HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhcompl-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhcompl-zf 29989
Description: Derive Axiom ax-hcompl 30193 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 ๐‘ˆ = โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ
axhil.2 ๐‘ˆ โˆˆ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhcompl-zf (๐น โˆˆ Cauchy โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘ˆ

Proof of Theorem axhcompl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . . . . . 6 ๐‘ˆ โˆˆ CHilOLD
2 simpl 484 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ ๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (IndMetโ€˜๐‘ˆ) = (IndMetโ€˜๐‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) = (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))
53, 4hlcompl 29906 . . . . . 6 ((๐‘ˆ โˆˆ CHilOLD โˆง ๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†’ ๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
61, 2, 5sylancr 588 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ ๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
7 eldm2g 5859 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†” โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))))
87adantr 482 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น โˆˆ dom (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†” โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))))
96, 8mpbid 231 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
10 df-br 5110 . . . . . 6 (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†” โŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))))
111hlnvi 29883 . . . . . . . . . 10 ๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec
12 df-hba 29960 . . . . . . . . . . . 12 โ„‹ = (BaseSetโ€˜โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ)
13 axhil.1 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ˆ = โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ
1413fveq2i 6849 . . . . . . . . . . . 12 (BaseSetโ€˜๐‘ˆ) = (BaseSetโ€˜โŸจโŸจ +โ„Ž , ยทโ„Ž โŸฉ, normโ„ŽโŸฉ)
1512, 14eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . 11 โ„‹ = (BaseSetโ€˜๐‘ˆ)
1615, 3imsxmet 29683 . . . . . . . . . 10 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (IndMetโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜ โ„‹))
174mopntopon 23815 . . . . . . . . . 10 ((IndMetโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ (โˆžMetโ€˜ โ„‹) โ†’ (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆˆ (TopOnโ€˜ โ„‹))
1811, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . 9 (MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆˆ (TopOnโ€˜ โ„‹)
19 lmcl 22671 . . . . . . . . 9 (((MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆˆ (TopOnโ€˜ โ„‹) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
2018, 19mpan 689 . . . . . . . 8 (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹))
2213, 11, 15, 3, 4h2hlm 29971 . . . . . . . . . . . 12 โ‡๐‘ฃ = ((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))
2322breqi 5115 . . . . . . . . . . 11 (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” ๐น((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))๐‘ฅ)
24 brres 5948 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†’ (๐น((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))๐‘ฅ โ†” (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ)))
2524elv 3453 . . . . . . . . . . 11 (๐น((โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†พ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))๐‘ฅ โ†” (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2623, 25bitri 275 . . . . . . . . . 10 (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โˆง ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2726baib 537 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•) โ†’ (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2827adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” ๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ))
2928biimprd 248 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ))
3021, 29jcad 514 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (๐น(โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)))๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)))
3110, 30biimtrrid 242 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (โŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)))
3231eximdv 1921 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅโŸจ๐น, ๐‘ฅโŸฉ โˆˆ (โ‡๐‘กโ€˜(MetOpenโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)))
339, 32mpd 15 . . 3 ((๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ))
34 elin 3930 . . 3 (๐น โˆˆ ((Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆฉ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†” (๐น โˆˆ (Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐น โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)))
35 df-rex 3071 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ โ†” โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ))
3633, 34, 353imtr4i 292 . 2 (๐น โˆˆ ((Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆฉ ( โ„‹ โ†‘m โ„•)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
3713, 11, 15, 3h2hcau 29970 . 2 Cauchy = ((Cauโ€˜(IndMetโ€˜๐‘ˆ)) โˆฉ ( โ„‹ โ†‘m โ„•))
3836, 37eleq2s 2852 1 (๐น โˆˆ Cauchy โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ๐น โ‡๐‘ฃ ๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   โˆฉ cin 3913  โŸจcop 4596   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   โ†พ cres 5639  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  โ„•cn 12161  โˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  TopOnctopon 22282  โ‡๐‘กclm 22600  Cauccau 24640  NrmCVeccnv 29575  BaseSetcba 29577  IndMetcims 29582  CHilOLDchlo 29876   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912  normโ„Žcno 29914  Cauchyccauold 29917   โ‡๐‘ฃ chli 29918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-nei 22472  df-lm 22603  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-gdiv 29487  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-vs 29590  df-nmcv 29591  df-ims 29592  df-cbn 29854  df-hlo 29877  df-hba 29960  df-hvsub 29962  df-hlim 29963  df-hcau 29964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator