MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblconst 25205
Description: A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
iblconst ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)

Proof of Theorem iblconst
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5698 . 2 (๐ด ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)
2 mbfconst 25020 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ MblFn)
323adant2 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ MblFn)
41, 3eqeltrrid 2839 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
5 ifan 4543 . . . . . . . 8 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
65mpteq2i 5214 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
76fveq2i 6849 . . . . . 6 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)))
8 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
9 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11118 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
12 ine0 11598 . . . . . . . . . . . 12 i โ‰  0
13 elfzelz 13450 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
15 expclz 13999 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
17 expne0i 14009 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1811, 12, 14, 17mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1910, 16, 18divcld 11939 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐ต / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2019recld 15088 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
21 0re 11165 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
22 ifcl 4535 . . . . . . . . 9 (((โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2320, 21, 22sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
24 max1 13113 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2521, 20, 24sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
26 elrege0 13380 . . . . . . . 8 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2723, 25, 26sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
28 itg2const 25128 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))) = (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
298, 9, 27, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))) = (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
307, 29eqtrid 2785 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
3123, 9remulcld 11193 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3230, 31eqeltrd 2834 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
3332ralrimiva 3140 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
34 eqidd 2734 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
35 eqidd 2734 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))
36 simpl3 1194 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3734, 35, 36isibl2 25154 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
384, 33, 37mpbir2and 712 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
391, 38eqeltrid 2838 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  dom cdm 5637  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  3c3 12217  โ„คcz 12507  [,)cico 13275  ...cfz 13433  โ†‘cexp 13976  โ„œcre 14991  volcvol 24850  MblFncmbf 25001  โˆซ2citg2 25003  ๐ฟ1cibl 25004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgconst  25206  bddibl  25227  ftc1lem4  25426  itgulm  25790  ftc1cnnclem  36199  iblconstmpt  44287  itgiccshift  44311  itgperiod  44312  itgsbtaddcnst  44313
  Copyright terms: Public domain W3C validator