MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhlt1 16099
Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhlt1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11165 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2 recn 11196 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 rpcoshcl 16096 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
65rpne0d 13017 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7 tanval 16067 . . . . . 6 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
84, 6, 7syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
98oveq1d 7419 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
104sincld 16069 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 recoshcl 16097 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
1211recnd 11238 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
131a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14 ine0 11645 . . . . . 6 i ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
1610, 12, 13, 6, 15divdiv32d 12011 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17 sinhval 16093 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
182, 17syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
19 coshval 16094 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
202, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
2118, 20oveq12d 7422 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
229, 16, 213eqtrd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
23 reefcl 16026 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24 renegcl 11519 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2524reefcld 16027 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ)
2623, 25resubcld 11638 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
2726recnd 11238 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
2823, 25readdcld 11239 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
2928recnd 11238 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30 2cnd 12286 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
3120, 6eqnetrrd 3010 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0)
32 2ne0 12312 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
3429, 30, 33divne0bd 11998 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0))
3531, 34mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0)
3627, 29, 30, 35, 33divcan7d 12014 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
3722, 36eqtrd 2773 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
3824rpefcld 16044 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ+)
3923, 38ltsubrpd 13044 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (exp‘𝐴))
4023, 38ltaddrpd 13045 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4126, 23, 28, 39, 40lttrd 11371 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4229mulridd 11227 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
4341, 42breqtrrd 5175 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1))
44 1red 11211 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45 efgt0 16042 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46 efgt0 16042 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
4724, 46syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
4823, 25, 45, 47addgt0d 11785 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
49 ltdivmul 12085 . . . 4 ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
5026, 44, 28, 48, 49syl112anc 1375 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
5143, 50mpbird 257 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1)
5237, 51eqbrtrd 5169 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  expce 16001  sincsin 16003  cosccos 16004  tanctan 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011
This theorem is referenced by:  tanhbnd  16100
  Copyright terms: Public domain W3C validator