Theorem dochshpncl 41371

Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpncl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpncl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochshpncl.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpncl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochshpncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dochshpncl	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Proof of Theorem dochshpncl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochshpncl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)
2		dochshpncl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
6		dochshpncl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		dochshpncl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochshpncl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochshpncl.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlmod 41097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	islshpsm 38966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12	1, 11	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉))
13	12	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	16	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
18	4, 6, 10, 1	lshplss 38967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	2, 4	lssss 20874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
21		dochshpncl.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
22	7, 8, 2, 21	dochocss 41353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
23	9, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	24	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
28		df-pss 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
29	25, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
30	7, 8, 2, 21	dochssv 41342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
31	9, 20, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
32	7, 8, 2, 21	dochssv 41342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
33	9, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
36		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
37	35, 36	sseqtrrd 3981	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
38	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	7, 8, 38	dvhlvec 41096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LVec)
40	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	7, 8, 2, 4, 21	dochlss 41341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	9, 31, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
45	2, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44	lsmcv 21083	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
46	17, 29, 37, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
47	46, 36	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
48	47	rexlimdv3a 3138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	14, 48	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
50		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
51	2, 6, 10, 1	lshpne 38968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑉)
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑋 ≠ 𝑉)
53	52	necomd 2980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑉 ≠ 𝑋)
54	50, 53	eqnetrd 2992	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
55	49, 54	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   ⊊ wpss 3912  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  LSSumclsm 19548  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909  LSHypclsh 38961  HLchlt 39336  LHypclh 39971  DVecHcdvh 41065  ocHcoch 41334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lsatoms 38962  df-lshyp 38963  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216  df-doch 41335

This theorem is referenced by:  dochkrshp  41373  dochshpsat  41441