Theorem incat 50091

Description: Constructing a category with at most one object and at most two morphisms. If 𝑋 is a set then 𝐶 is the category 𝐴 in Exercise 3G of [Adamek] p. 45. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
incat.c	⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
incat.h	⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
incat.x	⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))

Assertion

Ref	Expression
incat	⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑦, ·   𝑦,𝐶   𝑓,𝐹,𝑔   𝑦,𝐹   𝑓,𝐺,𝑔   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑔   𝑦,𝐻   𝑓,𝑉,𝑔   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑔)   · (𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem incat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑋}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}⟩}
2		snex 5368	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ V
3	1, 2	catbas 49716	. . 3 ⊢ {𝑋} = (Base‘𝐶)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {𝑋} = (Base‘𝐶))
5		snex 5368	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} ∈ V
6	1, 5	cathomfval 49717	. . 3 ⊢ {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩} = (Hom ‘𝐶))
8		snex 5368	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} ∈ V
9	1, 8	catcofval 49718	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → {⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩} = (comp‘𝐶))
11		incat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝐹, 𝐺}
12		prex 5367	. . . . 5 ⊢ {𝐹, 𝐺} ∈ V
13	11, 12	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
14	13	ovsn2 49351	. . 3 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = 𝐻
15	14, 11	eqtri 2762	. 2 ⊢ (𝑋{⟨𝑋, 𝑋, 𝐻⟩}𝑋) = {𝐹, 𝐺}
16		incat.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
17	13, 13	mpoex 8021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
19	18	ovsn2 49351	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = ·
20	19, 16	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋) = (𝑓 ∈ 𝐻, 𝑔 ∈ 𝐻 ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)))
22		ineq12 4144	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐺))
23		inidm 4155	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐺) = 𝐺
24	22, 23	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
25	24	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐺)
26		prid2g 4693	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ {𝐹, 𝐺})
27	26, 11	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ 𝐻)
28	27	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐻)
29	21, 25, 28, 28, 28	ovmpod 7508	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐺)
30		ineq12 4144	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐺 ∩ 𝐹))
31		sseqin2 4152	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
32	31	birani 504	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∩ 𝐹) = 𝐹)
33	30, 32	sylan9eqr 2796	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐺 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
34		ssexg 5251	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
35		prid1g 4692	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ {𝐹, 𝐺})
37	36, 11	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝐻)
38	21, 33, 28, 37, 37	ovmpod 7508	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
39		ineq12 4144	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐺))
40		dfss2 3901	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 ↔ (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
41	40	birani 504	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐹)
42	39, 41	sylan9eqr 2796	. . 3 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
43	21, 42, 37, 28, 37	ovmpod 7508	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐺) = 𝐹)
44		ineq12 4144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = (𝐹 ∩ 𝐹))
45		inidm 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∩ 𝐹) = 𝐹
46	44, 45	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
47	46	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐹)) → (𝑓 ∩ 𝑔) = 𝐹)
48	21, 47, 37, 37, 37	ovmpod 7508	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) = 𝐹)
49	48, 36	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹(⟨𝑋, 𝑋⟩{⟨⟨𝑋, 𝑋⟩, 𝑋, · ⟩}𝑋)𝐹) ∈ {𝐹, 𝐺})
50	4, 7, 10, 15, 29, 38, 43, 49	2arwcat 50090	1 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ {𝑋} ↦ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4555  {cpr 4557  {ctp 4559  ⟨cop 4561  ⟨cotp 4563   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  Hom chom 17222  compcco 17223  Catccat 17621  Idccid 17622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-cat 17625  df-cid 17626

This theorem is referenced by:  setc1onsubc  50092