MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhlt1 15172
Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhlt1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10248 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 10279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10273 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpcoshcl 15169 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
65rpne0d 12075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7 tanval 15140 . . . . . 6 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
84, 6, 7syl2anc 579 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
98oveq1d 6857 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
104sincld 15142 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 recoshcl 15170 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
1211recnd 10322 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
131a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14 ine0 10719 . . . . . 6 i ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
1610, 12, 13, 6, 15divdiv32d 11080 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17 sinhval 15166 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
182, 17syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
19 coshval 15167 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
202, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
2118, 20oveq12d 6860 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
229, 16, 213eqtrd 2803 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
23 reefcl 15099 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24 renegcl 10598 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2524reefcld 15100 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ)
2623, 25resubcld 10712 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
2726recnd 10322 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
2823, 25readdcld 10323 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
2928recnd 10322 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30 2cnd 11350 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
3120, 6eqnetrrd 3005 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0)
32 2ne0 11383 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
3429, 30, 33divne0bd 11067 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0))
3531, 34mpbird 248 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0)
3627, 29, 30, 35, 33divcan7d 11083 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
3722, 36eqtrd 2799 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
3824rpefcld 15117 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ+)
3923, 38ltsubrpd 12102 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (exp‘𝐴))
4023, 38ltaddrpd 12103 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4126, 23, 28, 39, 40lttrd 10452 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4229mulid1d 10311 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4341, 42breqtrrd 4837 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1))
44 1red 10294 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45 efgt0 15115 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46 efgt0 15115 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
4724, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
4823, 25, 45, 47addgt0d 10856 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
49 ltdivmul 11152 . . . 4 ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
5026, 44, 28, 48, 49syl112anc 1493 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
5143, 50mpbird 248 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1)
5237, 51eqbrtrd 4831 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  expce 15074  sincsin 15076  cosccos 15077  tanctan 15078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084
This theorem is referenced by:  tanhbnd  15173
  Copyright terms: Public domain W3C validator