Theorem islshpkrN 39995

Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be 𝑈 = (𝐾‘𝑔) or (𝐾‘𝑔) = 𝑈 as in lshpkrex 39993? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islshpkrN	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem islshpkrN

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpset2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3		lshpset2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
4		lshpset2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpset2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lshpset2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lshpset2N 39994	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})
8	7	eleq2d 2848	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}))
9		elex 3474	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} → 𝑈 ∈ V)
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}) → 𝑈 ∈ V)
11		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾‘𝑔) ∈ V
12		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → (𝑈 ∈ V ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → 𝑈 ∈ V)
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3161	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))) → 𝑈 ∈ V)
17		eqeq1 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑠 = (𝐾‘𝑔) ↔ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)))
18	17	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
19	18	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
20	19	elabg 3633	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
21	10, 16, 20	pm5.21nd 814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
22	8, 21	bitrd 282	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349  0_gc0g 17528  LVecclvec 21290  LSHypclsh 39850  LFnlclfn 39932  LKerclk 39960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-lsm 19767  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-drng 20896  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-lvec 21291  df-lshyp 39852  df-lfl 39933  df-lkr 39961

This theorem is used by: (None)