Theorem lshpcmp 37002

Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpcmp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpcmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpcmp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpcmp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpcmp	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpcmp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lshpcmp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpcmp.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20368	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lshpcmp.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
7	1, 2, 5, 6	lshpne 36996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ (Base‘𝑊))
8		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	8, 2, 5, 6	lshplss 36995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	1, 8	lssss 20198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12		lshpcmp.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
15	1, 13, 8, 14, 2, 5	islshpsm 36994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))))
16	12, 15	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊)))
17	16	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
19	18	adantrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
20	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
21	8, 2, 5, 12	lshplss 36995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
25	1, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24	lsmcv 20403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
26	19, 25	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
27	26	3expia 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
28		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
29	28	sseq2d 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)))
30	28	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 = (Base‘𝑊)))
31	27, 29, 30	3imtr3d 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
32	31	exp42 436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) → ((𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))))
33	32	rexlimdv 3212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))))
34	17, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))
35	11, 34	mpid 44	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
36	35	necon3ad 2956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ (Base‘𝑊) → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈))
37	7, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ⊊ 𝑈)
38		df-pss 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 ↔ (𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ≠ 𝑈))
39	38	simplbi2 501	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑇 ≠ 𝑈 → 𝑇 ⊊ 𝑈))
40	39	necon1bd 2961	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (¬ 𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
41	37, 40	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 → 𝑇 = 𝑈))
42		eqimss 3977	. 2 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
43	41, 42	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  LSHypclsh 36989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lshyp 36991

This theorem is referenced by:  lshpinN  37003  lfl1dim  37135  lfl1dim2N  37136  lkrpssN  37177  dochlkr  39399  dochsatshpb  39466  lcfl9a  39519  lclkrlem2e  39525  lclkrlem2g  39527  lclkrlem2s  39539  lcfrlem25  39581  lcfrlem35  39591  hdmaplkr  39927