Theorem dfgcd3 36711

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 16451	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
4		iddvds 16217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∥ 𝑑)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∥ 𝑑)
6		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
7		breq1 5144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 ∥ 𝑑))
8		breq1 5144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑑 ∥ 𝑀))
9		breq1 5144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑑 ∥ 𝑁))
10	8, 9	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁)))
11	7, 10	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))))
12	11	rspcv 3602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))))
13	3, 6, 12	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁)))
14	5, 13	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))
15		biimpr 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
16	15	ralimi 3077	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
17	6, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
18		dfgcd2 16492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
21	20	nn0ge0d 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑑)
22	21	3biant1d 1474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑)) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
23	19, 22	bitr4d 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
25	14, 17, 24	mpbir2and 710	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
27		dvdsgcdb 16491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
28	27	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
29	28	3coml 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
30	29	ad4ant124 1170	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
31		breq2 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
32	31	bibi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
33	32	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
34	30, 33	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
35	34	ralrimiva 3140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
38	26, 37	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
39	1, 38	riota5 7390	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = (𝑀 gcd 𝑁))
40	39	eqcomd 2732	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ℩crio 7359  (class class class)co 7404  0cc0 11109   ≤ cle 11250  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559   ∥ cdvds 16201   gcd cgcd 16439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440

This theorem is referenced by: (None)