| Step | Hyp | Ref
| Expression |
|---|
| 1 | | fconstmpt 5731 |
. 2
โข (๐ด ร {๐ต}) = (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) |
| 2 | | mbfconst 25512 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ dom vol โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ร {๐ต}) โ MblFn) |
| 3 | 2 | 3adant2 1128 |
. . . 4
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ด ร
{๐ต}) โ
MblFn) |
| 4 | 1, 3 | eqeltrrid 2832 |
. . 3
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ฅ โ
๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn) |
| 5 | | ifan 4576 |
. . . . . . . 8
โข if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) = if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0) |
| 6 | 5 | mpteq2i 5246 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ โ โ โฆ
if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0)) |
| 7 | 6 | fveq2i 6887 |
. . . . . 6
โข
(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0))) |
| 8 | | simpl1 1188 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ ๐ด โ
dom vol) |
| 9 | | simpl2 1189 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (volโ๐ด) โ โ) |
| 10 | | simpl3 1190 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ ๐ต โ
โ) |
| 11 | | ax-icn 11168 |
. . . . . . . . . . . 12
โข i โ
โ |
| 12 | | ine0 11650 |
. . . . . . . . . . . 12
โข i โ
0 |
| 13 | | elfzelz 13504 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (0...3) โ ๐ โ
โค) |
| 14 | 13 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ ๐ โ
โค) |
| 15 | | expclz 14052 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((i
โ โ โง i โ 0 โง ๐ โ โค) โ (iโ๐) โ
โ) |
| 16 | 11, 12, 14, 15 | mp3an12i 1461 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (iโ๐)
โ โ) |
| 17 | | expne0i 14062 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((i
โ โ โง i โ 0 โง ๐ โ โค) โ (iโ๐) โ 0) |
| 18 | 11, 12, 14, 17 | mp3an12i 1461 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (iโ๐)
โ 0) |
| 19 | 10, 16, 18 | divcld 11991 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (๐ต /
(iโ๐)) โ
โ) |
| 20 | 19 | recld 15144 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โโ(๐ต / (iโ๐))) โ โ) |
| 21 | | 0re 11217 |
. . . . . . . . 9
โข 0 โ
โ |
| 22 | | ifcl 4568 |
. . . . . . . . 9
โข
(((โโ(๐ต /
(iโ๐))) โ โ
โง 0 โ โ) โ if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ โ) |
| 23 | 20, 21, 22 | sylancl 585 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ โ) |
| 24 | | max1 13167 |
. . . . . . . . 9
โข ((0
โ โ โง (โโ(๐ต / (iโ๐))) โ โ) โ 0 โค if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
0)) |
| 25 | 21, 20, 24 | sylancr 586 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ 0 โค if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)) |
| 26 | | elrege0 13434 |
. . . . . . . 8
โข (if(0
โค (โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0) โ
(0[,)+โ) โ (if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ โ โง 0 โค if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
0))) |
| 27 | 23, 25, 26 | sylanbrc 582 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ
(0[,)+โ)) |
| 28 | | itg2const 25620 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ (0[,)+โ)) โ
(โซ2โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(๐ฅ
โ ๐ด, if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0), 0))) =
(if(0 โค (โโ(๐ต
/ (iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0) ยท
(volโ๐ด))) |
| 29 | 8, 9, 27, 28 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0))) = (if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0) ยท
(volโ๐ด))) |
| 30 | 7, 29 | eqtrid 2778 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) = (if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) ยท (volโ๐ด))) |
| 31 | 23, 9 | remulcld 11245 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) ยท (volโ๐ด)) โ โ) |
| 32 | 30, 31 | eqeltrd 2827 |
. . . 4
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
| 33 | 32 | ralrimiva 3140 |
. . 3
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ โ๐
โ (0...3)(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
| 34 | | eqidd 2727 |
. . . 4
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ฅ โ
โ โฆ if((๐ฅ
โ ๐ด โง 0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ
if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
0))) |
| 35 | | eqidd 2727 |
. . . 4
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ฅ โ
๐ด) โ
(โโ(๐ต /
(iโ๐))) =
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))) |
| 36 | | simpl3 1190 |
. . . 4
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ฅ โ
๐ด) โ ๐ต โ โ) |
| 37 | 34, 35, 36 | isibl2 25646 |
. . 3
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ ((๐ฅ โ
๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ
((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง โ๐ โ
(0...3)(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ))) |
| 38 | 4, 33, 37 | mpbir2and 710 |
. 2
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ฅ โ
๐ด โฆ ๐ต) โ
๐ฟ1) |
| 39 | 1, 38 | eqeltrid 2831 |
1
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ด ร
{๐ต}) โ
๐ฟ1) |
