Theorem imasringf1 20306

Description: The image of a ring under an injection is a ring (imasmndf1 18739 analog). (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasringf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasringf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasringf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)

Proof of Theorem imasringf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasringf1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasringf1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		f1f1orn 6787	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
10		f1ofo 6783	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
12	9	f1ocpbl 17484	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
13	9	f1ocpbl 17484	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(.r‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(.r‘𝑅)𝑞))))
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
15	2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14	imasring 20305	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑈 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈)))
16	15	simpld 494	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ran crn 5627  –1-1→wf1 6491  –onto→wfo 6492  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216   “_s cimas 17463  1_rcur 20157  Ringcrg 20209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-imas 17467  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211

This theorem is referenced by:  xpsringd  20307