Theorem lshpcmp 39624

Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpcmp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpcmp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpcmp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21196	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lshpcmp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
7	1, 2, 5, 6	lshpne 39618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ (Base‘𝑊))
8		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	8, 2, 5, 6	lshplss 39617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	1, 8	lssss 21026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12		lshpcmp.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
13		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
14		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
15	1, 13, 8, 14, 2, 5	islshpsm 39616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))))
16	12, 15	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊)))
17	16	simp3d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
18		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
19	18	adantrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
20	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
21	8, 2, 5, 12	lshplss 39617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
25	1, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24	lsmcv 21234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	19, 25	syl3an1 1179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
27	26	3expia 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
28		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
29	28	sseq2d 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)))
30	28	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 = (Base‘𝑊)))
31	27, 29, 30	3imtr3d 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
32	31	exp42 440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) → ((𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))))
33	32	rexlimdv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))))
34	17, 33	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))
35	11, 34	mpid 45	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
36	35	necon3ad 2973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ (Base‘𝑊) → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈))
37	7, 36	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈)
38		df-pss 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ≠ 𝑈))
39	38	simplbi2 505	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑇 ≠ 𝑈 → 𝑇 ⊊ 𝑈))
40	39	necon1bd 2978	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
41	37, 40	syl5com 32	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
42		eqimss 3997	. 2 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
43	41, 42	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   ⊊ wpss 3908  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  LSSumclsm 19695  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021  LSpanclspn 21061  LVecclvec 21192  LSHypclsh 39611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lvec 21193  df-lshyp 39613

This theorem is referenced by:  lshpinN  39625  lfl1dim  39757  lfl1dim2N  39758  lkrpssN  39799  dochlkr  42021  dochsatshpb  42088  lcfl9a  42141  lclkrlem2e  42147  lclkrlem2g  42149  lclkrlem2s  42161  lcfrlem25  42203  lcfrlem35  42213  hdmaplkr  42549