Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpcmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpcmp 37847
Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpcmp.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpcmp.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpcmp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
Assertion
Ref Expression
lshpcmp (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Proof of Theorem lshpcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpcmp.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
3 lshpcmp.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20710 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lshpcmp.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
71, 2, 5, 6lshpne 37841 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
98, 2, 5, 6lshplss 37840 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
101, 8lssss 20540 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 lshpcmp.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐻)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
151, 13, 8, 14, 2, 5islshpsm 37839 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑇 β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑇 β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š)))
1716simp3d 1145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)))
1918adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)))
203adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
218, 2, 5, 12lshplss 37840 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
239adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
251, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24lsmcv 20747 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
2619, 25syl3an1 1164 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
27263expia 1122 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
28 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))
2928sseq2d 4014 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
3028eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))
3127, 29, 303imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))
3231exp42 437 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) β†’ ((𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š) β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š))))))
3332rexlimdv 3154 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š) β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))))
3417, 33mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š))))
3511, 34mpid 44 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))
3635necon3ad 2954 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  (Baseβ€˜π‘Š) β†’ Β¬ 𝑇 ⊊ π‘ˆ))
377, 36mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
38 df-pss 3967 . . . . 5 (𝑇 ⊊ π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑇 β‰  π‘ˆ))
3938simplbi2 502 . . . 4 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑇 β‰  π‘ˆ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ))
4039necon1bd 2959 . . 3 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (Β¬ 𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ 𝑇 = π‘ˆ))
4137, 40syl5com 31 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ 𝑇 = π‘ˆ))
42 eqimss 4040 . 2 (𝑇 = π‘ˆ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
4341, 42impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  LSSumclsm 19497  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LSpanclspn 20575  LVecclvec 20706  LSHypclsh 37834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lshyp 37836
This theorem is referenced by:  lshpinN  37848  lfl1dim  37980  lfl1dim2N  37981  lkrpssN  38022  dochlkr  40245  dochsatshpb  40312  lcfl9a  40365  lclkrlem2e  40371  lclkrlem2g  40373  lclkrlem2s  40385  lcfrlem25  40427  lcfrlem35  40437  hdmaplkr  40773
  Copyright terms: Public domain W3C validator