Theorem dochshpncl 40749

Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpncl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpncl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochshpncl.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpncl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochshpncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dochshpncl	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Proof of Theorem dochshpncl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochshpncl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)
2		dochshpncl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
6		dochshpncl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		dochshpncl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochshpncl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochshpncl.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlmod 40475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	islshpsm 38344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12	1, 11	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉))
13	12	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	16	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
18	4, 6, 10, 1	lshplss 38345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	2, 4	lssss 20775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
21		dochshpncl.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
22	7, 8, 2, 21	dochocss 40731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
23	9, 20, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	24	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26		simp1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
28		df-pss 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
29	25, 27, 28	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
30	7, 8, 2, 21	dochssv 40720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
31	9, 20, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
32	7, 8, 2, 21	dochssv 40720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
33	9, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
36		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
37	35, 36	sseqtrrd 4016	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
38	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	7, 8, 38	dvhlvec 40474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LVec)
40	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	7, 8, 2, 4, 21	dochlss 40719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	9, 31, 41	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
45	2, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44	lsmcv 20984	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
46	17, 29, 37, 45	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
47	46, 36	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
48	47	rexlimdv3a 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	14, 48	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
50		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
51	2, 6, 10, 1	lshpne 38346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑉)
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑋 ≠ 𝑉)
53	52	necomd 2988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑉 ≠ 𝑋)
54	50, 53	eqnetrd 3000	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
55	49, 54	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3941   ⊊ wpss 3942  {csn 4621  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  LSSumclsm 19546  LSubSpclss 20770  LSpanclspn 20810  LSHypclsh 38339  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DVecHcdvh 40443  ocHcoch 40712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lshyp 38341  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713

This theorem is referenced by:  dochkrshp  40751  dochshpsat  40819