Theorem tanhlt1 16121

Description: The hyperbolic tangent of a real number is upper bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanhlt1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Proof of Theorem tanhlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11091	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11116	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		rpcoshcl 16118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
6	5	rpne0d 12985	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
7		tanval 16089	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
8	4, 6, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) = ((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))))
9	8	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i))
10	4	sincld 16091	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		recoshcl 16119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
14		ine0 11579	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
16	10, 12, 13, 6, 15	divdiv32d 11950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / (cos‘(i · 𝐴))) / i) = (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))))
17		sinhval 16115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
18	2, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
19		coshval 16116	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
21	18, 20	oveq12d 7379	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(i · 𝐴)) / i) / (cos‘(i · 𝐴))) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
22	9, 16, 21	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
23		reefcl 16046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
24		renegcl 11451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25	24	reefcld 16047	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ)
26	23, 25	resubcld 11572	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
28	23, 25	readdcld 11168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30		2cnd 12253	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
31	20, 6	eqnetrrd 3001	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0)
32		2ne0 12279	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
34	29, 30, 33	divne0bd 11937	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0 ↔ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2) ≠ 0))
35	31, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ≠ 0)
36	27, 29, 30, 35, 33	divcan7d 11953	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) / (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
37	22, 36	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
38	24	rpefcld 16066	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘-𝐴) ∈ ℝ+)
39	23, 38	ltsubrpd 13012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (exp‘𝐴))
40	23, 38	ltaddrpd 13013	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
41	26, 23, 28, 39, 40	lttrd 11301	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
42	29	mulridd 11156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1) = ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
43	41, 42	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1))
44		1red 11139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
45		efgt0 16064	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
46		efgt0 16064	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
47	24, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘-𝐴))
48	23, 25, 45, 47	addgt0d 11719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))
49		ltdivmul 12025	. . . 4 ⊢ ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)))) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
50	26, 44, 28, 48, 49	syl112anc 1377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1 ↔ ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) < (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) · 1)))
51	43, 50	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) < 1)
52	37, 51	eqbrtrd 5108	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  ici 11034   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   − cmin 11371  -cneg 11372   / cdiv 11801  2c2 12230  expce 16020  sincsin 16022  cosccos 16023  tanctan 16024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-tan 16030

This theorem is referenced by:  tanhbnd  16122