Theorem dfgcd3 35795

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 16386	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12525	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
4		iddvds 16152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∥ 𝑑)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∥ 𝑑)
6		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
7		breq1 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 ∥ 𝑑))
8		breq1 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑑 ∥ 𝑀))
9		breq1 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑑 ∥ 𝑁))
10	8, 9	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁)))
11	7, 10	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))))
12	11	rspcv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))))
13	3, 6, 12	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁)))
14	5, 13	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁))
15		biimpr 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
16	15	ralimi 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
17	6, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))
18		dfgcd2 16427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
20		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
21	20	nn0ge0d 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑑)
22	21	3biant1d 1478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑)) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
23	19, 22	bitr4d 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
24	23	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑 ∥ 𝑀 ∧ 𝑑 ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) → 𝑧 ∥ 𝑑))))
25	14, 17, 24	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁))
26	25	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
27		dvdsgcdb 16426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
28	27	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
29	28	3coml 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
30	29	ad4ant124 1173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
31		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
32	31	bibi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
33	32	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
34	30, 33	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
35	34	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
36	35	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
37	36	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
38	26, 37	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
39	1, 38	riota5 7343	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = (𝑀 gcd 𝑁))
40	39	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5105  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  0cc0 11051   ≤ cle 11190  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499   ∥ cdvds 16136   gcd cgcd 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375

This theorem is referenced by: (None)