Theorem incat 50530

Description: Constructing a category with at most one object and at most two morphisms. If 𝑋 is a set then 𝐶 is the category 𝐴 in Exercise 3G of [Adamek] p. 45. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
incat.c	⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
incat.h	⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
incat.x	⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))

Assertion

Ref	Expression
incat	⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑦, ·   𝑦,𝐶   𝑓,𝐹,𝑔   𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑔   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑔   𝑦,𝐻   𝑓,𝑉,𝑔   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓, 𝑔)   · (𝑓, 𝑔)   𝑋(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem incat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
2		snex 5404	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	catbas 50155	. . 3 ⊢ {𝑋} = (Base‘𝐶)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {𝑋} = (Base‘𝐶))
5		snex 5404	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} ∈ V
6	1, 5	cathomfval 50156	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶))
8		snex 5404	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} ∈ V
9	1, 8	catcofval 50157	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶))
11		incat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
12		prex 5403	. . . . 5 ⊢ {𝐹, 𝐺} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
14	13	ovsn2 49792	. . 3 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = 𝐻
15	14, 11	eqtri 2783	. 2 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = {𝐹, 𝐺}
16		incat.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
17	13, 13	mpoex 8079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
19	18	ovsn2 49792	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = ·
20	19, 16	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)))
22		ineq12 4161	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐺))
23		inidm 4172	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐺) = 𝐺
24	22, 23	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
25	24	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
26		prid2g 4722	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ {𝐹, 𝐺})
27	26, 11	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐻)
28	27	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐻)
29	21, 25, 28, 28, 28	ovmpod 7566	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐺)
30		ineq12 4161	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐹))
31		sseqin2 4169	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
32	31	birani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
33	30, 32	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
34		ssexg 5284	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
35		prid1g 4721	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
37	36, 11	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝐻)
38	21, 33, 28, 37, 37	ovmpod 7566	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
39		ineq12 4161	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐺))
40		dfss2 3917	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
41	40	birani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
42	39, 41	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
43	21, 42, 37, 28, 37	ovmpod 7566	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐹)
44		ineq12 4161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐹))
45		inidm 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐹) = 𝐹
46	44, 45	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
47	46	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
48	21, 47, 37, 37, 37	ovmpod 7566	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
49	48, 36	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) ∈ {𝐹, 𝐺})
50	4, 7, 10, 15, 29, 38, 43, 49	2arwcat 50529	1 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ndxcnx 17288  Basecbs 17304  Hom chom 17356  compcco 17357  Catccat 17755  Idccid 17756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-cid 17760

This theorem is used by:  setc1onsubc  50531