Theorem incat 49596

Description: Constructing a category with at most one object and at most two morphisms. If 𝑋 is a set then 𝐶 is the category 𝐴 in Exercise 3G of [Adamek] p. 45. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
incat.c	⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
incat.h	⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
incat.x	⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))

Assertion

Ref	Expression
incat	⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑦, ·   𝑦,𝐶   𝑓,𝐹,𝑔   𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑔   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑔   𝑦,𝐻   𝑓,𝑉,𝑔   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑔)   · (𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem incat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
2		snex 5375	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	catbas 49221	. . 3 ⊢ {𝑋} = (Base‘𝐶)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {𝑋} = (Base‘𝐶))
5		snex 5375	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} ∈ V
6	1, 5	cathomfval 49222	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶))
8		snex 5375	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} ∈ V
9	1, 8	catcofval 49223	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶))
11		incat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
12		prex 5376	. . . . 5 ⊢ {𝐹, 𝐺} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
14	13	ovsn2 48855	. . 3 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = 𝐻
15	14, 11	eqtri 2752	. 2 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = {𝐹, 𝐺}
16		incat.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
17	13, 13	mpoex 8014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
19	18	ovsn2 48855	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = ·
20	19, 16	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)))
22		ineq12 4166	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐺))
23		inidm 4178	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐺) = 𝐺
24	22, 23	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
26		prid2g 4713	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ {𝐹, 𝐺})
27	26, 11	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐻)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐻)
29	21, 25, 28, 28, 28	ovmpod 7501	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐺)
30		ineq12 4166	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐹))
31		sseqin2 4174	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
32	31	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
34	30, 33	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
35		ssexg 5262	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
36		prid1g 4712	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
38	37, 11	eleqtrrdi 2839	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝐻)
39	21, 34, 28, 38, 38	ovmpod 7501	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
40		ineq12 4166	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐺))
41		dfss2 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
42	41	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
44	40, 43	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
45	21, 44, 38, 28, 38	ovmpod 7501	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐹)
46		ineq12 4166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐹))
47		inidm 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐹) = 𝐹
48	46, 47	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
49	48	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
50	21, 49, 38, 38, 38	ovmpod 7501	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
51	50, 37	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) ∈ {𝐹, 𝐺})
52	4, 7, 10, 15, 29, 39, 45, 51	2arwcat 49595	1 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4577  {cpr 4579  {ctp 4581  ⟨cop 4583  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  Hom chom 17172  compcco 17173  Catccat 17570  Idccid 17571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575

This theorem is referenced by:  setc1onsubc  49597