Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochshpncl 38960
 Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpncl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpncl.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochshpncl.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpncl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochshpncl.x (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dochshpncl (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉))

Proof of Theorem dochshpncl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochshpncl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
2 dochshpncl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2758 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4 eqid 2758 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 eqid 2758 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
6 dochshpncl.y . . . . . . 7 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7 dochshpncl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 dochshpncl.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 dochshpncl.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
107, 8, 9dvhlmod 38686 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
112, 3, 4, 5, 6, 10islshpsm 36556 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)))
121, 11mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉))
1312simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
1413adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) → ∃𝑣𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
15 id 22 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝜑𝑣𝑉))
1615adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉) → (𝜑𝑣𝑉))
17163adant3 1129 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝜑𝑣𝑉))
184, 6, 10, 1lshplss 36557 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
192, 4lssss 19776 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
21 dochshpncl.o . . . . . . . . . . 11 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
227, 8, 2, 21dochocss 38942 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
239, 20, 22syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
2423adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
25243ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
26 simp1r 1195 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋)
2726necomd 3006 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ≠ ( ‘( 𝑋)))
28 df-pss 3877 . . . . . . 7 (𝑋 ⊊ ( ‘( 𝑋)) ↔ (𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)) ∧ 𝑋 ≠ ( ‘( 𝑋))))
2925, 27, 28sylanbrc 586 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊊ ( ‘( 𝑋)))
307, 8, 2, 21dochssv 38931 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
319, 20, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
327, 8, 2, 21dochssv 38931 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑉)
339, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑉)
3433adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑉)
35343ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝑉)
36 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
3735, 36sseqtrrd 3933 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
389adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
397, 8, 38dvhlvec 38685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈 ∈ LVec)
4018adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
417, 8, 2, 4, 21dochlss 38930 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
429, 31, 41syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4342adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
452, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44lsmcv 19981 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ 𝑋 ⊊ ( ‘( 𝑋)) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → ( ‘( 𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
4617, 29, 37, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
4746, 36eqtrd 2793 . . . 4 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑉)
4847rexlimdv3a 3210 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) → (∃𝑣𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑉))
4914, 48mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑉)
50 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑉)
512, 6, 10, 1lshpne 36558 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
5251adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
5352necomd 3006 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉) → 𝑉𝑋)
5450, 53eqnetrd 3018 . 2 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋)
5549, 54impbida 800 1 (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858   ⊊ wpss 3859  {csn 4522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  LSSumclsm 18826  LSubSpclss 19771  LSpanclspn 19811  LSHypclsh 36551  HLchlt 36926  LHypclh 37560  DVecHcdvh 38654  ocHcoch 38923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36529 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-lsm 18828  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943  df-lsatoms 36552  df-lshyp 36553  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-llines 37074  df-lplanes 37075  df-lvols 37076  df-lines 37077  df-psubsp 37079  df-pmap 37080  df-padd 37372  df-lhyp 37564  df-laut 37565  df-ldil 37680  df-ltrn 37681  df-trl 37735  df-tendo 38331  df-edring 38333  df-disoa 38605  df-dvech 38655  df-dib 38715  df-dic 38749  df-dih 38805  df-doch 38924 This theorem is referenced by:  dochkrshp  38962  dochshpsat  39030
 Copyright terms: Public domain W3C validator