Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfgcd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfgcd3 36836
Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16488 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12622 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
4 iddvds 16254 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑𝑑)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑𝑑)
6 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
7 breq1 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑑 → (𝑧𝑑𝑑𝑑))
8 breq1 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑑 → (𝑧𝑀𝑑𝑀))
9 breq1 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑑 → (𝑧𝑁𝑑𝑁))
108, 9anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ (𝑑𝑀𝑑𝑁)))
117, 10bibi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑑 → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ (𝑑𝑑 ↔ (𝑑𝑀𝑑𝑁))))
1211rspcv 3607 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → (𝑑𝑑 ↔ (𝑑𝑀𝑑𝑁))))
133, 6, 12sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (𝑑𝑑 ↔ (𝑑𝑀𝑑𝑁)))
145, 13mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (𝑑𝑀𝑑𝑁))
15 biimpr 219 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))
1615ralimi 3080 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))
176, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))
18 dfgcd2 16529 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑𝑀𝑑𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))))
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑𝑀𝑑𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))))
20 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 12573 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑑)
22213biant1d 1474 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (((𝑑𝑀𝑑𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑)) ↔ (0 ≤ 𝑑 ∧ (𝑑𝑀𝑑𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))))
2319, 22bitr4d 281 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑𝑀𝑑𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))))
2423adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ ((𝑑𝑀𝑑𝑁) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑀𝑧𝑁) → 𝑧𝑑))))
2514, 17, 24mpbir2and 711 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁))
2625ex 411 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
27 dvdsgcdb 16528 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
2827bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
29283coml 1124 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
3029ad4ant124 1170 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
31 breq2 5156 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑧𝑑𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
3231bibi1d 342 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
3430, 33mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
3534ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
3635ex 411 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
3736adantr 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
3826, 37impbid 211 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ 𝑑 = (𝑀 gcd 𝑁)))
391, 38riota5 7412 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) = (𝑀 gcd 𝑁))
4039eqcomd 2734 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058   class class class wbr 5152  crio 7381  (class class class)co 7426  0cc0 11146  cle 11287  0cn0 12510  cz 12596  cdvds 16238   gcd cgcd 16476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator