Theorem dfgcd3 37780

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 16523	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
4		iddvds 16286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∥ 𝑑)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∥ 𝑑)
6		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
7		breq1 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 ∥ 𝑑))
8		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑑 ∥ 𝑀))
9		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑑 ∥ 𝑁))
10	8, 9	anbi12d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁)))
11	7, 10	bibi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))))
12	11	rspcv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))))
13	3, 6, 12	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁)))
14	5, 13	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))
15		biimpr 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
16	15	ralimi 3098	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
17	6, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
18		dfgcd2 16563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
20		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
21	20	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑑)
22	21	3biant1d 1498	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑)) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
23	19, 22	bitr4d 284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
25	14, 17, 24	mpbir2and 723	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁))
26	25	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
27		dvdsgcdb 16562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
28	27	bicomd 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
29	28	3coml 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
30	29	ad4ant124 1186	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
31		breq2 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
32	31	bibi1d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
33	32	ad2antlr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
34	30, 33	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
35	34	ralrimiva 3153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
36	35	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
37	36	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
38	26, 37	impbid 214	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
39	1, 38	riota5 7378	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = (𝑀 gcd 𝑁))
40	39	eqcomd 2767	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   class class class wbr 5099  ℩crio 7348  (class class class)co 7392  0cc0 11070   ≤ cle 11214  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565   ∥ cdvds 16269   gcd cgcd 16511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512

This theorem is referenced by: (None)