Theorem lshpcmp 36739

Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpcmp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpcmp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpcmp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20143	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lshpcmp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
7	1, 2, 5, 6	lshpne 36733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ (Base‘𝑊))
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	8, 2, 5, 6	lshplss 36732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	1, 8	lssss 19973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12		lshpcmp.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
15	1, 13, 8, 14, 2, 5	islshpsm 36731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))))
16	12, 15	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊)))
17	16	simp3d 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
19	18	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
20	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
21	8, 2, 5, 12	lshplss 36732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
25	1, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24	lsmcv 20178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	19, 25	syl3an1 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
27	26	3expia 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
28		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
29	28	sseq2d 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)))
30	28	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 = (Base‘𝑊)))
31	27, 29, 30	3imtr3d 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
32	31	exp42 439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) → ((𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))))
33	32	rexlimdv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))))
34	17, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))
35	11, 34	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
36	35	necon3ad 2953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ (Base‘𝑊) → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈))
37	7, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈)
38		df-pss 3885	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ≠ 𝑈))
39	38	simplbi2 504	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑇 ≠ 𝑈 → 𝑇 ⊊ 𝑈))
40	39	necon1bd 2958	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
41	37, 40	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
42		eqimss 3957	. 2 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
43	41, 42	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866   ⊊ wpss 3867  {csn 4541  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  LSSumclsm 19023  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968  LSpanclspn 20008  LVecclvec 20139  LSHypclsh 36726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-lshyp 36728

This theorem is referenced by:  lshpinN  36740  lfl1dim  36872  lfl1dim2N  36873  lkrpssN  36914  dochlkr  39136  dochsatshpb  39203  lcfl9a  39256  lclkrlem2e  39262  lclkrlem2g  39264  lclkrlem2s  39276  lcfrlem25  39318  lcfrlem35  39328  hdmaplkr  39664