Theorem islshpkrN 39107

Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be 𝑈 = (𝐾‘𝑔) or (𝐾‘𝑔) = 𝑈 as in lshpkrex 39105? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islshpkrN	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem islshpkrN

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpset2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3		lshpset2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
4		lshpset2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpset2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lshpset2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lshpset2N 39106	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})
8	7	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}))
9		elex 3465	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} → 𝑈 ∈ V)
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}) → 𝑈 ∈ V)
11		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾‘𝑔) ∈ V
12		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → (𝑈 ∈ V ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → 𝑈 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3130	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))) → 𝑈 ∈ V)
17		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑠 = (𝐾‘𝑔) ↔ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)))
18	17	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
19	18	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
20	19	elabg 3640	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
21	10, 16, 20	pm5.21nd 801	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
22	8, 21	bitrd 279	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  Basecbs 17156  Scalarcsca 17200  0_gc0g 17379  LVecclvec 21042  LSHypclsh 38962  LFnlclfn 39044  LKerclk 39072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17381  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19232  df-lsm 19551  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-oppr 20258  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lvec 21043  df-lshyp 38964  df-lfl 39045  df-lkr 39073

This theorem is referenced by: (None)