Theorem lshpkrex 37132

Description: There exists a functional whose kernel equals a given hyperplane. Part of Th. 1.27 of Barbu and Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrex.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrex.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpkrex.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrex	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem lshpkrex

Dummy variables 𝑧 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrex.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lveclmod 20368	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islshpsm 36994	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))))
8		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
9	7, 8	syl6bi 252	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)))
10	9	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		simp1l 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simp1r 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐻)
14		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
15		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊))
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))
20		lshpkrex.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
21	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkrcl 37130	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹)
22		lshpkrex.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
23	1, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	lshpkr 37131	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈)
24		fveqeq2 6783	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑈 ↔ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈))
25	24	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)))) ∈ 𝐹 ∧ (𝐾‘(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (℩𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧))))) = 𝑈) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
26	21, 23, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊)) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)
27	26	rexlimdv3a 3215	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑊)(𝑈(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑧})) = (Base‘𝑊) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈))
28	10, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  LSSumclsm 19239  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSHypclsh 36989  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lshyp 36991  df-lfl 37072  df-lkr 37100

This theorem is referenced by:  lshpset2N  37133  mapdordlem2  39651