Theorem smfsuplem2 47383

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem2	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2

Dummy variables ℎ 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
2		smfsuplem2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsuplem2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsuplem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7		mnfxr 11239	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9		smfsuplem2.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9, 5, 6	iocborel 46927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	smfpimcc 47379	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))))
12		smfsuplem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
15	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16		smfsuplem2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	dmeqd 5881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
19	18	cbviinv 4997	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
21		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
22	21	breq1d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
24	17	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
25	24	breq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
26	25	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
28	23, 27	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
29	28	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
30	20, 29	cbvrabv2w 45703	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
31	16, 30	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32		smfsuplem2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
33	21	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34	24	cbvmptv 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
36	33, 35	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
37	36	rneqd 5914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
38	37	supeq1d 9392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
39	38	cbvmptv 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
40	32, 39	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
41	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		simprl 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → ℎ:𝑍⟶𝑆)
43		simplrr 787	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))
44	17	cnveqd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ◡(𝐹‘𝑛) = ◡(𝐹‘𝑚))
45	44	imaeq1d 6048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ℎ‘𝑛) = (ℎ‘𝑚))
47	46, 18	ineq12d 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
48	45, 47	eqeq12d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚))))
49	48	rspccva 3580	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
50	43, 49	sylancom 597	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
51	13, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50	smfsuplem1 47382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	51	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
53	52	exlimdv 1953	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
54	11, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3414   ∩ cin 3903  ∩ ciin 4950   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ran crn 5648   “ cima 5650  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  supcsup 9386  ℝcr 11072  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  (,)cioo 13349  (,]cioc 13350   ↾_t crest 17449  topGenctg 17466  SAlgcsalg 46879  SalGencsalgen 46883  SMblFncsmblfn 47266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-ac2 10420  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-fl 13802  df-rest 17451  df-topgen 17472  df-top 22951  df-bases 23003  df-salg 46880  df-salgen 46884  df-smblfn 47267

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  47384