Theorem dochshpncl 40244

Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpncl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpncl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochshpncl.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpncl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochshpncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dochshpncl	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Proof of Theorem dochshpncl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochshpncl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)
2		dochshpncl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
6		dochshpncl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		dochshpncl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochshpncl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochshpncl.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlmod 39970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	islshpsm 37839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12	1, 11	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉))
13	12	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
14	13	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	16	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
18	4, 6, 10, 1	lshplss 37840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	2, 4	lssss 20540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
21		dochshpncl.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
22	7, 8, 2, 21	dochocss 40226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
23	9, 20, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
24	23	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	24	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
28		df-pss 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
29	25, 27, 28	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
30	7, 8, 2, 21	dochssv 40215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
31	9, 20, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
32	7, 8, 2, 21	dochssv 40215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
33	9, 31, 32	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
34	33	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
35	34	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
36		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
37	35, 36	sseqtrrd 4023	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
38	9	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	7, 8, 38	dvhlvec 39969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LVec)
40	18	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	7, 8, 2, 4, 21	dochlss 40214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	9, 31, 41	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
45	2, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44	lsmcv 20747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
46	17, 29, 37, 45	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
47	46, 36	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
48	47	rexlimdv3a 3160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	14, 48	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
50		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
51	2, 6, 10, 1	lshpne 37841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑉)
52	51	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑋 ≠ 𝑉)
53	52	necomd 2997	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑉 ≠ 𝑋)
54	50, 53	eqnetrd 3009	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
55	49, 54	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  LSSumclsm 19497  LSubSpclss 20535  LSpanclspn 20575  LSHypclsh 37834  HLchlt 38209  LHypclh 38844  DVecHcdvh 39938  ocHcoch 40207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 37812

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lsatoms 37835  df-lshyp 37836  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tendo 39615  df-edring 39617  df-disoa 39889  df-dvech 39939  df-dib 39999  df-dic 40033  df-dih 40089  df-doch 40208

This theorem is referenced by:  dochkrshp  40246  dochshpsat  40314