MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retanhcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retanhcl 16084
Description: The hyperbolic tangent of a real number is real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
retanhcl (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)

Proof of Theorem retanhcl
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11151 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 recn 11182 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 11176 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpcoshcl 16082 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
65rpne0d 13003 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7 tanval 16053 . . . . 5 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
84, 6, 7syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
98oveq1d 7408 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
104sincld 16055 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 recoshcl 16083 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
1211recnd 11224 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
131a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14 ine0 11631 . . . . 5 i ≠ 0
1514a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
1610, 12, 13, 6, 15divdiv32d 11997 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
179, 16eqtrd 2771 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
18 resinhcl 16081 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
1918, 5rerpdivcld 13029 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
2017, 19eqeltrd 2832 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  ici 11094   · cmul 11097   / cdiv 11853  sincsin 15989  cosccos 15990  tanctan 15991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-tan 15997
This theorem is referenced by:  tanhbnd  16086  tanregt0  25977
  Copyright terms: Public domain W3C validator