Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpcmp 36303
 Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpcmp.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpcmp.t (𝜑𝑇𝐻)
lshpcmp.u (𝜑𝑈𝐻)
Assertion
Ref Expression
lshpcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lshpcmp.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpcmp.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19875 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lshpcmp.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝐻)
71, 2, 5, 6lshpne 36297 . . . 4 (𝜑𝑈 ≠ (Base‘𝑊))
8 eqid 2798 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
98, 2, 5, 6lshplss 36296 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
101, 8lssss 19705 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12 lshpcmp.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝐻)
13 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
14 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
151, 13, 8, 14, 2, 5islshpsm 36295 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))))
1612, 15mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊)))
1716simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
1918adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) → (𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
203adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
218, 2, 5, 12lshplss 36296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
239adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
251, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24lsmcv 19910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2619, 25syl3an1 1160 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
27263expia 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
28 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
2928sseq2d 3947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)))
3028eqeq2d 2809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 = (Base‘𝑊)))
3127, 29, 303imtr3d 296 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
3231exp42 439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) → ((𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))))
3332rexlimdv 3242 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))))
3417, 33mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))
3511, 34mpid 44 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑈 = (Base‘𝑊)))
3635necon3ad 3000 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ≠ (Base‘𝑊) → ¬ 𝑇𝑈))
377, 36mpd 15 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑇𝑈)
38 df-pss 3900 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈𝑇𝑈))
3938simplbi2 504 . . . 4 (𝑇𝑈 → (𝑇𝑈𝑇𝑈))
4039necon1bd 3005 . . 3 (𝑇𝑈 → (¬ 𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
4137, 40syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
42 eqimss 3971 . 2 (𝑇 = 𝑈𝑇𝑈)
4341, 42impbid1 228 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  {csn 4525  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  LSSumclsm 18755  LModclmod 19631  LSubSpclss 19700  LSpanclspn 19740  LVecclvec 19871  LSHypclsh 36290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lshyp 36292 This theorem is referenced by:  lshpinN  36304  lfl1dim  36436  lfl1dim2N  36437  lkrpssN  36478  dochlkr  38700  dochsatshpb  38767  lcfl9a  38820  lclkrlem2e  38826  lclkrlem2g  38828  lclkrlem2s  38840  lcfrlem25  38882  lcfrlem35  38892  hdmaplkr  39228
 Copyright terms: Public domain W3C validator