Theorem tanhlt1 16372

Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11298	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11323	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpcoshcl 16369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
6	5	rpne0d 13209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7		tanval 16340	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
9	8	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
10	4	sincld 16342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		recoshcl 16370	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14		ine0 11790	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
16	10, 12, 13, 6, 15	divdiv32d 12158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17		sinhval 16366	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
18	2, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
19		coshval 16367	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
20	2, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
21	18, 20	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
22	9, 16, 21	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
23		reefcl 16297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24		renegcl 11660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25	24	reefcld 16298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℝ)
26	23, 25	resubcld 11783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
28	23, 25	readdcld 11377	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
30		2cnd 12461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
31	20, 6	eqnetrrd 3027	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2) ≠ 0)
32		2ne0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divne0bd 12145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2) ≠ 0))
35	31, 34	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ≠ 0)
36	27, 29, 30, 35, 33	divcan7d 12161	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))))
37	22, 36	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))))
38	24	rpefcld 16317	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℝ+)
39	23, 38	ltsubrpd 13236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (exp‘𝐴))
40	23, 38	ltaddrpd 13237	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
41	26, 23, 28, 39, 40	lttrd 11510	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
42	29	mulridd 11365	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
43	41, 42	breqtrrd 5139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1))
44		1red 11348	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45		efgt0 16315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46		efgt0 16315	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘ -𝐴))
47	24, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘ -𝐴))
48	23, 25, 45, 47	addgt0d 11931	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
49		ltdivmul 12232	. . . 4 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1)))
50	26, 44, 28, 48, 49	syl112anc 1402	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1)))
51	43, 50	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) < 1)
52	37, 51	eqbrtrd 5133	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  expce 16271  sincsin 16273  cosccos 16274  tanctan 16275

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-tan 16281

This theorem is used by:  tanhbnd  16373