Theorem lshpkrex 39104

Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrex.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrex.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpkrex.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrex	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem lshpkrex

Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lveclmod 21045	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 38966	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))))
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
9	7, 8	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)))
10	9	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
11		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simp1r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐻)
14		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))
20		lshpkrex.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
21	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkrcl 39102	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22		lshpkrex.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
23	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	lshpkr 39103	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈)
24		fveqeq2 6849	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑈 ↔ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈))
25	24	rspcev 3585	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
26	21, 23, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
27	26	rexlimdv3a 3138	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈))
28	10, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  LSSumclsm 19548  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909  LVecclvec 21041  LSHypclsh 38961  LFnlclfn 39043  LKerclk 39071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lshyp 38963  df-lfl 39044  df-lkr 39072

This theorem is referenced by:  lshpset2N  39105  mapdordlem2  41624