1912 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)))
339, 32mpd 15 . . 3 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ))
34 elin 3956 . . 3 (๐น โˆˆ ((Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆฉ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†” (๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)))
35 df-rex 3061 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ))
3633, 34, 353imtr4i 291 . 2 (๐น โˆˆ ((Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆฉ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
3713, 11, 15, 3h2hcau 30831 . 2 Cauchy = ((Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆฉ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))
3836, 37eleq2s 2843 1 (๐น โˆˆ Cauchy โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   โˆฉ cin 3939  โŸจcop 4630   class class class wbr 5143  dom cdm 5672   โ†พ cres 5674  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โ†‘m cmap 8841  โ„•cn 12240  โˆžMetcxmet 21266  MetOpencmopn 21271  TopOnctopon 22828  โ‡๐‘กclm 23146  Cauccau 25197  NrmCVeccnv 30436  BaseSetcba 30438  IndMetcims 30443  CHilOLDchlo 30737   โ„‹chba 30771   +โ„Ž cva 30772   ยทโ„Ž csm 30773  normโ„Žcno 30775  Cauchyccauold 30778   โ‡๐‘ฃ chli 30779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ico 13360  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-ntr 22940  df-nei 23018  df-lm 23149  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-cbn 30715  df-hlo 30738  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator