Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpkrN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islshpkrN 38503
Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”) or (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ as in lshpkrex 38501? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpset2.z 0 = (0gβ€˜π·)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lshpset2.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islshpkrN (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,π‘Š   π‘ˆ,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)
Proof of Theorem islshpkrN
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpset2.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lshpset2.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
4 lshpset2.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
5 lshpset2.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
6 lshpset2.k . . . 4 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6lshpset2N 38502 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐻 = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))})
87eleq2d 2813 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))}))
9 elex 3487 . . . 4 (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))} β†’ π‘ˆ ∈ V)
109adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))}) β†’ π‘ˆ ∈ V)
11 fvex 6898 . . . . . . 7 (πΎβ€˜π‘”) ∈ V
12 eleq1 2815 . . . . . . 7 (π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (π‘ˆ ∈ V ↔ (πΎβ€˜π‘”) ∈ V))
1311, 12mpbiri 258 . . . . . 6 (π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1514rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1615adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ π‘ˆ ∈ V)
17 eqeq1 2730 . . . . . 6 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) ↔ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”)))
1817anbi2d 628 . . . . 5 (𝑠 = π‘ˆ β†’ ((𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) ↔ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
1918rexbidv 3172 . . . 4 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
2019elabg 3661 . . 3 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
2110, 16, 20pm5.21nd 799 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
228, 21bitrd 279 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  0gc0g 17394  LVecclvec 20950  LSHypclsh 38358  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360  df-lfl 38441  df-lkr 38469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator