Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fconstmpt 5698 |
. 2
โข (๐ด ร {๐ต}) = (๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) |
2 | | mbfconst 25020 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ dom vol โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ร {๐ต}) โ MblFn) |
3 | 2 | 3adant2 1132 |
. . . 4
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ด ร
{๐ต}) โ
MblFn) |
4 | 1, 3 | eqeltrrid 2839 |
. . 3
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ฅ โ
๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn) |
5 | | ifan 4543 |
. . . . . . . 8
โข if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) = if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0) |
6 | 5 | mpteq2i 5214 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ โ โ โฆ
if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0)) |
7 | 6 | fveq2i 6849 |
. . . . . 6
โข
(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) = (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0))) |
8 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ ๐ด โ
dom vol) |
9 | | simpl2 1193 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (volโ๐ด) โ โ) |
10 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ ๐ต โ
โ) |
11 | | ax-icn 11118 |
. . . . . . . . . . . 12
โข i โ
โ |
12 | | ine0 11598 |
. . . . . . . . . . . 12
โข i โ
0 |
13 | | elfzelz 13450 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (0...3) โ ๐ โ
โค) |
14 | 13 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ ๐ โ
โค) |
15 | | expclz 13999 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((i
โ โ โง i โ 0 โง ๐ โ โค) โ (iโ๐) โ
โ) |
16 | 11, 12, 14, 15 | mp3an12i 1466 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (iโ๐)
โ โ) |
17 | | expne0i 14009 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((i
โ โ โง i โ 0 โง ๐ โ โค) โ (iโ๐) โ 0) |
18 | 11, 12, 14, 17 | mp3an12i 1466 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (iโ๐)
โ 0) |
19 | 10, 16, 18 | divcld 11939 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (๐ต /
(iโ๐)) โ
โ) |
20 | 19 | recld 15088 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โโ(๐ต / (iโ๐))) โ โ) |
21 | | 0re 11165 |
. . . . . . . . 9
โข 0 โ
โ |
22 | | ifcl 4535 |
. . . . . . . . 9
โข
(((โโ(๐ต /
(iโ๐))) โ โ
โง 0 โ โ) โ if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ โ) |
23 | 20, 21, 22 | sylancl 587 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ โ) |
24 | | max1 13113 |
. . . . . . . . 9
โข ((0
โ โ โง (โโ(๐ต / (iโ๐))) โ โ) โ 0 โค if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
0)) |
25 | 21, 20, 24 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ 0 โค if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)) |
26 | | elrege0 13380 |
. . . . . . . 8
โข (if(0
โค (โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0) โ
(0[,)+โ) โ (if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ โ โง 0 โค if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
0))) |
27 | 23, 25, 26 | sylanbrc 584 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ
(0[,)+โ)) |
28 | | itg2const 25128 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) โ (0[,)+โ)) โ
(โซ2โ(๐ฅ
โ โ โฆ if(๐ฅ
โ ๐ด, if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0), 0))) =
(if(0 โค (โโ(๐ต
/ (iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0) ยท
(volโ๐ด))) |
29 | 8, 9, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if(๐ฅ โ ๐ด, if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0), 0))) = (if(0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0) ยท
(volโ๐ด))) |
30 | 7, 29 | eqtrid 2785 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) = (if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) ยท (volโ๐ด))) |
31 | 23, 9 | remulcld 11193 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (if(0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) ยท (volโ๐ด)) โ โ) |
32 | 30, 31 | eqeltrd 2834 |
. . . 4
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ โ
(0...3)) โ (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
33 | 32 | ralrimiva 3140 |
. . 3
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ โ๐
โ (0...3)(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ) |
34 | | eqidd 2734 |
. . . 4
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ฅ โ
โ โฆ if((๐ฅ
โ ๐ด โง 0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))), 0)) = (๐ฅ โ โ โฆ
if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))),
(โโ(๐ต /
(iโ๐))),
0))) |
35 | | eqidd 2734 |
. . . 4
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ฅ โ
๐ด) โ
(โโ(๐ต /
(iโ๐))) =
(โโ(๐ต /
(iโ๐)))) |
36 | | simpl3 1194 |
. . . 4
โข (((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง ๐ฅ โ
๐ด) โ ๐ต โ โ) |
37 | 34, 35, 36 | isibl2 25154 |
. . 3
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ ((๐ฅ โ
๐ด โฆ ๐ต) โ ๐ฟ1 โ
((๐ฅ โ ๐ด โฆ ๐ต) โ MblFn โง โ๐ โ
(0...3)(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) โ โ))) |
38 | 4, 33, 37 | mpbir2and 712 |
. 2
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ฅ โ
๐ด โฆ ๐ต) โ
๐ฟ1) |
39 | 1, 38 | eqeltrid 2838 |
1
โข ((๐ด โ dom vol โง
(volโ๐ด) โ
โ โง ๐ต โ
โ) โ (๐ด ร
{๐ต}) โ
๐ฟ1) |