Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrex Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpkrex 38292
Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrex.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrex.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lshpkrex.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lshpkrex ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   π‘ˆ,𝑔   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)
Proof of Theorem lshpkrex
Dummy variables 𝑧 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2731 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 eqid 2731 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 eqid 2731 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrex.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lveclmod 20862 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 38154 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š))))
8 simp3 1137 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š))
97, 8syl6bi 253 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)))
109imp 406 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š))
11 eqid 2731 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
12 simp1l 1196 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
13 simp1r 1197 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
14 simp2 1136 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
15 simp3 1137 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š))
16 eqid 2731 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
17 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
18 eqid 2731 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
19 eqid 2731 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
20 lshpkrex.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
211, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20lshpkrcl 38290 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22 lshpkrex.k . . . . 5 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
231, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22lshpkr 38291 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))) = π‘ˆ)
24 fveqeq2 6900 . . . . 5 (𝑔 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)))) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ ↔ (πΎβ€˜(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))) = π‘ˆ))
2524rspcev 3612 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (πΎβ€˜(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (β„©π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))) = π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ)
2621, 23, 25syl2anc 583 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ)
2726rexlimdv3a 3158 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(π‘ˆ(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑧})) = (Baseβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ))
2810, 27mpd 15 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  LSSumclsm 19544  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LVecclvec 20858  LSHypclsh 38149  LFnlclfn 38231  LKerclk 38259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lshyp 38151  df-lfl 38232  df-lkr 38260
This theorem is referenced by:  lshpset2N  38293  mapdordlem2  40812
  Copyright terms: Public domain W3C validator