Theorem dochshpncl 42260

Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpncl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpncl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochshpncl.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpncl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochshpncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dochshpncl	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Proof of Theorem dochshpncl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochshpncl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)
2		dochshpncl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
6		dochshpncl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		dochshpncl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochshpncl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochshpncl.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlmod 41986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	islshpsm 39856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12	1, 11	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉))
13	12	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
15		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	16	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
18	4, 6, 10, 1	lshplss 39857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	2, 4	lssss 21123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
21		dochshpncl.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
22	7, 8, 2, 21	dochocss 42242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
23	9, 20, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	24	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26		simp1r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
27	26	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
28		df-pss 3919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
29	25, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
30	7, 8, 2, 21	dochssv 42231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
31	9, 20, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
32	7, 8, 2, 21	dochssv 42231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
33	9, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
35	34	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
36		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
37	35, 36	sseqtrrd 3968	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
38	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	7, 8, 38	dvhlvec 41985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LVec)
40	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	7, 8, 2, 4, 21	dochlss 42230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	9, 31, 41	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
45	2, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44	lsmcv 21331	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
46	17, 29, 37, 45	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
47	46, 36	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
48	47	rexlimdv3a 3167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	14, 48	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
50		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
51	2, 6, 10, 1	lshpne 39858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑉)
52	51	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑋 ≠ 𝑉)
53	52	necomd 3010	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑉 ≠ 𝑋)
54	50, 53	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
55	49, 54	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  LSSumclsm 19764  LSubSpclss 21118  LSpanclspn 21158  LSHypclsh 39851  HLchlt 40226  LHypclh 40860  DVecHcdvh 41954  ocHcoch 42223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39829

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-0g 17529  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-p0 18514  df-p1 18515  df-lat 18523  df-clat 18590  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-lsm 19766  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lvec 21290  df-lsatoms 39852  df-lshyp 39853  df-oposet 40052  df-ol 40054  df-oml 40055  df-covers 40142  df-ats 40143  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227  df-llines 40374  df-lplanes 40375  df-lvols 40376  df-lines 40377  df-psubsp 40379  df-pmap 40380  df-padd 40672  df-lhyp 40864  df-laut 40865  df-ldil 40980  df-ltrn 40981  df-trl 41035  df-tendo 41631  df-edring 41633  df-disoa 41905  df-dvech 41955  df-dib 42015  df-dic 42049  df-dih 42105  df-doch 42224

This theorem is used by:  dochkrshp  42262  dochshpsat  42330