Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem2 45607
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfsuplem2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfsuplem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfsuplem2.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
smfsuplem2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfsuplem2 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,π‘₯   𝑛,𝐹,𝑦,π‘₯   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,π‘₯   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐴(π‘₯)   𝐷(𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2
Dummy variables β„Ž π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
2 smfsuplem2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 smfsuplem2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsuplem2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
5 eqid 2732 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
6 eqid 2732 . . 3 (SalGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (SalGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
7 mnfxr 11273 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
9 smfsuplem2.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9, 5, 6iocborel 45151 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10smfpimcc 45603 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
12 smfsuplem2.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1312adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
143adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
154adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
16 smfsuplem2.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
1817dmeqd 5905 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘š))
1918cbviinv 5044 . . . . . . . 8 ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) = ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) = ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š))
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
2221breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2322ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2417fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
2524breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2625cbvralvw 3234 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦)
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2823, 27bitrd 278 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2928rexbidv 3178 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
3020, 29cbvrabv2w 43899 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} = {𝑀 ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦}
3116, 30eqtri 2760 . . . . 5 𝐷 = {𝑀 ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦}
32 smfsuplem2.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
3321mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)))
3424cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
3633, 35eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
3736rneqd 5937 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
3837supeq1d 9443 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)), ℝ, < ))
3938cbvmptv 5261 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)), ℝ, < ))
4032, 39eqtri 2760 . . . . 5 𝐺 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)), ℝ, < ))
419adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
42 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ β„Ž:π‘βŸΆπ‘†)
43 simplrr 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
4417cnveqd 5875 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ β—‘(πΉβ€˜π‘›) = β—‘(πΉβ€˜π‘š))
4544imaeq1d 6058 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)))
46 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (β„Žβ€˜π‘›) = (β„Žβ€˜π‘š))
4746, 18ineq12d 4213 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
4845, 47eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ ((β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) ↔ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
4948rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
5043, 49sylancom 588 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
5113, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50smfsuplem1 45606 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5251ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5352exlimdv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5411, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„cr 11111  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  (,)cioo 13326  (,]cioc 13327   β†Ύt crest 17368  topGenctg 17385  SAlgcsalg 45103  SalGencsalgen 45107  SMblFncsmblfn 45490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-fl 13759  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-top 22403  df-bases 22456  df-salg 45104  df-salgen 45108  df-smblfn 45491
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  45608
  Copyright terms: Public domain W3C validator