Theorem incat 49867

Description: Constructing a category with at most one object and at most two morphisms. If 𝑋 is a set then 𝐶 is the category 𝐴 in Exercise 3G of [Adamek] p. 45. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
incat.c	⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
incat.h	⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
incat.x	⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))

Assertion

Ref	Expression
incat	⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑦, ·   𝑦,𝐶   𝑓,𝐹,𝑔   𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑔   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑔   𝑦,𝐻   𝑓,𝑉,𝑔   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑔)   · (𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem incat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
2		snex 5381	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	catbas 49492	. . 3 ⊢ {𝑋} = (Base‘𝐶)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {𝑋} = (Base‘𝐶))
5		snex 5381	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} ∈ V
6	1, 5	cathomfval 49493	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶))
8		snex 5381	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} ∈ V
9	1, 8	catcofval 49494	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶))
11		incat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
12		prex 5382	. . . . 5 ⊢ {𝐹, 𝐺} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
14	13	ovsn2 49127	. . 3 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = 𝐻
15	14, 11	eqtri 2759	. 2 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = {𝐹, 𝐺}
16		incat.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
17	13, 13	mpoex 8023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2832	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
19	18	ovsn2 49127	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = ·
20	19, 16	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)))
22		ineq12 4167	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐺))
23		inidm 4179	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐺) = 𝐺
24	22, 23	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
26		prid2g 4718	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ {𝐹, 𝐺})
27	26, 11	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐻)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐻)
29	21, 25, 28, 28, 28	ovmpod 7510	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐺)
30		ineq12 4167	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐹))
31		sseqin2 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
32	31	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
34	30, 33	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
35		ssexg 5268	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
36		prid1g 4717	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
38	37, 11	eleqtrrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝐻)
39	21, 34, 28, 38, 38	ovmpod 7510	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
40		ineq12 4167	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐺))
41		dfss2 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
42	41	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
44	40, 43	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
45	21, 44, 38, 28, 38	ovmpod 7510	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐹)
46		ineq12 4167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐹))
47		inidm 4179	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐹) = 𝐹
48	46, 47	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
49	48	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
50	21, 49, 38, 38, 38	ovmpod 7510	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
51	50, 37	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) ∈ {𝐹, 𝐺})
52	4, 7, 10, 15, 29, 39, 45, 51	2arwcat 49866	1 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  {csn 4580  {cpr 4582  {ctp 4584  ⟨cop 4586  ⟨cotp 4588   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  Hom chom 17190  compcco 17191  Catccat 17589  Idccid 17590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204  df-cat 17593  df-cid 17594

This theorem is referenced by:  setc1onsubc  49868