Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem2 45828
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfsuplem2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfsuplem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfsuplem2.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
smfsuplem2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfsuplem2 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,π‘₯   𝑛,𝐹,𝑦,π‘₯   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,π‘₯   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝐴(π‘₯)   𝐷(𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2
Dummy variables β„Ž π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . 3 Ⅎ𝑛𝐹
2 smfsuplem2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 smfsuplem2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsuplem2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
5 eqid 2731 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
6 eqid 2731 . . 3 (SalGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (SalGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
7 mnfxr 11276 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
9 smfsuplem2.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9, 5, 6iocborel 45372 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10smfpimcc 45824 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))))
12 smfsuplem2.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
143adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
154adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
16 smfsuplem2.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
17 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
1817dmeqd 5906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ dom (πΉβ€˜π‘›) = dom (πΉβ€˜π‘š))
1918cbviinv 5045 . . . . . . . 8 ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) = ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) = ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š))
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€))
2221breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2322ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2417fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
2524breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2625cbvralvw 3233 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦)
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2823, 27bitrd 278 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
2928rexbidv 3177 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦))
3020, 29cbvrabv2w 44120 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} = {𝑀 ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦}
3116, 30eqtri 2759 . . . . 5 𝐷 = {𝑀 ∈ ∩ π‘š ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€) ≀ 𝑦}
32 smfsuplem2.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
3321mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)))
3424cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€))
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘€)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
3633, 35eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
3736rneqd 5938 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)))
3837supeq1d 9444 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)), ℝ, < ))
3938cbvmptv 5262 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)), ℝ, < ))
4032, 39eqtri 2759 . . . . 5 𝐺 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘€)), ℝ, < ))
419adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
42 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ β„Ž:π‘βŸΆπ‘†)
43 simplrr 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))
4417cnveqd 5876 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ β—‘(πΉβ€˜π‘›) = β—‘(πΉβ€˜π‘š))
4544imaeq1d 6059 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)))
46 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (β„Žβ€˜π‘›) = (β„Žβ€˜π‘š))
4746, 18ineq12d 4214 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
4845, 47eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ ((β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) ↔ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š))))
4948rspccva 3612 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
5043, 49sylancom 587 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (β—‘(πΉβ€˜π‘š) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘š) ∩ dom (πΉβ€˜π‘š)))
5113, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50smfsuplem1 45827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5251ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5352exlimdv 1935 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (β—‘(πΉβ€˜π‘›) β€œ (-∞(,]𝐴)) = ((β„Žβ€˜π‘›) ∩ dom (πΉβ€˜π‘›))) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5411, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   ∩ cin 3948  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  β„cr 11112  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  SAlgcsalg 45324  SalGencsalgen 45328  SMblFncsmblfn 45711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-fl 13762  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-top 22617  df-bases 22670  df-salg 45325  df-salgen 45329  df-smblfn 45712
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  45829
  Copyright terms: Public domain W3C validator