HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhcompl-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhcompl-zf 28691
Description: Derive axiom ax-hcompl 28895 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 6-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
axhil.2 𝑈 ∈ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhcompl-zf (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑈

Proof of Theorem axhcompl-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . . . . . 6 𝑈 ∈ CHilOLD
2 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)))
3 eqid 2825 . . . . . . 7 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
4 eqid 2825 . . . . . . 7 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
53, 4hlcompl 28608 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
61, 2, 5sylancr 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
7 eldm2g 5766 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↔ ∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))))
96, 8mpbid 233 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
10 df-br 5063 . . . . . 6 (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 ↔ ⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))))
111hlnvi 28585 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
12 df-hba 28662 . . . . . . . . . . . 12 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
13 axhil.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1413fveq2i 6669 . . . . . . . . . . . 12 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1512, 14eqtr4i 2851 . . . . . . . . . . 11 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
1615, 3imsxmet 28385 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ))
174mopntopon 22966 . . . . . . . . . 10 ((IndMet‘𝑈) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
1811, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
19 lmcl 21823 . . . . . . . . 9 (((MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
2018, 19mpan 686 . . . . . . . 8 (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥𝑥 ∈ ℋ)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥𝑥 ∈ ℋ))
2213, 11, 15, 3, 4h2hlm 28673 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
2322breqi 5068 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑣 𝑥𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
24 brres 5858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥)))
2524elv 3504 . . . . . . . . . . 11 (𝐹((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2623, 25bitri 276 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2726baib 536 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) → (𝐹𝑣 𝑥𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹𝑣 𝑥𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥))
2928biimprd 249 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥𝐹𝑣 𝑥))
3021, 29jcad 513 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈)))𝑥 → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥)))
3110, 30syl5bir 244 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (⟨𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥)))
3231eximdv 1911 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (∃𝑥𝐹, 𝑥⟩ ∈ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑈))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥)))
339, 32mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥))
34 elin 4172 . . 3 (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
35 df-rex 3148 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐹𝑣 𝑥))
3633, 34, 353imtr4i 293 . 2 (𝐹 ∈ ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
3713, 11, 15, 3h2hcau 28672 . 2 Cauchy = ((Cau‘(IndMet‘𝑈)) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
3836, 37eleq2s 2935 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wrex 3143  Vcvv 3499  cin 3938  cop 4569   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  cres 5555  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  cn 11630  ∞Metcxmet 20448  MetOpencmopn 20453  TopOnctopon 21436  𝑡clm 21752  Cauccau 23773  NrmCVeccnv 28277  BaseSetcba 28279  IndMetcims 28284  CHilOLDchlo 28578  chba 28612   + cva 28613   · csm 28614  normcno 28616  Cauchyccauold 28619  𝑣 chli 28620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ico 12737  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-top 21420  df-topon 21437  df-bases 21472  df-ntr 21546  df-nei 21624  df-lm 21755  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-cfil 23775  df-cau 23776  df-cmet 23777  df-grpo 28186  df-gid 28187  df-ginv 28188  df-gdiv 28189  df-ablo 28238  df-vc 28252  df-nv 28285  df-va 28288  df-ba 28289  df-sm 28290  df-0v 28291  df-vs 28292  df-nmcv 28293  df-ims 28294  df-cbn 28556  df-hlo 28579  df-hba 28662  df-hvsub 28664  df-hlim 28665  df-hcau 28666
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator