Theorem smfsuplem2 47526

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem2	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2

Dummy variables ℎ 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
2		smfsuplem2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsuplem2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsuplem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7		mnfxr 11261	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9		smfsuplem2.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9, 5, 6	iocborel 47070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	smfpimcc 47522	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))))
12		smfsuplem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
15	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16		smfsuplem2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	dmeqd 5895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
19	18	cbviinv 5004	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
21		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
22	21	breq1d 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
24	17	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
25	24	breq1d 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
26	25	cbvralvw 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
28	23, 27	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
29	28	rexbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
30	20, 29	cbvrabv2w 45846	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
31	16, 30	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32		smfsuplem2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
33	21	mpteq2dv 5205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34	24	cbvmptv 5215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
36	33, 35	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
37	36	rneqd 5928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
38	37	supeq1d 9402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
39	38	cbvmptv 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
40	32, 39	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
41	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → ℎ:𝑍⟶𝑆)
43		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))
44	17	cnveqd 5861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ◡(𝐹‘𝑛) = ◡(𝐹‘𝑚))
45	44	imaeq1d 6061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ℎ‘𝑛) = (ℎ‘𝑚))
47	46, 18	ineq12d 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
48	45, 47	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚))))
49	48	rspccva 3580	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
50	43, 49	sylancom 599	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
51	13, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50	smfsuplem1 47525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	51	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
53	52	exlimdv 1963	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
54	11, 53	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∩ cin 3904  ∩ ciin 4957   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  supcsup 9396  ℝcr 11094  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  (,)cioo 13367  (,]cioc 13368   ↾_t crest 17468  topGenctg 17485  SAlgcsalg 47022  SalGencsalgen 47026  SMblFncsmblfn 47409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-fl 13821  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-top 23051  df-bases 23103  df-salg 47023  df-salgen 47027  df-smblfn 47410

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  47527