Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpkrN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islshpkrN 38648
Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”) or (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ as in lshpkrex 38646? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpset2.z 0 = (0gβ€˜π·)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lshpset2.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islshpkrN (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,π‘Š   π‘ˆ,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)
Proof of Theorem islshpkrN
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpset2.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lshpset2.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
4 lshpset2.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
5 lshpset2.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
6 lshpset2.k . . . 4 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6lshpset2N 38647 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐻 = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))})
87eleq2d 2811 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))}))
9 elex 3482 . . . 4 (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))} β†’ π‘ˆ ∈ V)
109adantl 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))}) β†’ π‘ˆ ∈ V)
11 fvex 6905 . . . . . . 7 (πΎβ€˜π‘”) ∈ V
12 eleq1 2813 . . . . . . 7 (π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (π‘ˆ ∈ V ↔ (πΎβ€˜π‘”) ∈ V))
1311, 12mpbiri 257 . . . . . 6 (π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1413adantl 480 . . . . 5 ((𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1514rexlimivw 3141 . . . 4 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
1615adantl 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ π‘ˆ ∈ V)
17 eqeq1 2729 . . . . . 6 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) ↔ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”)))
1817anbi2d 628 . . . . 5 (𝑠 = π‘ˆ β†’ ((𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) ↔ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
1918rexbidv 3169 . . . 4 (𝑠 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
2019elabg 3657 . . 3 (π‘ˆ ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
2110, 16, 20pm5.21nd 800 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))} ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
228, 21bitrd 278 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ π‘ˆ = (πΎβ€˜π‘”))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  {csn 4624   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  0gc0g 17420  LVecclvec 20991  LSHypclsh 38503  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lshyp 38505  df-lfl 38586  df-lkr 38614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator