Theorem smfsuplem2 43443

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem2	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2

Dummy variables ℎ 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2955	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
2		smfsuplem2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsuplem2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsuplem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7		mnfxr 10687	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9		smfsuplem2.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9, 5, 6	iocborel 42996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	smfpimcc 43439	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))))
12		smfsuplem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
15	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16		smfsuplem2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	dmeqd 5738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
19	18	cbviinv 4928	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
21		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
22	21	breq1d 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
24	17	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
25	24	breq1d 5040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
26	25	cbvralvw 3396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
28	23, 27	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
29	28	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
30	20, 29	cbvrabv2w 41763	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
31	16, 30	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32		smfsuplem2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
33	21	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34	24	cbvmptv 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
36	33, 35	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
37	36	rneqd 5772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
38	37	supeq1d 8894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
39	38	cbvmptv 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
40	32, 39	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
41	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → ℎ:𝑍⟶𝑆)
43		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))
44	17	cnveqd 5710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ◡(𝐹‘𝑛) = ◡(𝐹‘𝑚))
45	44	imaeq1d 5895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ℎ‘𝑛) = (ℎ‘𝑚))
47	46, 18	ineq12d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
48	45, 47	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚))))
49	48	rspccva 3570	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
50	43, 49	sylancom 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
51	13, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50	smfsuplem1 43442	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	51	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
53	52	exlimdv 1934	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
54	11, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∩ cin 3880  ∩ ciin 4882   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  ℝcr 10525  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727   ↾_t crest 16686  topGenctg 16703  SAlgcsalg 42950  SalGencsalgen 42954  SMblFncsmblfn 43334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-fl 13157  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-top 21499  df-bases 21551  df-salg 42951  df-salgen 42955  df-smblfn 43335

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  43444