Theorem islshpkrN 39084

Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be 𝑈 = (𝐾‘𝑔) or (𝐾‘𝑔) = 𝑈 as in lshpkrex 39082? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islshpkrN	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem islshpkrN

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpset2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3		lshpset2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
4		lshpset2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpset2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lshpset2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lshpset2N 39083	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})
8	7	eleq2d 2820	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}))
9		elex 3480	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} → 𝑈 ∈ V)
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}) → 𝑈 ∈ V)
11		fvex 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾‘𝑔) ∈ V
12		eleq1 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → (𝑈 ∈ V ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → 𝑈 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3137	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))) → 𝑈 ∈ V)
17		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑠 = (𝐾‘𝑔) ↔ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)))
18	17	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
19	18	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
20	19	elabg 3655	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
21	10, 16, 20	pm5.21nd 801	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
22	8, 21	bitrd 279	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  {csn 4601   × cxp 5652  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  Scalarcsca 17272  0_gc0g 17451  LVecclvec 21058  LSHypclsh 38939  LFnlclfn 39021  LKerclk 39049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19104  df-cntz 19298  df-lsm 19615  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-drng 20689  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059  df-lshyp 38941  df-lfl 39022  df-lkr 39050

This theorem is referenced by: (None)