Theorem iblconst 24887

Description: A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iblconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblconst

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5640	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mbfconst 24702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
3	2	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
4	1, 3	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5		ifan 4509	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0)
6	5	mpteq2i 5175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0))
7	6	fveq2i 6759	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0)))
8		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
10		simpl3 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
12		ine0 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ≠ 0
13		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℤ)
15		expclz 13735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 12, 14, 15	mp3an12i 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
17		expne0i 13743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
18	11, 12, 14, 17	mp3an12i 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ≠ 0)
19	10, 16, 18	divcld 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝐵 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
20	19	recld 14833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
21		0re 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
22		ifcl 4501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
24		max1 12848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
25	21, 20, 24	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
26		elrege0 13115	. . . . . . . 8 ⊢ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
27	23, 25, 26	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,)+∞))
28		itg2const 24810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0))) = (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)))
29	8, 9, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0))) = (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)))
30	7, 29	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)))
31	23, 9	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
32	30, 31	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
33	32	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
34		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
35		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
36		simpl3 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	isibl2 24836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
38	4, 33, 37	mpbir2and 709	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
39	1, 38	eqeltrid 2843	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  3c3 11959  ℤcz 12249  [,)cico 13010  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  ∫₂citg2 24685  𝐿¹cibl 24686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-0p 24739

This theorem is referenced by:  itgconst  24888  bddibl  24909  ftc1lem4  25108  itgulm  25472  ftc1cnnclem  35775  iblconstmpt  43387  itgiccshift  43411  itgperiod  43412  itgsbtaddcnst  43413