Theorem smfsuplem2 43925

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem2	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2

Dummy variables ℎ 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
2		smfsuplem2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsuplem2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsuplem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7		mnfxr 10789	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9		smfsuplem2.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9, 5, 6	iocborel 43478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	smfpimcc 43921	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))))
12		smfsuplem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
15	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16		smfsuplem2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17		fveq2 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	dmeqd 5758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
19	18	cbviinv 4937	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
21		fveq2 6687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
22	21	breq1d 5050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
24	17	fveq1d 6689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
25	24	breq1d 5050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
26	25	cbvralvw 3350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
28	23, 27	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
29	28	rexbidv 3208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
30	20, 29	cbvrabv2w 42256	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
31	16, 30	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32		smfsuplem2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
33	21	mpteq2dv 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34	24	cbvmptv 5143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
36	33, 35	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
37	36	rneqd 5791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
38	37	supeq1d 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
39	38	cbvmptv 5143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
40	32, 39	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
41	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → ℎ:𝑍⟶𝑆)
43		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))
44	17	cnveqd 5728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ◡(𝐹‘𝑛) = ◡(𝐹‘𝑚))
45	44	imaeq1d 5912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46		fveq2 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ℎ‘𝑛) = (ℎ‘𝑚))
47	46, 18	ineq12d 4114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
48	45, 47	eqeq12d 2755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚))))
49	48	rspccva 3528	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
50	43, 49	sylancom 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
51	13, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50	smfsuplem1 43924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	51	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
53	52	exlimdv 1940	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
54	11, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  {crab 3058   ∩ cin 3852  ∩ ciin 4892   class class class wbr 5040   ↦ cmpt 5120  ^◡ccnv 5534  dom cdm 5535  ran crn 5536   “ cima 5538  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  supcsup 8990  ℝcr 10627  -∞cmnf 10764  ℝ^*cxr 10765   < clt 10766   ≤ cle 10767  ℤcz 12075  ℤ_≥cuz 12337  (,)cioo 12834  (,]cioc 12835   ↾_t crest 16810  topGenctg 16827  SAlgcsalg 43432  SalGencsalgen 43436  SMblFncsmblfn 43816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-ac2 9976  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-oadd 8148  df-omul 8149  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-acn 9457  df-ac 9629  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-ioo 12838  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-fl 13266  df-rest 16812  df-topgen 16833  df-top 21658  df-bases 21710  df-salg 43433  df-salgen 43437  df-smblfn 43817

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  43926