Theorem tanhlt1 16329

Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11260	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpcoshcl 16326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
6	5	rpne0d 13170	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7		tanval 16297	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
9	8	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
10	4	sincld 16299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		recoshcl 16327	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11338	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14		ine0 11752	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
16	10, 12, 13, 6, 15	divdiv32d 12119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17		sinhval 16323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
18	2, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
19		coshval 16324	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
20	2, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2))
21	18, 20	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
22	9, 16, 21	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)))
23		reefcl 16254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24		renegcl 11622	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25	24	reefcld 16255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℝ)
26	23, 25	resubcld 11745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
28	23, 25	readdcld 11339	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
30		2cnd 12422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
31	20, 6	eqnetrrd 3023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2) ≠ 0)
32		2ne0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divne0bd 12106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2) ≠ 0))
35	31, 34	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ≠ 0)
36	27, 29, 30, 35, 33	divcan7d 12122	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))))
37	22, 36	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))))
38	24	rpefcld 16274	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℝ+)
39	23, 38	ltsubrpd 13197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (exp‘𝐴))
40	23, 38	ltaddrpd 13198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
41	26, 23, 28, 39, 40	lttrd 11472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
42	29	mulridd 11327	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
43	41, 42	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1))
44		1red 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45		efgt0 16272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46		efgt0 16272	. . . . . 6 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘ -𝐴))
47	24, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘ -𝐴))
48	23, 25, 45, 47	addgt0d 11892	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))
49		ltdivmul 12193	. . . 4 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1)))
50	26, 44, 28, 48, 49	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴)) · 1)))
51	43, 50	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘ -𝐴))) < 1)
52	37, 51	eqbrtrd 5126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202  ici 11203   + caddc 11204   · cmul 11206   < clt 11344   − cmin 11542   -cneg 11543   / cdiv 11974  2c2 12398  expce 16228  sincsin 16230  cosccos 16231  tanctan 16232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-ico 13483  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-ef 16234  df-sin 16236  df-cos 16237  df-tan 16238

This theorem is used by:  tanhbnd  16330