Theorem lshpkrex 39816

Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrex.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrex.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpkrex.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrex	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem lshpkrex

Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lveclmod 21205	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 39678	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))))
8		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
9	7, 8	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)))
10	9	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		simp1l 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simp1r 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐻)
14		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
16		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))
20		lshpkrex.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
21	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkrcl 39814	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22		lshpkrex.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
23	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	lshpkr 39815	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈)
24		fveqeq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑈 ↔ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈))
25	24	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
26	21, 23, 25	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
27	26	rexlimdv3a 3176	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈))
28	10, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  LSSumclsm 19704  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070  LVecclvec 21201  LSHypclsh 39673  LFnlclfn 39755  LKerclk 39783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-lsm 19706  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lvec 21202  df-lshyp 39675  df-lfl 39756  df-lkr 39784

This theorem is referenced by:  lshpset2N  39817  mapdordlem2  42335