Theorem tanhlt1 16104

Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11103	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11128	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpcoshcl 16101	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
6	5	rpne0d 12976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7		tanval 16072	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
9	8	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
10	4	sincld 16074	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		recoshcl 16102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14		ine0 11589	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
16	10, 12, 13, 6, 15	divdiv32d 11959	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17		sinhval 16098	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
18	2, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
19		coshval 16099	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
21	18, 20	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
22	9, 16, 21	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
23		reefcl 16029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24		renegcl 11461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25	24	reefcld 16030	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ)
26	23, 25	resubcld 11582	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
28	23, 25	readdcld 11179	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30		2cnd 12240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
31	20, 6	eqnetrrd 2993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0)
32		2ne0 12266	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divne0bd 11946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0))
35	31, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0)
36	27, 29, 30, 35, 33	divcan7d 11962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
37	22, 36	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
38	24	rpefcld 16049	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ+)
39	23, 38	ltsubrpd 13003	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (exp‘𝐴))
40	23, 38	ltaddrpd 13004	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
41	26, 23, 28, 39, 40	lttrd 11311	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
42	29	mulridd 11167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
43	41, 42	breqtrrd 5130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1))
44		1red 11151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45		efgt0 16047	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46		efgt0 16047	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
47	24, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
48	23, 25, 45, 47	addgt0d 11729	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
49		ltdivmul 12034	. . . 4 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
50	26, 44, 28, 48, 49	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
51	43, 50	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1)
52	37, 51	eqbrtrd 5124	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  expce 16003  sincsin 16005  cosccos 16006  tanctan 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-tan 16013

This theorem is referenced by:  tanhbnd  16105