Theorem lshpkrex 39954

Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrex.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrex.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpkrex.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrex	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem lshpkrex

Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lveclmod 21281	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 39816	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))))
8		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
9	7, 8	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)))
10	9	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
11		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simp1r 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐻)
14		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
16		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))
20		lshpkrex.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
21	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkrcl 39952	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22		lshpkrex.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
23	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	lshpkr 39953	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈)
24		fveqeq2 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑈 ↔ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈))
25	24	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
26	21, 23, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
27	26	rexlimdv3a 3172	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈))
28	10, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336  Scalarcsca 17339   ·_𝑠 cvsca 17340  LSSumclsm 19752  LSubSpclss 21106  LSpanclspn 21146  LVecclvec 21277  LSHypclsh 39811  LFnlclfn 39893  LKerclk 39921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-lsm 19754  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-drng 20883  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-lsp 21147  df-lvec 21278  df-lshyp 39813  df-lfl 39894  df-lkr 39922

This theorem is used by:  lshpset2N  39955  mapdordlem2  42473