MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblconst 25767
Description: A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
iblconst ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)

Proof of Theorem iblconst
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5744 . 2 (๐ด ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต)
2 mbfconst 25582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ MblFn)
323adant2 1128 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ MblFn)
41, 3eqeltrrid 2834 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
5 ifan 4585 . . . . . . . 8 if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)
65mpteq2i 5257 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))
76fveq2i 6905 . . . . . 6 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0)))
8 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
9 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
10 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11205 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
12 ine0 11687 . . . . . . . . . . . 12 i โ‰  0
13 elfzelz 13541 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
15 expclz 14089 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
17 expne0i 14099 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1811, 12, 14, 17mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (iโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
1910, 16, 18divcld 12028 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (๐ต / (iโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2019recld 15181 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
21 0re 11254 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
22 ifcl 4577 . . . . . . . . 9 (((โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
2320, 21, 22sylancl 584 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„)
24 max1 13204 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
2521, 20, 24sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
26 elrege0 13471 . . . . . . . 8 (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
2723, 25, 26sylanbrc 581 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž))
28 itg2const 25690 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))) = (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
298, 9, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0), 0))) = (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
307, 29eqtrid 2780 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)))
3123, 9remulcld 11282 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) ยท (volโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3230, 31eqeltrd 2829 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...3)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
3332ralrimiva 3143 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)
34 eqidd 2729 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
35 eqidd 2729 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))
36 simpl3 1190 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3734, 35, 36isibl2 25716 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...3)(โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) โˆˆ โ„)))
384, 33, 37mpbir2and 711 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
391, 38eqeltrid 2833 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ ๐ฟ1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235   ร— cxp 5680  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  ici 11148   ยท cmul 11151  +โˆžcpnf 11283   โ‰ค cle 11287   / cdiv 11909  3c3 12306  โ„คcz 12596  [,)cico 13366  ...cfz 13524  โ†‘cexp 14066  โ„œcre 15084  volcvol 25412  MblFncmbf 25563  โˆซ2citg2 25565  ๐ฟ1cibl 25566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-0p 25619
This theorem is referenced by:  itgconst  25768  bddibl  25789  ftc1lem4  25994  itgulm  26364  ftc1cnnclem  37197  iblconstmpt  45373  itgiccshift  45397  itgperiod  45398  itgsbtaddcnst  45399
  Copyright terms: Public domain W3C validator