Theorem lshpcmp 39244

Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpcmp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpcmp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpcmp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21058	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lshpcmp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
7	1, 2, 5, 6	lshpne 39238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ (Base‘𝑊))
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	8, 2, 5, 6	lshplss 39237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	1, 8	lssss 20887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12		lshpcmp.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
15	1, 13, 8, 14, 2, 5	islshpsm 39236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))))
16	12, 15	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊)))
17	16	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
19	18	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
20	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
21	8, 2, 5, 12	lshplss 39237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
25	1, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24	lsmcv 21096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	19, 25	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
27	26	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
28		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
29	28	sseq2d 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)))
30	28	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 = (Base‘𝑊)))
31	27, 29, 30	3imtr3d 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
32	31	exp42 435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) → ((𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))))
33	32	rexlimdv 3135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))))
34	17, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))
35	11, 34	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
36	35	necon3ad 2945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ (Base‘𝑊) → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈))
37	7, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈)
38		df-pss 3921	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ≠ 𝑈))
39	38	simplbi2 500	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑇 ≠ 𝑈 → 𝑇 ⊊ 𝑈))
40	39	necon1bd 2950	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
41	37, 40	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
42		eqimss 3992	. 2 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
43	41, 42	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901   ⊊ wpss 3902  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  LSSumclsm 19563  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922  LVecclvec 21054  LSHypclsh 39231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lshyp 39233

This theorem is referenced by:  lshpinN  39245  lfl1dim  39377  lfl1dim2N  39378  lkrpssN  39419  dochlkr  41641  dochsatshpb  41708  lcfl9a  41761  lclkrlem2e  41767  lclkrlem2g  41769  lclkrlem2s  41781  lcfrlem25  41823  lcfrlem35  41833  hdmaplkr  42169