MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhlt1 15605
Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhlt1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10674 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 10705 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10699 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpcoshcl 15602 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
65rpne0d 12519 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7 tanval 15573 . . . . . 6 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
84, 6, 7syl2anc 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
98oveq1d 7185 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
104sincld 15575 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 recoshcl 15603 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
1211recnd 10747 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
131a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14 ine0 11153 . . . . . 6 i ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
1610, 12, 13, 6, 15divdiv32d 11519 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17 sinhval 15599 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
182, 17syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
19 coshval 15600 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
202, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
2118, 20oveq12d 7188 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
229, 16, 213eqtrd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
23 reefcl 15532 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24 renegcl 11027 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2524reefcld 15533 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ)
2623, 25resubcld 11146 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
2726recnd 10747 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
2823, 25readdcld 10748 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
2928recnd 10747 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30 2cnd 11794 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
3120, 6eqnetrrd 3002 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0)
32 2ne0 11820 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
3429, 30, 33divne0bd 11506 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0))
3531, 34mpbird 260 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0)
3627, 29, 30, 35, 33divcan7d 11522 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
3722, 36eqtrd 2773 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
3824rpefcld 15550 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ+)
3923, 38ltsubrpd 12546 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (exp‘𝐴))
4023, 38ltaddrpd 12547 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4126, 23, 28, 39, 40lttrd 10879 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4229mulid1d 10736 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4341, 42breqtrrd 5058 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1))
44 1red 10720 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45 efgt0 15548 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46 efgt0 15548 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
4724, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
4823, 25, 45, 47addgt0d 11293 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
49 ltdivmul 11593 . . . 4 ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
5026, 44, 28, 48, 49syl112anc 1375 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
5143, 50mpbird 260 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1)
5237, 51eqbrtrd 5052 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616  ici 10617   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  2c2 11771  expce 15507  sincsin 15509  cosccos 15510  tanctan 15511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-ico 12827  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-tan 15517
This theorem is referenced by:  tanhbnd  15606
  Copyright terms: Public domain W3C validator