Theorem incat 49788

Description: Constructing a category with at most one object and at most two morphisms. If 𝑋 is a set then 𝐶 is the category 𝐴 in Exercise 3G of [Adamek] p. 45. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
incat.c	⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
incat.h	⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
incat.x	⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))

Assertion

Ref	Expression
incat	⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑦, ·   𝑦,𝐶   𝑓,𝐹,𝑔   𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑔   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑔   𝑦,𝐻   𝑓,𝑉,𝑔   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑔)   · (𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem incat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
2		snex 5379	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	catbas 49413	. . 3 ⊢ {𝑋} = (Base‘𝐶)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {𝑋} = (Base‘𝐶))
5		snex 5379	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} ∈ V
6	1, 5	cathomfval 49414	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶))
8		snex 5379	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} ∈ V
9	1, 8	catcofval 49415	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶))
11		incat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
12		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {𝐹, 𝐺} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
14	13	ovsn2 49048	. . 3 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = 𝐻
15	14, 11	eqtri 2757	. 2 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = {𝐹, 𝐺}
16		incat.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
17	13, 13	mpoex 8021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
19	18	ovsn2 49048	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = ·
20	19, 16	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)))
22		ineq12 4165	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐺))
23		inidm 4177	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐺) = 𝐺
24	22, 23	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
26		prid2g 4716	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ {𝐹, 𝐺})
27	26, 11	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐻)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐻)
29	21, 25, 28, 28, 28	ovmpod 7508	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐺)
30		ineq12 4165	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐹))
31		sseqin2 4173	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
32	31	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
34	30, 33	sylan9eqr 2791	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
35		ssexg 5266	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
36		prid1g 4715	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
38	37, 11	eleqtrrdi 2845	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝐻)
39	21, 34, 28, 38, 38	ovmpod 7508	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
40		ineq12 4165	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐺))
41		dfss2 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
42	41	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
44	40, 43	sylan9eqr 2791	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
45	21, 44, 38, 28, 38	ovmpod 7508	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐹)
46		ineq12 4165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐹))
47		inidm 4177	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐹) = 𝐹
48	46, 47	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
49	48	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
50	21, 49, 38, 38, 38	ovmpod 7508	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
51	50, 37	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) ∈ {𝐹, 𝐺})
52	4, 7, 10, 15, 29, 39, 45, 51	2arwcat 49787	1 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4578  {cpr 4580  {ctp 4582  ⟨cop 4584  ⟨cotp 4586   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  Hom chom 17186  compcco 17187  Catccat 17585  Idccid 17586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-hom 17199  df-cco 17200  df-cat 17589  df-cid 17590

This theorem is referenced by:  setc1onsubc  49789