Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpkrN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpkrN 36136
Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be 𝑈 = (𝐾𝑔) or (𝐾𝑔) = 𝑈 as in lshpkrex 36134? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z 0 = (0g𝐷)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islshpkrN (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊   𝑈,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem islshpkrN
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpset2.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3 lshpset2.z . . . 4 0 = (0g𝐷)
4 lshpset2.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5 lshpset2.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6 lshpset2.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6lshpset2N 36135 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
87eleq2d 2895 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))}))
9 elex 3510 . . . 4 (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))} → 𝑈 ∈ V)
109adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))}) → 𝑈 ∈ V)
11 fvex 6676 . . . . . . 7 (𝐾𝑔) ∈ V
12 eleq1 2897 . . . . . . 7 (𝑈 = (𝐾𝑔) → (𝑈 ∈ V ↔ (𝐾𝑔) ∈ V))
1311, 12mpbiri 259 . . . . . 6 (𝑈 = (𝐾𝑔) → 𝑈 ∈ V)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
1514rexlimivw 3279 . . . 4 (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
1615adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))) → 𝑈 ∈ V)
17 eqeq1 2822 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (𝑠 = (𝐾𝑔) ↔ 𝑈 = (𝐾𝑔)))
1817anbi2d 628 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) ↔ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))))
1918rexbidv 3294 . . . 4 (𝑠 = 𝑈 → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))))
2019elabg 3663 . . 3 (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))} ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))))
2110, 16, 20pm5.21nd 798 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))} ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))))
228, 21bitrd 280 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾𝑔))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701  LVecclvec 19803  LSHypclsh 35991  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lshyp 35993  df-lfl 36074  df-lkr 36102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator