Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpcmp 34947
Description: If two hyperplanes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpcmp.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpcmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpcmp.t (𝜑𝑇𝐻)
lshpcmp.u (𝜑𝑈𝐻)
Assertion
Ref Expression
lshpcmp (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpcmp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lshpcmp.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpcmp.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19381 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lshpcmp.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝐻)
71, 2, 5, 6lshpne 34941 . . . 4 (𝜑𝑈 ≠ (Base‘𝑊))
8 eqid 2765 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
98, 2, 5, 6lshplss 34940 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
101, 8lssss 19209 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12 lshpcmp.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝐻)
13 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
14 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
151, 13, 8, 14, 2, 5islshpsm 34939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐻 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))))
1612, 15mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑇 ≠ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊)))
1716simp3d 1174 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
1918adantrr 708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) → (𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)))
203adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
218, 2, 5, 12lshplss 34940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
239adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
24 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
251, 8, 13, 14, 20, 22, 23, 24lsmcv 19417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
2619, 25syl3an1 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
27263expia 1150 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
28 simplrr 796 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))
2928sseq2d 3795 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 ⊆ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)))
3028eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 = (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ 𝑈 = (Base‘𝑊)))
3127, 29, 303imtr3d 284 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊))) ∧ 𝑇𝑈) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))
3231exp42 426 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) → ((𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))))
3332rexlimdv 3177 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)(𝑇(LSSum‘𝑊)((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (Base‘𝑊) → (𝑇𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊)))))
3417, 33mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑊))))
3511, 34mpid 44 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑈 = (Base‘𝑊)))
3635necon3ad 2950 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ≠ (Base‘𝑊) → ¬ 𝑇𝑈))
377, 36mpd 15 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑇𝑈)
38 df-pss 3750 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈𝑇𝑈))
3938simplbi2 494 . . . 4 (𝑇𝑈 → (𝑇𝑈𝑇𝑈))
4039necon1bd 2955 . . 3 (𝑇𝑈 → (¬ 𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
4137, 40syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
42 eqimss 3819 . 2 (𝑇 = 𝑈𝑇𝑈)
4341, 42impbid1 216 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  wss 3734  wpss 3735  {csn 4336  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  LSSumclsm 18316  LModclmod 19135  LSubSpclss 19204  LSpanclspn 19246  LVecclvec 19377  LSHypclsh 34934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-tpos 7557  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-0g 16371  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-subg 17858  df-cntz 18016  df-lsm 18318  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-drng 19021  df-lmod 19137  df-lss 19205  df-lsp 19247  df-lvec 19378  df-lshyp 34936
This theorem is referenced by:  lshpinN  34948  lfl1dim  35080  lfl1dim2N  35081  lkrpssN  35122  dochlkr  37344  dochsatshpb  37411  lcfl9a  37464  lclkrlem2e  37470  lclkrlem2g  37472  lclkrlem2s  37484  lcfrlem25  37526  lcfrlem35  37536  hdmaplkr  37872
  Copyright terms: Public domain W3C validator