Theorem dochshpncl 40745

Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpncl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpncl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpncl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochshpncl.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpncl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochshpncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dochshpncl	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Proof of Theorem dochshpncl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochshpncl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)
2		dochshpncl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
6		dochshpncl.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		dochshpncl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		dochshpncl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochshpncl.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	7, 8, 9	dvhlmod 40471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	islshpsm 38340	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12	1, 11	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉))
13	12	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
16	15	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
17	16	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉))
18	4, 6, 10, 1	lshplss 38341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	2, 4	lssss 20773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
21		dochshpncl.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
22	7, 8, 2, 21	dochocss 40727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
23	9, 20, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	24	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26		simp1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
28		df-pss 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ 𝑋 ≠ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
29	25, 27, 28	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
30	7, 8, 2, 21	dochssv 40716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
31	9, 20, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
32	7, 8, 2, 21	dochssv 40716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
33	9, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
36		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉)
37	35, 36	sseqtrrd 4015	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
38	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39	7, 8, 38	dvhlvec 40470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LVec)
40	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	7, 8, 2, 4, 21	dochlss 40715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	9, 31, 41	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
45	2, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44	lsmcv 20982	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ⊊ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
46	17, 29, 37, 45	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
47	46, 36	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
48	47	rexlimdv3a 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑋(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
49	14, 48	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
50		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)
51	2, 6, 10, 1	lshpne 38342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑉)
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑋 ≠ 𝑉)
53	52	necomd 2988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → 𝑉 ≠ 𝑋)
54	50, 53	eqnetrd 3000	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋)
55	49, 54	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3940   ⊊ wpss 3941  {csn 4620  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  LSSumclsm 19544  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  LSHypclsh 38335  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  ocHcoch 40708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lshyp 38337  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709

This theorem is referenced by:  dochkrshp  40747  dochshpsat  40815