Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpcmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpcmp 38325
Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpcmp.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpcmp.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpcmp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
Assertion
Ref Expression
lshpcmp (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Proof of Theorem lshpcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpcmp.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
3 lshpcmp.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20950 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lshpcmp.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
71, 2, 5, 6lshpne 38319 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  (Baseβ€˜π‘Š))
8 eqid 2731 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
98, 2, 5, 6lshplss 38318 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
101, 8lssss 20779 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 lshpcmp.t . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐻)
13 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
14 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
151, 13, 8, 14, 2, 5islshpsm 38317 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑇 β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑇 β‰  (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š)))
1716simp3d 1143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)))
1918adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)))
203adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
218, 2, 5, 12lshplss 38318 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
239adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
251, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24lsmcv 20988 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
2619, 25syl3an1 1162 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})))
27263expia 1120 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) β†’ π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣}))))
28 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))
2928sseq2d 4014 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)))
3028eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ = (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) ↔ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))
3127, 29, 303imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š))) ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))
3231exp42 435 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) β†’ ((𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š) β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š))))))
3332rexlimdv 3152 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)(𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜{𝑣})) = (Baseβ€˜π‘Š) β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))))
3417, 33mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š))))
3511, 34mpid 44 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘Š)))
3635necon3ad 2952 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  (Baseβ€˜π‘Š) β†’ Β¬ 𝑇 ⊊ π‘ˆ))
377, 36mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
38 df-pss 3967 . . . . 5 (𝑇 ⊊ π‘ˆ ↔ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑇 β‰  π‘ˆ))
3938simplbi2 500 . . . 4 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑇 β‰  π‘ˆ β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ))
4039necon1bd 2957 . . 3 (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ (Β¬ 𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ 𝑇 = π‘ˆ))
4137, 40syl5com 31 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ 𝑇 = π‘ˆ))
42 eqimss 4040 . 2 (𝑇 = π‘ˆ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
4341, 42impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  LSSumclsm 19550  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946  LSHypclsh 38312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lshyp 38314
This theorem is referenced by:  lshpinN  38326  lfl1dim  38458  lfl1dim2N  38459  lkrpssN  38500  dochlkr  40723  dochsatshpb  40790  lcfl9a  40843  lclkrlem2e  40849  lclkrlem2g  40851  lclkrlem2s  40863  lcfrlem25  40905  lcfrlem35  40915  hdmaplkr  41251
  Copyright terms: Public domain W3C validator